一般的初等函数用导数的定义求是非常麻烦的，本节将介绍求导数的几个基本法则，借助于求导公式和法则，就能较方便地求出初等函数的导数.

一、　函数的和、差、积、商的求导法则

定理221设函数u=u(x)和v=v(x)在点x处都可导，则函数u(x)±v(x)，u(x)v(x)，u(x)v(x)在点x处也可导，则有

（1）　［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).

该法则可以推广到任意有限个可导函数之和(差)的情形.如:(u+v－w)′=u′+v′－w′.（2）　［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).

特别地，［cu(x)］′=cu′(x).

该法则也可推广到任意有限个可导函数之积的情形.如:(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.（3）　u(x)v(x)′=u′(x)v(x)－u(x)v′(x)v2(x)(v(x)≠0).

特别地，1v(x)′=－v′(x)v2(x)(v(x)≠0).注

意(uv)′≠u′v′，uv′≠u′v′.例221求下列函数的导数：

（1）　y=2x－3x+3cosx－ln5；（2）　y=xlnx－xsinx.

解（1）　y′=2x′－(3x)′+(3cosx)′－(ln5)′

=21x′－(3x)′+3(cosx)′－(ln5)′

=－2x2－3xln3－3sinx.

（2）　y′=(xlnx)′－xsinx′

=(x)′lnx+x(lnx)′－(x)′sinx－x(sinx)′sin2x

=lnx+1－sinx－xcosxsin2x.

例222设y=tanx，求y′.

解y′=(tanx)′=sinxcosx′=(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=sec2x.

即(tanx)′=sec2x.注

意这里用到了三角公式secx=1cosx.类似的，可得到(cotx)′=－csc2x.

例223设y=secx，求y′.

解y′=(secx)′=1cosx′=－(cosx)′cos2x=sinxcos2x=secxtanx.

即得正割函数的导数公式：(secx)′=secxtanx.类似，可得余割函数的导数公式：(cscx)′=－cscxcotx.例224求函数y=sinx+cosxsin2x的导数.

解化简y=sinx+cosxsin2x=sinx+cosx2sinxcosx=12(secx+cscx)，可避免用商的求导法则，所以y′=12(secx+cscx)′=12secxtanx－12cscxcotx.注

意这里用到了三角公式secx=1cosx，cscx=1sinx.有些函数在求导前，可以先化简再求导，以简化求导的计算过程.