1.结论是否新的知识问题。证明对于我们有甚么益处呢？这当然要看所谓益处是甚么样的益处。从前对于证明曾发生过这样的问题：在证明中有没有新的知识，如果有甚么是新的知识？所谓新的知识似乎是集中在证明底程序中。在这程序中去找“新”的知识，的确有相当麻烦的问题。而在整个的程序中也许有人特别地注重结论（就证明说，即所要证明的命题）。结论是不是“新”的知识呢？关于“新”，我们可以从形式上和实质上着想。就形式说，如果我们能由前提推到结论，则结论已经在前提中；既然如此，结论当然不新。如果我们能够用某一套前提去证明某一命题，则该命题当然隐寓于该一套命题之中，该命题当然不是新的知识。就实质说，问题完全是事实问题。有时结论对于某证明者是新的，而对于某另一证明者不是。

2.题材或论旨上的新。我们还可以命题底题材和论旨及相等的命题和不相等的命题，二者联合起来底观点，来讨论这新旧问题。如果在证明中所有的命题都是相等的，则结论也许只能有论旨上的新的成分。命题既都相等，结论与前提也相等，相等的命题只有论旨上的分别没有题材上的分别。就题材说，在此情形下，没有题材上的新成分。如果有新成分的话，只有论旨上的新成分，如果在证明程序中，有些命题不是相等的，则论旨上或题材上的分别都有。既然如此，题材上或论旨上的新的成分也许都有。至于这新的成分是否新的知识就很难说，也许是的，也许不是。所谓新也是对于证明者而说的。这还是就结论或所证明的命题而说的。

3.目的不在得新的知识。但是我们底问题是证明供给我们些甚么，这问题不只是结论底新旧问题。结论对于证明者大致说来新的成分很少；证明者要证明一命题，大致说来，他已经知道该命题。也许在先他不知道该命题是真的，经证明之后，他才知道该命题是真的；这样的情形的确有的。可是，另外的情形也有；证明者有时知道一命题底真然而还设法去证明它。可见证明中的结论底新旧和证明是两件事。我们所求于证明的根本不在得到代表“新”知识的结论。问题仍是在证明程序中我们所得者是甚么。

4.表示不得不然。证明底贡献在命题底概念图案，或概念结构或理底结构，它所要表示的是一命题不能不在一整个的概念结构中。理底结构是四通八达的，概念底结构也是四通八达的。如果我们能够表示在一概念结构中不能不有某一命题，我们不但承认该命题，而且非承认它不可。这就是说，我们不但知道它底然，而且知道它底不得不然。我们不但“知道”而已，我们“懂”得该命题或“明白”该命题底道理。这二者底分别非常之大。“然”是一件事体，“所以然”或“不得不然”是另外一事体。证明所供给我们的就是这不得不然底感觉。的确，在证明中我们所求的是真，可是，不只是真而已。果然所求的只是真，我们不必要证明，只要有证实已经够了。如果在证实之后，我们还要更进一步去求证明，我们所求的不只是真而且是不得不真。得到证明，我们才能恍然大悟说“懂了”。

5.证明中的事实成分在历史中。还有一点，我们得附带地提及一下，懂或明白总是证明者或读者或听者底懂或明白。证明本身一方面是一种形式的概念底关联底排列，它是可以懂，可以明白的排列；至于我们懂得它或明白它与否是证明底另一方面底成分，它是事实成分；这一成分我们虽然没有从长讨论，然而它非常之重要。显而易见，没有它，一种概念底关联底排列不是证明。这是证明底非形式的成分，既有这一成分，证明中的命题总牵扯到命题显现。就证明者或读者或听者说，命题总牵扯到他们底命题显现。不但证明中的p，q，r……牵扯到命题显现，P，Q，R……也牵扯到命题显现，后者也许更为重要。用本书前此所用的术语，证明不但是静的思议底结构，而且是动的思议底历程。所谓懂或明白也就在这历程中出现。