一系统的原子不必是类，不必是关系，不必是命题；一系统的运算也不必是“或”“与”“非”“蕴涵”。它们虽不必是一系统的运算，而一系统之运算中大都少不了它们。兹特提出讨论。

1. “或”。普通语言方面，或有相容与不相容的分别。比方我对甲乙二人说：“或者你或者他到火车站上去一次”，那么甲可以去而乙不去，乙可以去而甲不去，甲乙也可以同去。可是，如果我对他们两个人说，“某学校的校长缺出，或者你去做，或者他去做”，那么甲可以去而乙不去，乙可以去而甲不去，但甲乙不能同去。前一“或者”的用法是相容的用法，后一用法是不相容的用法。排中或排外原则中的“或者”是不相容的或者，而P. M. 系统的基本概念中的“或者”（1910年版）是相容的或者。这是“或”的用法上两大分别。除此之外尚有其他不同点。罗素在他的《算学原理》（Principles of Mathematics，1903年版）一书中，曾举下许多的例，我们在此处可以照办。

a. “如果你所遇的是姓张的或是姓李的，你遇着了一个很热烈的宗教家”。这命题中的或者，是两名词间的或者，而不是或不容易变成两命题间的或者。以上这命题可以分成两个相“与”的命题，那就是说，两个要同时真的命题如下：

（一）“如果你所遇着的是姓张的，你遇着了一个热烈的宗教家”并且（and）“如果你所遇着的是姓李的，你遇着了一个热烈的宗教家”。原来的命题不能分作：

（二）“如果你所遇着的是姓张的，你遇着了一个热烈的宗教家”或者“如果你所遇着的是姓李的，你遇着了一个热烈的宗教家”。这个命题的两部分是以“或者”联合起来的，它们虽可以同时真，而它们不必一定要同时真；既不必要同时真，则不能表示原来命题的意义。前一命题的两部分是以“与”联合起来的，一定要它们同时真，整个的命题才能真。从这一方面看来，它与原来的命题意义一样。可见名词方面的“或”可以变成命题方面的“与”。

b. “如果是铁路局求事者之一，他一定是姓张的或姓李的”。请注意这里的“一定”是指“姓张的或姓李的”而言，不是指姓张的个人，也不是指姓李的个人。此命题不能改成以下（一）（二）两命题，而只能改成以下第（三）命题。

（一）“如果是铁路局求事者之一，他一定是姓张的”或“如果是铁路局求事者之一，他一定是姓李的”。如果原来的命题是真的，这一个命题是假的；因为原来的命题没有说铁路局的求事者一定是姓张的，也没有说他一定是姓李的，而（一）命题前一部分说铁路局的求事者一定是姓张的，所以前一部分假，后一部分说他一定是姓李的，所以后一部分也是假的。前后两部分既都是假的，所以（一）命题也是假的。既然如此，（一）命题不等于原来的命题。

（二）“如果是铁路局的求事者，他一定是姓张的”并且（与）“如果是铁路局的求事者，他一定是姓李的”。这一命题的部分既是以“与”（and）联起来的，要两部分皆真，才能真。如果原来的命题是真的，这一命题的部分都是假的，所以它也是假的。它与原来的命题也不相等。总而言之，（一）（二）两命题把“一定”分别地引用于姓张与姓李的，所以与原来的命题不同。

（三）原来的命题中的“姓张的或姓李的”可以分开，可是要用两个有“不是——就”的形式的话去分开：“如果是铁路局的求事者之一，他不是姓李的就是姓张的，而且（与）不是姓张的就是姓李的。”

c. “王小姐与姓张的或姓李的结婚”。在一法律上不许重婚的国家，这一命题只能改作：

（一）“王小姐与姓张的结婚”或“王小姐与姓李的结婚”；而不能改作：

（二）“王小姐与姓张的结婚”而且（与）“王小姐与姓李的结婚”。后一命题要它两部分同时真它才能真，所以它不等于原来的命题；在前一命题的两部分可以一真一假，用不着同时真，它才能真。虽在不许重婚的国家，仍可以真，因为只要任何一部分真，它就是真的。它与原来的命题一样。如无法律方面的限制，原来命题中的“或”可以是相容的，也可以是不相容的；（一）命题中的“或”也一样，可以是相容的或不相容的。

总而言之，“或”有相容与不相容的两大分别。但除此分别之外，有时名词方面的“或”不能改成命题方面的“或”，而能改成命题方面的“与”；有时可以改成命题方面的“或”，而不能改成命题方面的“与”；有时两方面似乎都有困难。在第三部那个系统的基本概念中的“或”是命题方面相容的“或”。相容的“或”的意义比不相容的“或”的意义广。前者的用法比较便当。因为加以相当限制，即成不相容的“或”。

2. “与”。此处的“与”即英文中的“and”；中文方面有时用“与”，有时用“和”，有时用“同”，有时用“而”，有时用“并且”，有时用“而且”，等等。“与”的不同的意义也非常之多，有深有浅，以下的例不能说包举无遗，但大致可以代表各种不同的用处。

a. “那间房子里有桌子‘与’椅子”这一命题中的“与”是极平淡的“与”，它不过表示空间相与而已。我们可以把这命题分作两个以“与”相联的命题。

b. “人是两脚的，直立的，与‘有理性的’动物”。这命题里的“与”与以上的有相同点，也有不相同点。

（一）相同点是：

（甲）这一命题可以分作好几个命题，而这些命题又可以彼此独立。

（乙）这些命题又可以联之以“与”，使成一整个命题。

（丙）这些命题中可以只说出任何一个或两个，而忽略其余的命题。

（二）不相同点是：这命题中相与的名词是属性名词，可以寄托于一种或一个具体的东西，而第一命题中的名词不能寄托于一种或一个具体的东西。

c. “他的温和‘与’智慧征服了她的心”（此例得之于王遵明先生）。这里的“与”与以上两个“与”都不同。这里的“与”似乎有点意义含糊的地方。这句话可以表示两命题的真，例如“他的温和征服了她的心”“与”“他的智慧征服了她的心”；可是也可以表示“他的温和与智慧（联合起来）征服了她的心”。究竟这里的“与”是名词方面的“与”还是命题方面的“与”似乎不能定。

d. “中国花布的颜色是红‘与’蓝”。如果我们心目中的花布是现在的花布，这一命题中的“与”是名词方面的“与”，而不是命题方面的“与”。那就是说，这一命题不能分作以下两命题：（1）“中国花布的颜色是红的”；（2）“中国花布的颜色是蓝的”，因为这两个命题都是假的。同时这里的“与”虽是名词方面的“与”而没有两色凝为一色的意思，它所表示的是中国花布的颜色有红亦有蓝。

e. “紫颜色是蓝与红”。这命题中的“与”与d命题中的“与”的前一点相同，后一点不相同。前一点相同，我们不能把此命题分为两个命题说（1）“紫颜色是蓝的”，（2）“紫颜色是红的”。后一点不相同，这里的红与蓝凝成一色。

f. “秦‘与’楚为世仇”。此处的“与”一方面不能变成两命题的相与，我们不能根据这个命题说（1）秦为世仇与（2）楚为世仇。另一方面又表示秦楚不并立，与e例中的红与蓝不一样。

g. “真与假，善与恶，美与丑均为价值”。此中的“与”表示相反或不相容。这一层不必利用宾词已经可以表示出来，因为美、丑、真、假、善、恶的普通意义已经有彼此相反与不相容的情形。但其所以用“与”而不用“或”者，因为真、假、善、恶、美、丑均各为价值。在名词方面真假不能相与，善恶不能相与，美丑不能相与；而在命题方面，“真为价值”“假为价值”等等，命题联之以“与”与原来的命题一样。这可以说是一种名词不相与而命题方面相与的例。

h.“ 因与果之关系是有因必有果，有果必有因”。此处的“与”是（一）名词方面可以说而命题方面不能说的“与”。（二）因与果为相对名称，在一特殊范围或方面之下，不能兼备于一具体的事物。（三）这里的因果不是甲因与乙果，所以它们的关系不是甲乙的关系。它们不是两事物相与，而是两思想的相与。

以上表示“与”的用途很广，用法很多。因为它的用法不同，而它的意义不一致的地方也很多。这些例当然不能说是包举无遗，可是已经可以表示各种不同的用法。外国文字所有而中国文字所无的例，此处不举，不是“and”的与，当然不必谈到。

在演绎系统里，“与”也是非常之重要的运算，它虽然不必是一系统的基本概念，而我们可以说它是基本概念之一。我们可以用“或”与“非”表示它的意义，也可以用它与“非”表示“或”的意义。

在1925年出版的P. M. 中，“或”与“非”都有定义；那就是说，它们已经不是基本概念。代替它们为基本概念的是，意思是说p、q两命题冲突，或者说它们不同真。如果p、q两命题都是假的，或者其中任何一命题是假的，则为真。遵照此义，均有以下的定义：从基本思想的数量方面着想，以“p | q”为基本思想，可以说是进步。但“不是大多数人所习惯的思想，而最初的推论又因此基本思想而变为复杂。基本思想方面的简单虽得，而推论方面的简单反失，此所以本书所介绍的系统是1910年出版的P. M. ，而不是改变后的系统。

3.“ 非”。此处的“非”是用之为运算的非，不是或不仅是真假值中的假值。对于运算的非，我们应注意以下诸点。

a. “非”的意义与可能的分类为相对。如果我们把可能分为两大类，我们所引用的就是二分法；所引用的既是二分法，所得的系统就是二分法的系统。在二分法的系统里有二分法的“非”，在三分法的系统里有三分法的“非”，在n分法系统里有n分法的“非”。“非”的意义或“非”的范围，在系统方面就有二分法、三分法，或n分法的分别。引用二分法于命题，非真为假，非假为真；引用三分法于命题，例如Lukasiewicz与Tarski的三值系统，非定真虽为定假，而定真与定假不是穷尽的可能。

b. 二分法最简单，兹特从二分法着想。二分法的“非”引用于类，则有小范围的意义、大范围的意义、无范围的意义。

（一）小范围的意义。设以非红为例。小范围的非红即为颜色的范围。如果我指出一x，说它是非红；我这一句话可以有以下的形式：“x是绿的，或是黄的，或是黑的……”这样的命题有以下的问题。

（甲）假设x是有颜色的东西，而又不是红的，这样的析取命题一定是真的。所以如果“x是红的”是假的，则“x是非红的”一定是真的；如果“x是红的”是真的，则“x是非红的”是假的。

（乙）可是如果x是没有颜色的个体事体或事实，则“x是红的”与“x是非红的”都是假的。如此，则排中不能成立。

（二）大范围的意义。设非红不限于颜色，则形、声、嗅、触等性，及存在的东西、事体、事实所能有的关系质，非红亦均代表之，其限制仅在“x是非红的”这一命题须有意思而已；则非红的意义是大范围的意义。

（甲）非红的意义既如此，则“x是非红的”形式，照以上的办法，也是一析取命题。即今所指的没有颜色，这个命题仍是真的。无论如何，“x是红的”与“x是非红的”不能同时是假的。

（乙）可是，如果“x是红的”是真命题，“x是非红的”要是假命题才能排中。那就是说，“x是非红的”要等于否定“x是红的”那一命题才行。这样一来，负类要牵扯到负命题。

（三）无范围的意义。设以非红分别地代表“红”之外任何一切的谓词，而“x是非红的”这一命题解析起来，不仅包含有意思的命题，而且包含废话。废话问题以后不预备再提及。在此处我们仅分废话为甲、乙两种：甲种为无意思的废话，乙种为不能有意思的废话。无范围的“非”也可以分为甲、乙两种。

（甲）甲种“x是非红的”仅包含无意思的废话。无意思的废话，有人称为实质废话，表示这种废话仅是在事实上无意义，而不是在逻辑上不能有意思。这样的废话，逻辑可以置之不理。

（乙）乙种“x是非红的”兼有不能有意思的废话。有人称这种废话为形式废话。既然如此，就有逻辑上的问题。所谓形式废话者似乎有自相矛盾的废话在内，矛盾既为逻辑之所淘汰，乙种“x是非红的”不能包含自相矛盾的废话在内。同时除去自相矛盾的废话之外，尚有形式废话与否，本身就是不容易应付的问题。

c. 引用于命题的“非”。以上是类方面的正负。命题方面也有正负。负命题通常以“不”字表示，例如“x不是红的”。负命题也有各种范围不同的意义。这里的情形与以上一样，不必重复地讨论。所要注意的就是以下两点。

（一）负命题的范围也是以大范围或无范围的甲种为宜。正负命题之间要有排中，而排中情形小范围的正负命题似乎没有。同时无范围的乙种负命题之说得通否，根本就有问题。

（二）名词方面的“非”与命题方面的“非”，其范围须要一致。这一点的用意就是要把“x是非红的”这样的正命题等于“x不是红的”这样的负命题。这两命题相等，推论方面当然有便利。这可不是说所有的命题都有同样的情形，例如“所有S是非P”不必等于“所有的S不是P”。后面这句话可以有两个不同的解释，这两个不同的解释是两个不同的命题。如果“不是”的意义是“不都是”，则“所有的S不是P”等于“有些S不是P”，而“有些S不是P”不等于“所有的S是非P”；如果“不是”的意义是“都不是”，则“所有S不是P”等于“无一S是P”，而“无一S是P”等于“所有的S是非P”。这里当然有语言习惯的问题。在作者的经验中，大多数的学生很自然地把“所有的S不是P”这样的话解释成“无一S是P”。可是习于英文的人，讲英国话的时候，大都会把“所有的S不是P”这样的话解释成“有（些）S不是P”。无论如何，在以个体为主词的简单命题，名词的“非”与命题的“非”须要一致。复杂命题的情形，表面上因为有语言方面的习惯虽似乎是例外，但分析起来，与简单命题或比较最简单的命题一样。

d. 从纯粹客观方面着想，任何具体的东西，x无所谓是桌子或不是桌子，它不过是那么一个具体的东西而已。说“x是桌子”实在是把语言方面的符号，表示那东西的性质，用之以为那类东西的名词。但这可以有两个不同的解释。

（一）把“x是桌子”当作定义看。定义虽是话，但不是普通的命题，定义不过是命名而已。各人有引用符号的自由权，一个人所引用的符号不必与他人一致。既然如此，则定义无所谓真假。如果我们把“x是桌子”当作定义看待，这句话无所谓真假。正的方面既无所谓真假，负的方面也无所谓真假。那就是说，如果把“x是桌子”当作定义，则“x不是桌子”不过是不承认定义而已，无所谓真假。

（二）把“x是桌子”当作命题看待。定义虽无所谓真假，但“桌子”之义既定，而x又实在是桌子一类中的具体的分子，则“x是桌子”这一句话就是一命题。利用x以定桌子之义，说出一句话来，那句话是定义；表示“桌子”之义，事实上已经为大家所公认，而指出具体的x，说那个具体的东西在桌子的定义范围之内，所说的话为命题。在桌子的意义事实上既定之后，说x是桌子或不是桌子才有标准、才有真假，所以才是命题。

（三）本书所谓简单命题都是以具体的x、y、z等等为主词的话。如果这种话都视为定义，它们都无所谓真假，它们既无所谓真假，则由它们配合出来的复杂命题也就无所谓真假。这样一来，一系统范围之内的命题都变成定义。为消除这种结果起见，“x是桌子”这一类的话一定要视为命题才行，那就是说“x不是桌子”也是命题。要这类的简单话是命题，真假值才能引用，不然不能引用。

这里所表示的是运算中的“非”，是语言方面的问题，不是纯粹客观事物方面的问题。

e. 利用“非”以定“或”“与”的关系或意义。在讨论“必然”的时候，我们曾表示引用二分法于x、y两名词，我们有以下四个可能：

（一）兹以x、y两名词为例：“x或y”（设“或”为相容的“或”）实有以下三可能，而此三可能又均能以“或”为之连络：引用“非”于“x或y”——即“非（x或y）”——那就是把两名词所有四可能之中除去以上三可能，所余只有以下一可能既可以读为非x“与”非y，又可以读为既非x又非y。无论如何，它表示“与”的意义。这就是利用“非”与“或”以明“与”的意义。

（二）我们也可以利用“非”与“与”以明“或”的意义。非“非x与非y”即“x或y”，非“x与y”即“非x或非y”，非“x与非y”即“非x或y”，非“非x与y”即“x或非y”。总而言之，这几个运算的意义四通八达，谁摆在前、谁摆在后都可以。究竟谁先谁后不是逻辑的问题，而是系统的问题。