原子是逻辑系统方面的对象，不是逻辑方面的对象。逻辑方面的对象是必然，逻辑系统不过是利用某种原子以为表示必然的工具而已。事实上本书第三部利用“类”“关系”“命题”为逻辑系统的原子。除此之外，别的原子也可以，例如“论域”（universe of discourse），但在此处我们可以不必提出讨论。

1. 类。此处所谓类，即普通的类，如“人类，桌子类，山类，水类……”。类有类的概念，例如人类有“人”概念；类大都有类的分子，例如“人类有张三、李四……”。类与属性不同，因为它注重它的分子；它与集体不同，因为每一分子均能分别地为那一类的概念所形容。“类”的问题，或关于类的问题不少，可是为逻辑系统的原子的类有以下诸特点。兹特分别讨论。

a. 在做逻辑系统原子的类中有两特别的类，一为零类，一为全类。零类没有分子，所有的分子都是全类的分子。普通以“0”代表零类，以“1”代表全类。在本篇一章A节3段所举的系统干部通式中，第五基本命题函量如下：

如果我们把a、b、c等等当作类，则z就代表零类，而这个基本命题说“零类或a等于a类”。这命题等于说“零类包含在任何类之中”，因为a类在此处代表任何类，即零类与全类，a类亦代表之。兹以图表示之如下。

此图表示零类既没有分子，则或是零类或是a类的分子不过是a类的分子而已，所以零类包含在任何类之中。

b. 同在一系统通式中，第六基本命题函量如下：

如果我们把a、b、c等等解作类，则U就代表全类。这个基本命题说“全类与a类等于a类”。（“与”字有“既……又”的意思，“全类与a类”等于“既是全类又是a类”。）这命题等于说“任何类均包含在全类之中”。a类在此处也代表任何类，即零类与全类亦代表之。兹以图表示之如下：

此图表示所有的分子既都是全类的分子，则在全类之外的a无分子。那就是说，如果a类有分子，a类的分子都是全类的分子，那也就是a类包含在全类之中。

这两类的用处非常之大。我们可以利用它们以定非a类或非b类的意义。如果我们利用它们（同时利用“=”等号），我们可以说有某类，或无某类；某类有分子，某类无分子；例如“a=1”或“a=0”。这两类又彼此相反，那就是说“非0”即“l”，“非1”即“0”。总而言之，以此两类为工具，逻辑方面的推论变化等等都可以发生。

c. 类有层次问题。如果我们以经验中的个体，如这张桌子、那张椅子等为分子，我们可以得一以个体为分子的类。如果我们把各类集起来再为分类，我们可以得一以类为分子的类。那就是说，我们可以有个体的类，“类”的类，“类的类”的类，等等。这许多的类的层次不同不能相混，如果相混就有毛病发生。现在要表示层次不能不分的理由。

设有以下命题：

“凡不是它们自己的分子之一的类的总类是那总类的分子之一。”我们知道人类不是一个人，桌子类不是一张桌子等等，这些类都不是它自己的分子。把这样的类都集起来成一类名之为甲类，以上命题说甲类是它自己的分子之一。这样一句话表面上看起来似乎没有什么问题，可是层次不分清楚就有毛病。兹以容易明白起见，特备以下图表。A是a1a2a3…an…分子的类，B是b1b2b3…bn…分子的类，C是c1c2c3…cn…分子的类，等等。A类不是a1，a2，a3…an…中之一，B类不是b1，b2，b3…bn…之一，C类也不是c1，c2，c3，cn…之一。把A，B，C…N…集起来成为甲类如下图：

以上的命题说甲类是它的分子A，B，C…N…之一。如果它是的，则它或者是A，或者是B，或者是C…N…但A，B，C…N…既都不是它们的分子之一，则甲类也不是它的分子之一。那就是说，它不是A，不是B，不是C…不是N…所以，如果甲是它的分子之一，则它不是它的分子之一。反过来也有同样的情形：如果甲不是它的分子之一，则它就是它的分子之一。这岂不是矛盾吗？在此处我们要注意，以上的情形实在是根据于甲与A，B，C…N…相混。甲与A，B，C…N…虽同为类，而层次不同，不能相混；相混之后，就有毛病发生。

d. 类与命题。习于传统逻辑的人或者以为类比命题“根本”，因为我们可以把命题分析为类与类的关系。命题可以分析到个体与类的关系，或类与类的关系，但不能使我们说类比命题“根本”。“根本”与“不根本”有系统为背景。如果在系统之内，命题是由类产生的，则类比命题根本；可是，如果在一系统之内，类是由命题产生的，则命题比类根本。在Boole的algebra of logic，类比命题根本；在P. M.，命题比类根本。在第三部我们已经表示过类可以由命题产生。

但是有系统范围以外的理由使我们先命题而后类，别的不说，事实上类与类的关系的推论还是根据于命题与命题的推论。

2. 关系。此处所要讨论的关系是普遍的关系，不仅是以之为一系统的运算或关系的几种关系，而且是以之为系统的原子的关系。但从系统的原子这一方面看来，我们讨论关系的时候，不必提出关于关系的各种各色的情形，我们仅谈到关系的推论质就够了。此处所注重的推论质仅有两种：一曰对称质，一曰传递质。从对称方面着想，可以有对称、非对称及反对称；从传递方面着想，可以有传递、非传递及反传递。两质的结合，可以有九种不同的关系。

a. 对称的传递的关系。在此项下，我们可以举“相同”与“相等”两关系为例：

（一）如果甲与乙相同，乙与甲也相同；如果甲与乙相等，乙与甲也相等。此之谓对称。

（二）如果甲与乙相同，乙与丙相同，则甲与丙相同；如果甲与乙相等，乙与丙相等，则甲与丙相等。此之谓传递。相同与相等之能传递与否，要看它们是否完全的绝对的相同与相等。相似的“相同”与差不多的“相等”没有传递质。

b. 对称的非传递的关系。在此项下可举不相同，或不相等，或相似等关系。

（一）如果甲与乙相似，乙与甲也相似；甲与乙不相同，乙与甲也不相同。此之谓对称。

（二）如果甲与乙相似，乙与丙相似，甲与丙不必相似；甲与乙不相同，乙与丙不相同，甲与丙不必不相同。此之谓非传递。

c. 对称的反传递的关系。如果在一条直线上，甲、乙、丙，有相傍的关系，则：

（一）如果甲在乙傍边，乙也在甲傍边。此所谓对称。

（二）如果甲在乙傍边，乙在丙傍边，则甲一定不在丙傍边。此所谓反传递。b条的例可以传递而不必传递，本条的例“一定”不能传递。

d. 非对称的传递的关系。在此项下，我们可举英文中的“brother”或“sister”为例。

（一）如果甲是乙的brother，乙可以是而不必是甲的brother。此之谓非对称。

（二）如果甲是乙的brother，乙是丙的brother，则甲是丙的brother。可见这关系是传递的关系。

e. 非对称的非传递的关系。这可以说是一极贫于推论质的关系。在此项下可举“好朋友”与“认识”两关系。

（一）如果甲是乙的“好朋友”，乙可以是而不必是甲的好朋友；如果甲认识乙，乙可以认识而不必认识甲。

（二）如果甲是乙的好朋友，乙是丙的好朋友，甲可以是而不必是丙的好朋友；如果甲认识乙，乙认识丙，甲可以认识丙而不必认识丙。可见这两关系既非对称又非传递。

f. 非对称的反传递的关系。在此项下我们可以举异性的恋爱为例：

（一）如果甲爱乙，乙可以爱而不必爱甲。

（二）如果甲爱乙，乙爱丙，则甲一定不爱丙。

同性恋爱虽是非对称的关系，而不是反传递的关系，因为如果甲同性恋爱乙，乙同性恋爱丙，甲可以而不必同性恋爱丙。本条的例要特别提出异性恋爱者在此。

g. 反对称的传递的关系。此项下的关系非常之多，而且非常之显著。兹仅举“大于”为例。

（一）如果甲大于乙，则乙一定不能大于甲，只能小于甲。此之谓反对称。

（二）如果甲大于乙，乙大于丙，则甲一定大于丙。此之谓传递。“小于”“长于”“重于”“高于”等等关系都是这种关系，它们很富于推论质。

h. 反对称的非传递的关系。在此项下，我们可以举“是客人”的关系为例。但我们要求一个同一的环境。

（一）如果甲是乙的客人，则在同一环境之下，乙一定不是甲的客人。所以是反对称。

（二）如果甲是乙的客人，乙是丙的客人，甲可以是而不必是丙的客人。所以是非传递。

i. 反对称的反传递的关系。在此项下我们可以举“父亲”为例。

（一）如果甲是乙的父亲，乙一定不是甲的父亲。

（二）如果甲是乙的父亲，乙是丙的父亲，则甲一定不是丙的父亲。

以上是从推论质去分关系的种类。此九种中以第一、第四、第七种比较地常见于逻辑。关系也可以做系统的原子，可是我们也不必利用它做系统的原子。

3. 命题。关于命题，我们从以下几方面讨论：命题的重要，token与type，命题的分析，表示各种命题的符号，命题的值。

a. 命题的重要。如果我们要建造一整个逻辑系统，我们或者要问最好从什么原子动手，而现在的意见似乎是最好从命题动手。其所以如此者至少有以下的理由。

（一）逻辑方面的重要关系，似乎大部分是命题与命题的关系，而不是类与类的关系。我们有时可以用类方面的包含关系去解释命题方面的蕴涵关系，可是我们有时也可以用命题方面的蕴涵关系去解释类方面的包含关系。推论是命题方面的关系。名称似乎无所谓推论，我们不能由一类推论到任何类。所谓推论者大都是承认一命题之后，承认它所蕴涵的命题。矛盾与排中，用命题表示似乎比用类表示更显明、更清楚。

（二）如果我们所要建造的系统是自足的系统，我们似乎不能不从命题方面着手。自足系统所应用的工具都要容纳到系统之中。如果我们从类方面着手我们可以利用推论或不利用推论。若不利用推论，则根本不能成系统；若利用推论，则不能不有命题方面的推行工具。这些工具若在系统范围之外，则所建的系统不是自足的系统。如果把它们容纳在系统范围之内，则它们既为命题方面的工具，我们似乎要从命题方面动手才行。现在逻辑学家所要建造的系统大都是自足的系统。既然如此，他们大都从命题方面着手。

（三）事实上我们用以达意的是话，有时是命题，有时不是命题，但无论如何不是单个的字。即令有时我们仅说出一个字，听者懂得我们的意思，而所懂的意思不是一个字而是一命题。在日常生活中我们有这样的情形，在逻辑系统范围之内，我们也逃不出这情形范围之外。学逻辑的人开口即是命题，动笔即是命题，事实上他们也就不容易不从命题着手。

b. 命题的type与token。我们所注意的是命题的type，不是命题的token。type与token的分别如下：

（一）如果有以下两个“字”字：

甲“字”，乙“字”我们可以说这是两个字，也可以说是一个字。说它们是两个字是指在这张纸上两个不同位置的个体而言，而这两个个体均属于字类。说它们是一个字时是指这两个个体所共有的形式而言。由前说，那就是由token方面说写上一万个“字”字就有一万个字；由后说，那就是从type方面说写上一百万“字”字仍只有一个字。名称有type与token的分别，命题也有。我们所注意的是命题的type，不是命题的token。

（二）我们以后分析普通命题的时候，我们要谈到属性与关系。如果我们不把type与token弄清楚，我们或者免不了一种错误。假如我们说“两名词发生关系，其结果即为一命题”。这一个命题就有毛病。比方我说：

“人类”在“有理性类”的左边。

在这一大堆字里，“人类”这名称与“有理性类”这名称的确有“在左”的关系；如果把这一堆字当作命题看，它所表示的是：

“人类”“有理性类”那就是说，“人类”两字的token在“有理性类”这四个的token的左边。如果我们所想到的是type，这一大堆字就根本不是命题了。两名称的token虽有在左的关系，两名称的type没有。我们所注意的既是type以上那句话——“两名称发生关系，其结果即为一命题”——的意思是“两名称之间有关系名称代表两名称所代表的东西彼此的关系，其结果即为一命题”。总而言之，一个命题写上一百次还只有一个命题。

c. 命题的解析。命题有相对简单与复杂的分别，而复杂又有程度不同的问题。现在要提出命题由相对简单而到相对复杂的层次问题，再分析最简单的命题的种类。

（一）最简单的命题大都是手有所指而说出话来的命题，这个如何如何，那个如何如何。这种命题是否货真价实的简单命题，颇成问题。命题无论如何简单，能够简单到不能再解析的程度与否，也是问题。这里所说的简单命题的主词是符号呢，是具体的东西呢？似乎都是问题。这些问题无论怎样解决，我们对于这里所谈的命题所要注意的：第一它们是命题，不是定义，所以有真假；第二它们是本书所不再解析的命题，所以是本书的最简单的命题。

这种最初级、最简单的命题可以由种种组合方法产生次一级的命题。设有两个初级命题如下：（甲）这是桌子，（乙）这是四方的（假设所指的是一个东西）。这两个命题的真假可能有四个，而我们对于这四个真假可能有十六个不同的态度（见前），而十六个不同的态度中有一个说这两个命题都是真的，其余三可能都是假的。表示这一个态度的命题就是普通生活中所谓简单的命题“这张桌子是四方的”。

由“这张桌子是四方的”这样的命题，我们又可以由种种组合方法产生更次一级或更复杂的命题，如“所有的桌子是四方的”或“任何桌子是四方的”或“有些桌子不是四方的”等等。总而言之，命题之由简单到复杂可以有许多的层次。

（二）最简单的命题可以分为两种：（甲）表示属性，（乙）表示关系。所谓属性是事物方面的属性，所谓关系是事物方面的关系；属性名称不过在语言方面表示属性，关系名称不过在语言方面表示关系而已。表示属性的命题，其形式与普通教科书中的“主宾词”式的命题相似。所不同者普通主宾词式的命题大都是复杂的命题而已。属性二字似乎要加以解释才好。如果x代表一个具体的东西，x可以是红的、四方的，等等。从命题方面着想，它所谈到的只有一个具体的x。红色与方形虽可以附属于另外的具体东西，而在这里所谈的事实之中，它们不是离开x的两个具体的东西。这情形与关系的情形大不相同。表示属性的命题，其对象可以是一个具体的东西，表示关系的命题，除一二特殊关系外，其对象至少要有两个具体的东西。这两种命题根本不能混为一谈。设有以下表示属性的命题：

（甲）x是人。

（乙）x有人性（这种话在中文不成话，但我们可以利用以表示属性与关系的分别）。

（丙）x是一个人。

第一个命题里所谈到的只有一个具体的x。所谓是人者不过是以“人”去摹x的状而已。以“人”去形容x，好像以红去形容y，以“四方”去形容z。此处的“是人”当然不表示关系。第二个命题，形式已变。它所表示的看起来似乎是关系，因为有些表面上同式的命题表示关系。比方说“张先生有一本宋版书”。这命题所表示的情形中有两个具体的东西，一是具体的而能以“人”形容的东西，一是具体的而能以“书”形容的东西。这两个具体的东西有“有”所表示的那个极复杂的关系。既然如此，我们很容易联想到“x有人性”这命题也就表示关系。如果我们这样的想，我们错了。此“有”非彼“有”，有书之“有”是关系，而有人性之“有”不是关系。从个体方面着想“人性”是一个个体的属性，所以有人性的“有”不是两个个体的关系。第三个命题似乎也表示关系。所谓“是一个人”者是说人类中有1，2，3…n…的分子，而x是这些分子中之一。x即是人类分子中之一，它与人类似乎发生包含关系。其实不然，我们可以提出以下两理由：

（甲）“是一分子”不是“包含”关系。包含关系是同一层次上两类的关系，而“是一分子”不是同一层次上两类的关系。在“x是一个人”这命题之中，x不是类，是个体，所以“是一个人”不能是包含关系。同时包含关系是传递的关系；那就是说，如果甲包含乙，乙包含丙，则甲包含丙。“是一分子”，即视为关系，也不是包含关系，因为它无传递质；如果甲是乙的分子，乙是丙的分子，甲不能同样地是丙的分子。无论如何，它不是包含关系。

（乙）个体与个体有关系。“是一分子”是否个体与个体的关系呢？在这命题所表示的情形中，只有x个体，其他非x的，可以有而不必有的，人类的分子，如l，2，3…n…虽有共同的属性，虽可以有它们彼此的关系，而在我们所讨论的命题范围之内，这些可有的关系都与此命题不相干。

总而言之，以上所举的命题都不是表示关系的命题。表示属性的命题虽可以有种种不同的表示，而我们大都不能勉勉强强地把它变成表示关系的命题。有一两种关系是例外，但在此处我们不必提出讨论。请注意这是从简单命题一方面着想，复杂命题情形不同。

（三）表示关系的命题也不容易变成表示属性的命题。最好的例就是传统逻辑教科书里的a fortiori argument。兹以

x比y长，

y比z长，

所以x比z长。

此推论毫无错处，可是照传统的三段论式法看来，则有毛病：（甲）三段论式的命题都是主宾词式的命题，而这个推论中的命题不是；（乙）三段论式只有，而照它的规律看来，只能有三个名称，而这个推论有四个名称。有此情形，有些人就想法子消除此困难，说以上的推论虽不是三段论，而它实在根据于三段论，它的普遍形式如下：

凡长于y者是长于z者，

x是长于y者，

所以x是长于z者。

这个说法把“比——长”的关系当作属性，把原来的四个名称变成三个名称。但无论如何，大多数的人看起来总不免觉得以上的办法太勉强。“比——长”“比——大”，等等不容易叫作“性”，而在x比y长这情形或事实中“比y长”不属于x，即勉强说它属于x，也不像形色之属于x。总而言之，表示关系的简单命题也不是表示属性的简单命题。

d. 表示命题的符号。现在我们介绍表示命题的符号。最初有未解析的简单命题，其次有解析后的两种命题，又其次有复杂的命题。

（一）未解析的简单命题。未解析的简单命题， 以“p，q，r…”等表示之。这些命题中有表示属性的，也有表示关系的。其实所谓“简单命题”大有问题。简单的标准如何、程度如何，是不能解析呢，还是不便解析呢？这些问题都不容易解决。但这些命题可以作系统中最初的原子，利用它们以表示逻辑方面的关系。

（二）这些简单命题可以分成表示个体的属性与表示个体与个体的关系的命题。我可以用“x，y，z…”表示个体，用“φ，ψ，χ…”表示属性，用“R1，R2，R3…”表示关系。

（甲）表示属性命题的函量为φx，ψx，χx…

（乙）表示关系命题的函量为Rx，y，Rx，y，z，Rx，y，z，w…

（三）关于（二）条有两种特别要注意。（一）条的“p，q，r…”代表未解析的命题，我们虽不知道它们所代表的命题究竟为真为假，但我们知道它们所代表的为命题，而无论所代表的是什么命题，我们总可以说它们或真或假。（二）条里的φx或Rx、y则不然，它们所表示的不一定是命题，如果所代表的不是命题，或不是一个系统之内的命题，则无所谓真假，或无所谓这一个系统之内的真假。兹以φx为例：如果x代表这张桌子，φ代表“方”，则φx是真的；如果x代表饭厅里那张圆桌子，φ仍旧，则φx是假的；如果x仍旧，φ代表“有理性的”，则φx可以说是无所谓真假。所以φx等等，Rx、y、Rx、y、z…不是命题，它们不过是两种命题函量。这是一点，还有一点要注意的就是有些关系要两个个体做它们的关系分子（relata），有些要三个，有些要四个，等等。这一层我们不能不预为之备。Rx、y、z虽有以上φx所有的问题，而如果R是要三个关系分子的关系，则在Rx、y中，无论x、y代表什么，Rx、y总无所谓真假。

（四）“x”可以代表这一个个体，那一个个体，等等。如果我们的意思是说“‘φx1’与‘φx2’与‘φx3’与…‘φxn’…”是真的，我们可以用以下公式表示：

（x）·φx，（（x）可以有两种解释见前）如果我们的意思是说“‘φx1’或‘φx2’或‘φx3’或‘φxn’或…”是真的，我们可以用以下公式表示：

前一公式表示“所有的x是φ”或“任何x是φ”；后一公式表示“有x是φ”或“至少有一x是φ”。表示关系的命题函量也可以照以上方法变：（x，y）·Rx，y，

由此我们可以慢慢地由简单命题函量一步步地进而得复杂的命题函量。既有如此通式，我们当然也可以用同样的方法，慢慢地由简单命题而得复杂的命题。

e. 命题的值。从前曾说过逻辑系统可以视为可能的分类。把可能的分类引用到命题上面去，就是命题的值的问题。命题有多少值要看我们预备把可能分为多少类。如果我们把可能分为两类，命题有两值。如果我们把可能分为三类或n类，命题有三值或n值。关于值我们可以注意以下诸点。

（一）设把可能分为两类，那么命题有两值。设以+，-表示之。对于这两个符号，我们有系统通式的看法与系统的看法。从系统通式的看法，它们就是两符号而已，我们对于这两符号，可以有而事实上不见得即有种种的解释。我们可以把它们视作“正”“负”，我们也可以把它们视作“真”“假”；我们不必把它们视作“正”“负”，也不必把它们视作“真”“假”。当然每一特殊系统，对于以上的符号，事实上总有一特殊的解释。在二分法方面，这两个值引用到命题上去，大都解作“真”“假”。可能既彼此不相容而又彼此穷尽，则命题的值也就彼此不相容，而又彼此穷尽。那就是说一命题不真即假、不假即真，它不能既真且假，也不能非真非假。

（二）设把可能分为三类，命题就有三值。兹以Lukasiewicz与Tarski的三值系统通式为例，以“|”“？”“0”表示之。从系统通式方面着想，这与以上情形相似。这三个符号可以有，而事实上不见得即有种种的解释。事实上有一解释说得通。“|”可以视为“定真”“？”可以视为不定真假，“0”可以视为“定假”。既然如此，则在此系统内，一命题或“定真”或“定假”或“真假不定”。这个系统的值与以上那个系统的值不同。上面的值可以说是没有心理成分，而这里的值有心理成分。这不是说逻辑是“心理的”，这不过是说这三个符号有这种解释之后所得到的三个值有心理成分在内。此系统的“定真”不是那一系统的“真”，此系统的“定假”不是那一系统的“假”。在那一系统之内不能有非真非假的命题，而在这系统之内可以有不定真不定假的命题。这系统虽有不定真不定假的命题，它还是不能有既不“定真”又不“定假”又不“不定真假”的命题。

（三）从系统通式方面着想，我们可以有n类可能，命题也可以有n值的可能，无论n的数目多大。可是系统通式的问题与系统的问题不同。在系统通式方面，我们可以有n可能，命题也可以有n值，而这些可能的解释，这些值的解释，都不是系统通式范围之内的问题。在系统则不然，n可能要有n解释，n值也要有n值的解释，而事实上n的数目太大时，n可能与n值的解释均不易得。即勉强得到，而系统之是否为逻辑系统，也就发生问题。