一系统中由一命题推到另一命题，由一部分推到另一部分，须有它的推行的工具。推行的工具不止一种，“同”“等”“代替”等等均同时是推行的工具；但最重要的一方面是“蕴涵”，一方面是“所以”。这两个思想在界说方面重要，在系统方面也重要。别的推行工具，我们可以不必特别提出讨论，但这两个工具似乎不能不提出。兹特先讨论“蕴涵”，然后再讨论“所以”。

1.“ 蕴涵”。蕴涵是命题与命题的关系。这关系在普通言语中以“如果——则”的方式表示之。提出蕴涵可真是非同小可，恐怕没有人敢说事实上“蕴涵”的意义究竟是什么一回事。现在各系统中所有的蕴涵可以分作以下数种讨论。

a. 真值蕴涵。这种蕴涵是P. M. 系统中最基本的蕴涵。其所以称真值蕴涵者，因为这关系根据于事实上两命题的真或假。它的定义如下：“等于。那就是说“p是假的或q是真的”。“或”字在此不是不相容的“或”，所以这句话等于“p是假的而q是真的，或者p是假的而q也是假的，或者p是真的q也是真的”，所以这又等于说“p是真的而q是假的是假的”。只要p、q所代表的命题事实上或者都真，或者都假，或p假而q真，我们均可以说。这个蕴涵关系有以下特点：

（一）p、q代表任何命题，照上面的定义，等于如果“p”所代表的是一假命题，“q”所代表的命题可真也可假，而无论为真或为假，总可以说得过去；因为这两可能均为的定义所承认。其结果是一假命题蕴涵任何命题。那就是说，

（二）如果q所代表的是一真命题，p所代表的命题可以真也可以假，而无论其为真或假，总可以说得通；因为这两可能均为的定义所承认。其结果是任何命题蕴涵一真命题。那就是说，。

（三）既然如此，这种蕴涵关系就是很奇怪的蕴涵关系，尽管它是普通言语中一部分的“如果——则”的关系。对于这种蕴涵关系的批评很多，但大多数的批评不在否认此情形为关系，而在否认此关系为蕴涵关系。这差不多完全是“蕴涵”这名词的问题。对于这个批评一方面我们可以说，而P. M. 的作者也曾明白表示过，它们有用字的自由权；另一方面我们也可以说，如果p、q两命题有以上所表示的关系，则“如果p是真的，q也是真的”这一命题可以表示这样的关系，因为p、q既有如此关系，则“p是真的而q是假的”是假的。请注意我们只说“如果p是真的，q‘也’是真的”，我们不说“如果p是真的，q‘就’是真的”，因为p、q两命题在此关系中不必有意义上的关系。

（四）同时我们也得要承认，这种蕴涵关系是否就是普通言语中的蕴涵关系至少令人生疑，所以叫它作真值蕴涵以别于其他蕴涵。但何以名之为真值蕴涵呢？这种蕴涵关系不是说p、q两命题在意义上有任何关联，它所表示的不过是“p真而q假”事实上是假命题。一个真命题有“真值”，一个假命题有“假值”。这种蕴涵关系既是两命题事实上的真假关系，也可以说是真假值的关系，所以简单地称为“真值蕴涵”。

b. 形式蕴涵或。这种蕴涵可以说是由真值蕴涵归纳得来的，也可以说是无量普遍化或抽象化的蕴涵关系。这两说的不同处很大。兹先把它当作由真值蕴涵归纳得来的蕴涵看待。

（一）设p、q代表任何简单的主宾词式的命题，φ、ψ代表谓词，x代表个体的东西；设p可以分析成φx，q可以分析成ψx，可以改作ψx”。x可以代表任何东西，同时无论它代表什么东西，都是真的。这情形可以用以下方式表示：

如果“n”代表一有量的数，而同时又是限于时地的东西的总数，我们可以用（x）符号表示任何限于时地的东西，总结以上（1）（2）（3）……（n）命题如下：

这个命题在语言方面可以有好几个表示方式。我们可以说，（甲）所有的φ是ψ，（乙）无论是哪个x，x是φ它就是ψ，（丙）无论是哪个x，x是φ是真的，x是ψ是假的是假的。这三个说法之中以（丙）说为严格。（甲）说有以下毛病，它与传统逻辑的“A”命题不同。它的主词所代表的东西可以不存在，如不存在，则此命题是真的。所以它是“An”，不是普通的“A”。（乙）说也有毛病，它与普通的“如果——则”的命题不同。我们可以说“无论x是什么，如果它是龙，它就是四方的”。照普通的“如果——则”的命题看来，这至少有毛病，而照此处所讨论的蕴涵看来，这个命题是真的。总而言之，“形式蕴涵”照以上的解释，似乎免不了真值蕴涵的古怪情形。

（二）但如果上条中的“n”代表无量数，或不能达到的数，而x代表不限于任何时地的东西，则“形式蕴涵”的意义改变。以上所说的古怪情形就是真值蕴涵的古怪情形。照真值蕴涵的定义，一假命题蕴涵任何命题，所以在中，只要前件是假的，形式蕴涵总可以说得通。同时照以上的解释，φx可以总是假的。因为x代表限于时地的东西，因为事实上没有“千角兽”，说“x是千角兽”，这总是假命题。既然如此，“无论x是什么，如果x是千角兽，x是圆的”总是说得通的或真的形式蕴涵。

现在n既代表无量，x所代表的东西又无时地的限制，则“x是千角兽”不能说总是假命题，那就是说它也可以是真命题。如果前后两件既可真可假，而同时又承认形式蕴涵其他部分的思想，则有时我们可以利用形式蕴涵以为定义的工具。如果我们利用它以为定义的工具，形式蕴涵就表示φ与ψ的意义上的关系。如果φ与ψ有意义上的关系，形式蕴涵就与意义上的“如果——则”的命题接近了。所以从本条的解释看来，真假值的蕴涵关系可以变成意义上的蕴涵关系。

同时我们要记得有以上解释的形式蕴涵，虽可以是而不必就是意义上“如果——则”的命题。我们以前曾经说过，通常“如果——则”的命题不容易说究竟是怎样的命题。有以上解释的蕴涵不必是有意义关系的蕴涵。所以至少它不必是表示意义关系的普通“如果——则”的命题。别的不说，如果φx代表一个复杂的而同时又是不可能的命题，则有以上所解释的形式蕴涵似乎就变成路意斯氏的“严格”蕴涵。就这一点而言，这种蕴涵关系也就与普通的“如果——则”的命题不一样。

形式蕴涵有以上（一）（二）两解释。究竟是哪一解释代表形式蕴涵呢？这问题颇不容易答复。在P. M. 似乎只有前一解释，但把x这符号的意义改变，它就可以有后一解释。我们现在恐怕只能说所谓“形式蕴涵”者至少有以上不同的两种蕴涵关系。

c. 穆尔蕴涵或entailment。这个蕴涵关系似乎与一部分的普通“如果——则”的命题最相似，但究竟是这样与否，也难说。设有两个命题p、q，而它有时有一种关系使我们说“q可以由p推论出来”，穆尔蕴涵就是与“可以推论出来”这一关系倒过来的关系。“这本书是有颜色的”这一命题可以由“这本书是红的”这一命题推论出来；“孔子是人”这一命题可以由“所有有理性的都是人”与“孔子是有理性的”这两命题联合起来的命题推论出来。照以上的说法，“这本书是红的”蕴涵（entails）“这本书是有颜色的”；“所有有理性的都是人”与“孔子是有理性的”蕴涵（entails）“孔子是人”。对于这种蕴涵关系我们可以注意以下诸点。

（一）这种蕴涵关系没有真值蕴涵的古怪情形。一假命题不蕴涵（entails）任何命题，任何命题也不蕴涵一真命题。理由简单，“唐太宗是人”绝不能由“中国在非洲”推论出来，所以“中国在非洲”虽“唐太宗是人”，而不“entails”“唐太宗是人”，“中国在非洲”也绝不能由“唐太宗是人”推论出来，它们根本就没有穆尔蕴涵。

（二）这种蕴涵也没有d条所要提出的严格推论的古怪情形。这一点请参见d条。

（三）这种蕴涵一方面可以说是表示事实。事实上所有的红东西都是有颜色的东西，所以“如果x是红的，它就是有颜色的”。另一方面它也可以说表示抽象的理论或名称的定义，欧克里几何的“点”既有那特别定义，我们可以说“如果x是欧克里的点，x就无长短、无厚薄、无高低”。但前一方面的情形可以容纳于后一方面，所以它总是意义方面的蕴涵。

（四）这种蕴涵与真值蕴涵根本不能比较，与第一义的形式蕴涵也可以说是完全不同。它可以说是第二义的形式蕴涵之一部分，可是它的范围比较的狭。

d. 严格蕴涵或路意斯的“p→q”。这种蕴涵的定义包含“不可能”的思想，而同时“不可能”又视为简单命题所能有的各值中之一值。这一层以后再提及。设有p、q两命题，p严格蕴涵（→）q，就是说“p是真的而q是假的是不可能的”。对于此蕴涵关系，应注意以下诸点。

（一）“不可能”的意义不是矛盾。如果“不可能”的意义是矛盾，则p、q两命题的意义相同，实为一命题。其结果是不仅p蕴涵q，而且q也蕴涵p。所以如果“不可能”的意义是矛盾，则严格蕴涵应该是对称的。但严格蕴涵不是对称的，那就是说p虽“→”q，而q不必“→”p。

（二）“不可能”的意义似乎也不是“不一致”的意思。如果“不可能”的意思有普通所谓“不一致”或者“冲突”的意思，则仅有复杂的命题才能是“不可能”的命题，因为“不一致”是两命题或多数命题之关系，所以一定要是简单命题联合起来的复杂命题才能称为“不可能”的命题。但p可以代表“x是红的”这样的简单命题，这样的简单命题，路氏有时也说它“不可能”，所以“不可能”不能是“不一致”。究竟是什么颇不易说。在路意斯系统里，它是一基本概念。

（三）严格蕴涵有以下奇怪情形。这里的奇怪情形与真值蕴涵的奇怪情形相似。照定义，p严格蕴涵q等于说p是真的而q是假的是不可能的。如果p是一不可能的命题，则无论q为真、为假、为可能、为不可能、为必然的命题，“p是真的而q是假的”，总是一不可能的命题，所以p总“严格蕴涵”q。结果是一不可能的命题“严格蕴涵”任何命题。由同样情形，任何命题“严格蕴涵”一必然的命题。

（四）除以上奇怪情形之外，严格蕴涵可以说是意义上的蕴涵，不过它不仅是意义上的蕴涵而已。如果p所代表的是“这本书是红的”，“q”所代表的是“这本书是有颜色的”，因为“红”与“有颜色”有定义上的关系，所以“这本书是红的”严格蕴涵“这本书是有颜色的”。从这一方面着想，它与穆尔蕴涵相似。但严格蕴涵既有以上的奇怪情形而以上的奇怪情形又不表示两命题意义上的关系，严格蕴涵虽可以是而不必是意义上的蕴涵。

e. 以上所举的是四种不同的蕴涵关系，有的与普通的“如果——则”的命题接近，有的则大不相同。这四种蕴涵关系与普通的“如果——则”的命题之间就有以下的问题。它们代表普通的“如果——则”呢，它们是新发明呢，它们是新发现呢？在此处我们又要表示普通的“如果——则”的命题究竟是怎样的命题，实在不容易说。恐怕最妥当的说法是说它包含各种不同的蕴涵关系。即以普通语言为例：“如果今天天晴，我就打球”与“如果你是中国人，你就是黄种人”。这两种“如果——则”的命题，普通语言中都有，可是它们包含两种不同的蕴涵关系。我们或者可以说，这里提出的四种不同的蕴涵关系，均不成文地寓于普通的“如果——则”命题之中；可是成文之后，意义比较正确；意义既比较正确之后，我们就不应把它们相混起来。在没有分别或解析之前，我们糊里糊涂地用些“如果——则”的命题；在既分别或解析之后，我们虽仍用“如果——则”式的命题，我们就得知道这命题里所包含的蕴涵关系是哪一种蕴涵关系。同时我们要记得这四种蕴涵关系并不能说是包举无遗，恐怕还有好些的蕴涵关系没有发现。

2. “所以”。此处所说的“所以”是演绎方面的所以，不是归纳方面，或普通言语中的所以。这种“所以”是演绎方面的“inference”，它根据于蕴涵。能说所以的时候总有蕴涵关系，本段所要提出的问题是有蕴涵的时候是否能说“所以”。

a. 这个问题是Lewis Carrol提出来的。古希腊有“阿乞黎”——以善跑出名者——与乌龟赛跑，只要乌龟先动身，阿乞黎永远追不上的论辩。Carrol利用这论辩中的角色以为表示推论不可能的工具。阿乞黎说一个三段论（兹假设为以下三段论）：

（甲）所有的人都是会死的

（乙）苏格拉底是人

（丙）所以苏格拉底是会死的。这个三段论在阿乞黎是毫无问题；但在乌龟方面，它总觉得结论靠不住。何以靠不住呢？乌龟的理由如下：仅有（甲）（乙）两命题，我们不能得（丙）命题的结论，因为我们不知道（甲）（乙）是否蕴涵（丙）命题。如欲得（丙）命题的结论，我们要加一命题如下：“（甲）（乙）两命题真蕴涵（丙）命题”。这样，欲得（丙）命题的结论，我们不仅要有（甲）（乙）两命题为前提，而且要有第三命题为第三前提。但这仍不够，因为根据同样理由，我们要加一命题“（甲）（乙）与第三命题联合起来真蕴涵（丙）命题”为第四前提才行。由此一步一步地类推，（甲）（乙）两前提之后，要有无量数的前提才行。那就是说，我们不能得（丙）命题的结论。

b. 我们或者要说以上是诡辩，但它有相当的理由。它表示蕴涵关系可以成为一串链子，不容我们中断，而我们要得结论，那就是说，要使我们对于一命题能冠以“所以”两字，我们非打断那一串蕴涵关系不成。唯一打断的法子就是承认以上（甲）（乙）两前提既均蕴涵（丙）命题，只要承认（甲）（乙）两命题我们就可以直接得（丙）命题的结论。如（甲）（乙）两命题不蕴涵（丙）命题，则根本不能得（丙）命题的结论。问题是（甲）（乙）两命题与（丙）命题之间有蕴涵关系没有。如有，则用不着第三第四等等命题；如无，则根本不能得结论，根本就不能说“所以”。

c. 可是照以上的情形看来，如无成文的方式打断蕴涵的链子，我们可以假设链子没有打断。如未打断，则“所以”说不通。推论的原则一方面固然是普遍的推论方式，另一方面也可以说是打断蕴涵链子的原则。从前一方面着想，它有积极的用处；从后一方面着想，它又有消极方面的用处。在自足的逻辑系统内，我们似乎免不了要有成文的推论原则。在P. M. 基本命题之中，有推论原则。

其他的推行工具如“同”“等”“代替”等等，其情形与蕴涵相似。它们都是使我们能说“所以”的根据。我们不必一一讨论。在此处我们可以说“代替”在P. M. 系统中是一很重要的方式。p、q、r等既代表任何命题，则承认之后，我们也承认；换言之，我们能以q代替p，以～q代替～p。代替的范围可以毫无限制，所要求者，一致而已，那就是说我们不能以q代替p，以r代替～p。