上面所提出的是必然的性质。我们费那么大工夫去讨论它，因为它是逻辑系统所要表示的实质。在本段我们要提出矛盾的性质，因为它是逻辑系统之所要淘汰的。但矛盾问题，我们在此处仅能讨论一部分，另一部分是自相矛盾与废话的问题，对于这问题，作者感觉麻烦，在本书不预备提出。所以本段所注意的仅为矛盾的性质及说法，表示它为逻辑之所舍，而非逻辑之所取。因为在此处注重逻辑的取舍，我们借这个机会讨论所谓“思想律”者在逻辑与逻辑系统的位置。

1. 矛盾的性质。

a. 在上段讨论必然时，已经说明引用二分法于一命题有真假两可能，而对于这两个可能，我们可以有四个真假函数。这四个之中，有一个是必然的命题，有一个是矛盾的命题。在上段我们所讨论的是第一命题，它是一个必然的命题。在本段我们要讨论第四命题。它是矛盾的命题，既然是矛盾，它是命题与否颇有问题，但现在我们可以不管。

b. 为什么说它是矛盾命题呢？这个命题说“p是假的”是假的，那就是说p是真的；而又说“p是真的”是假的，那就是说p是假的。其结果这句话等于说“p既是真的又是假的”。这样的话通常认为是矛盾的命题，传统逻辑给我们这种习惯，在此处我们不妨引用故有的名称。矛盾的性质，因以上第四命题那样的说法，有使我们容易清楚明白的好处。我们既引用二分法，就是把可能分为两类。事实无所逃于此两可能之间，非此即彼，非彼即此，若将此两可能均否认之是不可能的。矛盾命题之所以为不可能者在此。若以以下命题为例：

甲，“这（指一个东西）是四方的”引用二分法之后，就有以下命题。

乙，“这（指那一东西）不是四方的。”

事实上无论所指的东西是什么——是四方的也好，是长方的也好，是圆的也好等等——这两命题不能都是假的（废话问题以后再谈）。如果我们两可能均否认之，即否认二分法范围之内所有的可能。否认所有的可能当然是不可能，因为所有的可能都是不可能为一自相矛盾的命题。如果所有的可能都是不可能是一可能，则所否认的不是所有的可能；如果所否认的为所有的可能，则否认所有的可能不是一个可能。总而言之，矛盾之所以为不可能者，因为它否认所有的可能。

2. 矛盾律的说法与证明等问题。“矛盾”这思想与“同一”一样也有说法与证明两问题。我们可以利用这两个问题表示矛盾之性质与它在系统内所具的形式。

a. 矛盾所具的形式不一，兹以下列三说法为例：

（一）一命题不能是真的与不是真的。

（二）x不能是B与非B。

（三）x不能是B与不是B。

第一个说法完全是以命题方面的真假两可能为表示矛盾的工具。这在以命题为原子的逻辑系统范围之内是直接的相干的表示，而在以类为原子的逻辑系统范围之内它虽仍表示矛盾，而无直接的用处。可是我们不能说它在第二范围之内，没有直接的用处，就以为我们不能利用它为表示矛盾的工具。

第二个说法是以类称方面的正反两可能为表示矛盾的工具。对于此说法我们可以加以注解说“B与非B”为不可能的类，所以“x不能是B与非B”。这个说法虽然与上面的一样表示矛盾，可是它在以类为原子的系统里，它的用处比第一说法更直接。这里有“非B”的范围问题，但在此处我们不提出讨论，因为这个问题牵扯到整个的“非”的问题。

第三个说法可以说是以类表示矛盾，也可以说是以命题表示矛盾。在以类为原子的系统里，它有直接的用处，在以命题为原子的系统里，它也有直接的用处。若把类的系统与命题的系统联合起来成一系统，我们有系统范围之外的理由使我们先推演命题的系统，后推演类的系统。果若如此，则由（一）可以得（三），由（三）可以得（二）。如果我们有系统范围之外的理由使我们先推演类的系统，后推演命题的系统，我们或者能由（二）得（三），由（三）得（一）。

总而言之，矛盾的表示形式对于系统是相对的。因一系统的原子不同，利用以为表示矛盾的工具也可以不同。不仅如此，矛盾的表示，对于二分法也是相对的；如果我们利用三分法或n分法，则表示矛盾的方式与引用二分法的方式不同。

b. 矛盾律之证明问题。讨论“同一”思想或“同一”原则的时候我们所特别注意的是系统内成文的先后问题。这个问题在证明“矛盾”原则一方面，似乎一样的重要，不过在此处我们可以特别地注意系统范围之内与系统范围之外不一致的情形。兹特举以下三“证明”的例：

（一）设以下例命题表示矛盾之原则：

甲，“一命题不能是真的与不是真的”

乙，“一命题能是真的与不是真的”

甲乙两命题的关系如何呢？如果乙命题不否认甲命题，则无论乙命题能成立与否，甲命题不受影响。如果乙命题否认甲命题，则甲乙之间必有一真一假。那就是说：

丙，“一命题不能是‘是真的与不是真的’与不是‘是真的与不是真的’”

但丙命题等于说：

丁，“一命题不能是真的与不是真的”

丁命题就是甲命题。所以如果乙命题否认甲命题，则承认甲命题，所以甲命题是不能否认的，既不能否认，则必得承认。但甲命题即矛盾原则，所以矛盾原则因用反证法而得证明。

c. 以上三个证明的例各有不同的情形。第一例的特殊情形就是乙命题与丙命题之间的那一段推论。那一段推论是承认矛盾原则以后才能成立的推论。推论能成立，才能证明矛盾原则，推论不能成立，我们不能以那种方法证明矛盾原则。推论之能成立与否要看我们承认矛盾原则与否。结果是第一例的证明是承认矛盾原则后再去证明矛盾原则。不仅如此，我们可以说它是直接引用矛盾原则去证明矛盾原则。

第二例也可以说是承认矛盾原则后去证明矛盾原则，可是在形式上它没有直接引用矛盾原则去证明矛盾原则。在这里我们所应特别注意的是在一大堆具有等号（=）的公式中，我们可以用此以明彼，也可以用彼以明此。我们所得到的是一部分思想的关联或互相关系。如果我们把第二例的秩序变更，我们也可以利用去证明“A2=A”。这样看来，究竟谁证明谁，要看秩序如何。如果没有一个特定的秩序，根本就谈不到证明。

第三例的情形一方面与第二例一样，另一方面也不一样。由前一方面说，我们表示“排中”原则，“或”“与”（·）、“蕴涵”及“推论”原则与矛盾原则的相互关系。若无特殊秩序，我们可以用此以明彼，也可以用彼以明此。这是与第二例一样的。从后一方面说，“或”为P. M. 的基本概念（1910年版），“蕴涵”为基本关系，“推论”原则为基本命题，由乙经丙到丁的推论根据于“推论原则”，“与”在矛盾原则未成文地发现以前，已经介绍，“排中”原则在矛盾原则未成文地发现以前，已经证明。P. M. 有它的特别的秩序，在这个特别的秩序里，第三例毫无疑义地是矛盾原则的证明。

d. 以上的讨论可以归纳到以下诸点：

（一）在一逻辑系统范围之内，所要证明的原则实即在那一系统范围之内那一原则的表示方式。矛盾原则可以有不同的表示方式。每一方式在一相当的系统范围之内才能证明，否则不能。

（二）所谓逻辑的证明都是逻辑系统内的证明而不是证实。但其所以能等于证实者，因为逻辑系统中的命题是必然的命题。

（三）每一逻辑系统均有一特别的秩序，所谓成文的先后即此特别秩序中的先后。逻辑的证明，既是逻辑系统中的证明，当然不能离开一系统的秩序。

（四）不在任何逻辑系统的立场上，即不在任何秩序的立场上，我们不能说逻辑的证明。

总而言之，谈到证明，系统范围之内与系统范围之外的情形不一致。我们在此处可以说是利用“同一”思想、“矛盾”思想以明“证明”，同时也利用“证明”思想以明“同一”与“矛盾”。

3. 所谓“思想律”的解释。读者或者要问以上对于“同一”与“矛盾”两原则均讨论“证明”问题，何以对于“排中”没有讨论，也没有提出证明问题。其实B段所讨论的必然的性质问题即为“排中”问题。“排中”原则的证明问题与其他两原则的证明问题稍微有点不同。逻辑系统所要保留的都是，或都要是，必然命题，而必然命题都表示“排中”原则。既然如此，每一必然命题的证明都间接地是“排中”原则的证明，所以整个逻辑系统的演进可以视为“排中”原则的证明。

A节所讨论的为“同一”，B节所讨论的为“排中”，C节所讨论的为矛盾。这三个原则就是传统逻辑里的三个“思想律”。现在对于所谓“思想律”者有一番批评。有一个无关宏旨的批评——就是思想律不是“律”的那一批评——因为前此已经提及，用不着再谈。除此以外，也有别的批评，我们似乎不应该不提出讨论。我觉得我们对于这三个原则有点误会。在逻辑系统里，它们有两种不同的立场，一种是逻辑系统的实质，一种是逻辑系统的工具。习于传统逻辑的人以“思想律”为无上的“根本”思想，而从事于符号逻辑的人又以为“思想律”与其他思想两相比较孰为“根本”一问题，完全为系统问题。这两说似乎都有理。前一说法似乎是界说方面的说法，后一说法似乎是工具方面的说法。兹特分别讨论。

a. 界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”。同一原则是可能的可能，是意义的条件，它也是必然的命题。关于同一原则，我们不必再有所讨论。此处所要讨论的是排中原则与矛盾原则。

（一）“排中”原则。这个原则与其说是“排中”不如说是“排外”。排中原则的可能是彼此穷尽的可能。如把可能分为两类，则此两可能之外没有第三可能；排中原则所排的是第三可能。如把可能分为三类，则三可能之外没有第四可能；排中原则所排的是第四可能。如把可能分为n类，则n类可能之外没有（n+1）可能；排中原则所排的是（n+1）可能。所以说所谓“排中”实即“排外”。这个原则不过表示可能之拒绝遗漏而已。必然的命题从正面说是承认所有可能的命题，从反面说是拒绝遗漏的命题。逻辑所保留的是必然命题，所以它所保留的是表示“排中”原则的命题。

（二）“矛盾”原则。逻辑方面的可能不仅彼此穷尽，而且彼此不相容。如把可能分为两类，则此两可能不能同时承认之。如把可能分为三类，则此三可能不能同时承认之。如把可能分为n类，则此n可能不能同时承认之。矛盾原则可以说是表示可能之拒绝兼容。从消极方面说矛盾是否认所有的可能，从积极方面说它是所有可能的兼容。矛盾是逻辑之所要淘汰的，那就是逻辑之所舍。

（三）以上表示必然为逻辑之所取，矛盾为逻辑之所舍。其他既非矛盾又非必然的命题，逻辑既不舍，也不取。逻辑系统之所取为逻辑上之所不能不取，逻辑系统之所舍为逻辑上之所不能不舍。既非必然又非矛盾的命题在逻辑上均能取而不必取。对于这些命题取与不取的标准不在逻辑范围之内，试验、实验、经验都是对于它们取与不取的标准。但有矛盾的命题在无论什么系统范围之内总是要淘汰的命题。

以上三点可以表示逻辑的功用。它是思想的剪刀，一方面它排除与它的标准相反的思想，另一方面因为它供给能取与否的标准，它又是组织其他任何系统的工具。各种学问都有它自己的系统，各系统虽有严与不严程度不同的问题，而其为系统则一，既为系统就不能离开逻辑。各种学问既都是这样，自然科学也是这样，不过命题之取与不取，承认与否，除逻辑标准之外，尚有旁的标准而已。

界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”，不仅是逻辑系统中的思想，而且是逻辑的思想；不仅是逻辑系统中的组织工具，而且是组织别的系统的工具与标准。传统逻辑以它们为无上“根本”的思想的道理，或者就是因为它们除在逻辑系统有职务外，还有范畴其他任何思想的职务。从这一方面着想，它们与逻辑系统中的其他工具似乎不同，把它们视为一组的思想，我们似乎可以说这一组的思想比别的逻辑思想更为重要。

b. 系统中的“同一”“排中”与“矛盾”。系统中的“同一”“排中”与“矛盾”是系统中的工具。在这个工具的立场上，它们与其他的工具一方面无所谓根本与不根本的问题，也可以说没有一定的孰为比较的根本孰为比较的不根本的问题。另一方面每一系统有一特别的成文的先后，而在这成文先后的秩序里，这三个工具可以发现在别的工具之前，也可以发现在别的工具之后；以一特殊系统为背景，它们有孰为比较的根本孰为比较的不根本的问题。

（一）系统方面的问题与界说方面的问题不必相同。界说方面的原则是逻辑的原则，是逻辑系统的对象的原则，（合而为一）或者说它是原则的实质，不是原则的形式。如果有不相融的逻辑系统，界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”均为各系统之原则，不过表示的形式不同而已。系统的工具是一系统所利用以为那一系统演进与推论的工具。逻辑是普遍的，逻辑系统是特殊的。每一逻辑系统均是一特殊的秩序，组织那一特殊秩序的工具总免不了有特殊情形。

（二）即以P. M. 系统而论，“或”“与”（·）、“非”（～）、“蕴涵”、等等，均为P. M. 系统中的工具。从工具的立场上看来，在P. M. 系统范围之内，后面的工具不若前面的根本。但这些工具之中，有些是这个系统中的特殊工具如，有些是语言方面的普遍思想如“或”等等，但是也有一些如、“～（p·～p）”，同时也是划分逻辑范围的原则。从后面这立场上看来，它们不能与其他工具相提并论。

（三）总而言之，一方面“同一”是意义的条件，“排中”与“矛盾”都是划分逻辑界限的原则；另一方面，它们又是系统中的工具。从前一立场上看来，它们与其他的工具没有比较根本与不根本的问题，从后一立场上看来，究竟孰为比较的根本或比较的不根本完全是一系统的组织问题，或成文的先后的问题。