在未讨论必然之前，我们可以提出一青年所难免发生的问题。作者在十几年前与同学清谈时，就不免表示对于算学家有十分的景仰。尤其使他五体投地的就是算学家可以坐在书房写公式，不必求合于自然界而自然界却毫不反抗地自动地承受算学公式。这问题在许多读者中或者根本没有发生过，或者发生过而自己有相当的解释，亦未可知。作者对于此问题，以算学素非所习，所以谈不到解释的方式。近年经奥人维特根斯坦与英人袁梦西的分析才知道纯粹算学——至少他们所称为“纯粹算学”的算学，或逻辑学，有一种特别的情形。此情形即为以上所称为逻辑的必然，或穷尽可能的必然。对于这种必然我们可以分以下三层讨论。

同时，排中律就是一最简单而又最显而易见的必然命题，此处讨论必然命题，间接地也就是在那里讨论排中律。

1. 要知道此种必然的性质，我们最好先谈二分法。设以X代表任何东西或事体或事实或思想，如果我们引用二分法，即有X与非X的正反的分别。

a. 如果X代表类称，引用二分法后即有正反两种类称，那就是，X与（非X）。

这种正反两分别的变类要看原来的类称数目多少。有X与Y两类，引用二分法后，就有四种不同的类称。如果以X代表非X类，Y代表非Y类，这四种类称如下：

如果我们有XYZ三类称，引用二分法后，就有以下八类：

由此我们可以看出如果我们以2表示正与反两分别，n代表原来类称数目，引用二分法后，所能有的类称的总数为2n。

b. 以上是以二分法引用于类称，可是当然不必限制到类称方面。现在研究逻辑的人似乎都觉得命题比类称还要根本。这一层在此处不必讨论。我们所注意的是二分法之引用于命题方面与用之于类称方面是一样的。命题也可以有正与反。普通以正为真、以反为假，我们可以照办。可是我们不要把真假看得太呆板，我们现在只认它们为正与反两绝对分别中之一种解释而已。如果我们有一个命题p，引用真假二分法后，就有以下真假可能：

如果有两个命题p与q引用二分法后，就有以下四个可能：

如果有三个命题p、q与r，引用二分法后，就有以下八个可能：

这种可能我们称为真假可能。它的数目为2n，与类称方面的正反可能一样。

2. 类称方面的正反可能有正反可能的函数，命题方面的真假可能有真假可能的函数。我们从最简单的例着手。

a. 一个命题p，引用二分法后，有真假两可能，我们最好用右边的方式表示这两个可能：

可是对于这两个可能，我们从承认与否认方面着想，可以有四种不同的态度，或者说有四种真假可能的函数。这四种不同的态度，可以表示如下：以上“1”与“2”代表一命题的真假两可能，“a”“b”“c”“d”代表四种不同的态度，或真假可能的函数。原来的真假两可能是两个命题，一个说p是真的，一个说p是假的。a、b、c、d四个不同的态度是四个不同的命题如下：

a. “p是真的”是真的或“p是假的”是真的。

b. “p是真的”是真的而“p是假的”是假的。

c. “p是真的”是假的而“p是假的”是真的。

d. “p是真的”是假的，“p是假的”也是假的。

以上四命题中“b”与“c”可以不必提出讨论，因为它们只承认真假两可能中之一可能。“b”命题不过是说“p是真的”，因“‘p是假的’是假的”等于“p是真的”。“c”命题不过是说“p是假的”，因“‘p是真的’是假的”等于“p是假的”。

b. “a”与“d”两命题有特别的情形。“d”命题对于原来的两可能均不承认。原来的真假两可能一方面彼此不相容，另一方面彼此穷尽；事实上的情形无论如何的复杂均不能逃出二者范围之外。换句话说，所有的可能都包括在原来两可能之中。若将所有的可能均否认之是不可能，“d”命题既否认所有的可能，是一不可能的命题，那就是说是一矛盾。

“a”命题与“d”命题的情形恰恰相反。“a”命题把原来任何可能都承认了。“d”命题不能是真的，而“a”命题则不能是假的。这两个命题的真假与寻常命题的真假不同。寻常命题或者是真的或者是假的，而这两个命题中一个不能不假，一个不能不真。

我们要记得“a”命题说“‘p是真的’是真的或‘p是假的’是真的”。这不过是说“p是真的或者p是假的”。我们可以用一个很寻常的命题来试试。假如我们说“这个东西或者是桌子或者不是桌子”，这句话无论如何是不会错的。所谓“这个东西”者既可以是桌子，而不是其他的东西，但也可以是人，或者是椅子，或者是米，或者是西瓜，等等。可是无论它是什么，它都可以容纳到“是桌子或者不是桌子”的范围之内。照此看来“a”命题无往而不真，我们不能否认它，因为在引用二分法条件之下它承认所有的可能。

同时我们也要注意“a”命题这样的命题对于具体的事实或自然界的情形根本就没有一句肯定的话。这种命题既不限制到一个可能而承认所有的可能，则无论在什么情形之下，它都可以引用。这就是承认所有可能的“必然”命题。

c. 以上不过是就一个命题而说的话，如果有p、q两命题，原则一样，不过真假可能加多而已。p与q两命题的真假可能有四个如下：而这四个真假可能的函数则有十六个。那就是说，我们对于这四个可能可以有十六个不同的命题表示十六个不同的态度。此十六个命题之中有一个不可能的命题，有一个必然的命题。前者否认所有的可能，后者承认任何可能。

如果我们有三个命题如p、q、r，我们有八个真假可能，有二百五十六个真假可能的函数。那就是说，我们可以有二百五十六个命题，表示对于这八个可能有二百五十六个不同的态度。这些命题之中有一个否认所有的可能，所以是矛盾的命题；有一个承认任何可能，所以是必然的命题。

3. 凡从以上所讨论的必然的命题所推论出来的命题都是必然的命题。这句话容易说，而不容易表示，更不容易证明。现在姑就容易着手的一方面，表示逻辑的基本命题是方才所说的这一种必然的命题。逻辑与算学或者是已经打成一片，或者是可以打成一片，或者是根本不能打成一片；但无论如何，在P. M.的定义范围之内它们是已经打成一片。这部书的基本命题也就是它的逻辑与算学的前提。我们可以看看这些基本命题是否是必然的命题。

P. M. 第一章（在1910年版中）有六个基本概念，一个定义，十个基本命题。基本命题之中，有五个是用符号表示的，有五个是用普通言语表示的。后者之中有两个是推论的规律。以语言表示的基本命题应否视为此系统的基本部分，颇发生疑问。无论如何本文可以不去管它们。我们在此处仅表示所有以符号表示的五个基本命题都是必然的命题。

这是定义。我们要利用这个定义，去表示以下五个基本命题都是必然的命题。我们要知道：

以上“～”代表“非”或“反”，∨代表“或者”。

1.2，├：p　p· ·p Pp.（Pp.表示是基本命题）

这是第一个以符号表示的基本命题。照以上的定义它可以变成以下的形式：

这个命题说“p或者是假的或者是真的”。一个命题p只有这两个可能，若此两可能之中任何一可能均为此基本命题所承认，它一定是必然的命题。

照以上的基本定义，这命题可以变成以下诸形式：

p与q两命题的真假可能可用图表示：

以上1.3与1.4两基本命题把p与q所有的真假可能中的任何可能均承认之，所以它们都是以上所讨论的必然命题。

根据同样的办法，这一个命题可以有以下的形式上的变化：

我们可以先把以上命题分成两部，用同样的办法改变它的形式。可是q～r对于p有两个可能：pq～r与～pq～r，所以以上又等于

此中pq～r重复，但毫无妨碍。

1=～p～q～r　2=p～q～r　3=～pq～r　4=～p～qr

5=pq～r　6=p～qr　7=～pqr　8=pqr

p、q、r三命题的真假可能共有八个，兹以上图表示。

以上1.5与1.6两基本命题把p、q、r所有的真假可能中的任何可能均承认之，所以它们也是以上所讨论的必然命题。

P. M. 的十个基本命题中，五个以语言表示的都没有“├”符号。有这个符号，表示这部书的作者肯定地说这些命题是真的。照以上的分析，这五个以符号表示的命题不但是真，而且都是必然的命题。