1. 解释弁言。

P. M. 中这一部分的命题在本书中有解释方面的困难。相同的定义在原书中利用predicative function与axiom of reducibility两思想。本书因为种种理由，这两个思想根本没有介绍。所以原来的定义，本书不能直抄。同时用另外方法解释此定义，又为作者才力之所不能及。

这里的同，本书说是“相同”，因为它是否即为我们在知识论方面所能承认为同一律之“同”颇有问题。为便利起见，我们分“同”为以下四种：

甲、φ与φ同

乙、φ与ψ同

丙、x与x同

丁、x与y同

以上四种，甲乙为一类，丙丁为一类。甲乙是谓词方面的同，概念方面的同，关系方面的同，共相方面的同；丙丁的（x，y）虽不必是我们经验中的具体的东西，而可以是具体的东西，所以丙丁的同可以说是个体的具体的东西方面的同。

有些人的主张是把同一律的同限制到甲乙类，因为甲乙类的同不发生变的问题，而丙丁类的同免不了变的问题。本书的作者，不仅主张把同一律之同限制到头一类，而且主张把同一律之同限制到甲种；如此则同一之同是完全的、绝对的，而事物的变化无论如何的快，绝不至于影响到这样的同，因为这样一来，同一律对于具体的东西，没有肯定的积极的主张。照此看法，表示同一律的命题在P. M. 中可以是那一命题，或“├：p≡p”那一命题，而不是“x，y，z…”出现之后的“├：x=x”那一命题。

但P. M. 那本书的主张不是这样。它的同是丙丁类的同，是“x，y，z…”出现之后才有的同，而表示同一律的那一命题在原书中是“├：x=x”那一命题。这样的同，照本书的作者看来，只是相同。“x，y，z…”虽不必代表我们经验中的具体的东西，而可以代表那样的东西；如果代表那样的东西，则“├：x=x”免不了变迁的问题，除非把这命题的效力限制到时点上去。

无论如何，本段所谈的同是原书中的同，不是本书作者所要求于同一律之同。

2. 本段所选择的几个命题。

（这就是说：如果x与y相同，那么，如果x是ψ，则y也是ψ（或y有x所有的性质）。根据以上的讨论“性质”二字，照A段的解释，就发生问题。）

（这命题比以上的更进一层。如果x与y相同，则说x是ψ等于说y是ψ。x与y间的等号“=”是个体的同，ψx与ψy间的“≡”是命题的真假值的相同。）

（这就是说：如果ψx是真的，而x与y同，则ψy也是真的。这里的证明是很容易的，读者可以试试。）

（如果ψx是真的，而ψy是假的，则x与y不同。这命题的证明也是很容易的。13.101，13.13，13.14，这三命题可以视为一套。）

13.15，├：x=x

（此即原书中的同一律。）

13.16，├：x=y·≡·y=x

（说x与y同等于说y与x同。）

（这个命题说：如果x与y同，y与z同，则x与z同。这里的三个命题也成一组。头一命题表示相同有自反质，第二命题表示相同有对称质，第三命题表示相同有传递质。）

（这两个命题表示凡与一物相同者彼此亦相同。这两命题与13.17那一命题实在表示一样的情形。）

（这两个命题表示凡与一物不相同者与其相同者彼此亦不相同。）

（这里头一个命题说：如果x与y相同，则说任何z与x相同等于说z与y相同。第二命题更进一步说：说x与y相同等于说，任何z，说它与x相同等于说它与y相同。）

（这命题说：如果任何y与x相同，则φy是真的等于说φx是真的。这是显而易见的理。说任何与x相同的东西是圆的等于说x是圆的，其他形形色色同样。）

（这命题在下段有用。它说：有c（c指某一个体，b亦然）说任何个体与b相同等于说它与c相同，而ψc是真的，这一句整个的话等于说ψb是真的。）

（这命题与13.191成一对。根据那一命题的例，我们可以说有与x相同的东西而它是圆的，等于说x是圆的。其他性质同样。）

（这个命题就是引用于两个表面任指词的13.195。）