最后，让我们再来讨论一下证明问题。

读不懂数学的人，都是卡在了证明上。

很多人都不喜欢看证明过程，想要避开，而事实上在很多时候，他们也的确这么做了。就连经常需要使用数学的人，也时常会在看书时跳过证明的过程，甚至老师在出题时也有避开证明题的倾向。

在这里，让我们将目光聚焦到证明的意义上，换一种积极的方式来思考。

数学通常会以定义，或是以前曾经证明过的定理为出发点，按照推理规则来证明新的定理。有了这种固定的形式后，无论是旷世奇才的头脑中突然闪现的想法，还是坚韧不拔的努力者用时间和汗水换来的成果，都能够被添加到人类的数学知识库中，获得永恒的生命。即使是像我们这样平庸的人，也能够理解这些知识的正确性和意义（虽然无法做出同样的创新）。正是这一点，赋予了数学独一无二的强大力量。

只要我们能够读懂证明过程，就能够读懂用数学写成的书籍，获取这些强大的知识。甚至我们也可以用自学的方式去学习。

有一本书非常适合用来提升数学证明的读写能力，它就是丹尼尔·索罗撰写的《证明的阅读与写作：数学思维过程入门指南》（共立出版，1985）。

书中首先讲了数学的证明过程会省略哪些内容，导致人们阅读起来感到困难。然后作者还认为，只要先学会写证明，就能够学会读证明。这种做法看上去是绕远路，但实际上却是抄了捷径。

比起详尽的地图和路线图，数学的证明过程更像是人们在山中摸索道路时折下树枝做的记号。如果我们既不认识路，也不去山里亲自走一走的话，很难光靠折下的树枝来重现前人走过的路线。

于是，《证明的阅读与写作》这本书将数学的证明手法和数学家在做证明时的思维方式进行了分类，把证明的“语法规则”提炼了出来，并且对这些规则分别适用于哪些情况也进行了讲解（相关内容可以参考本书第666页的表格）。这样一来，我们就可以从这本书中学习写证明时所需要的最基本的知识。

与此同时，这本书也教会了读者如何去掌握证明的“语法规则”，从而提升阅读证明过程的能力。

对初学者来说尤其需要注意的一点就是，人们在写证明过程时通常会省略掉一部分内容。这就跟爬上了高处后，会把梯子撤掉一样。除了反证法、归纳法这种著名的证明方法以外，还有一种过于基础，甚至连名字都没有的证明方法。在这本书中，作者将其命名为前进后退法（forward-backward method），并进行了说明。一段完整的证明过程通常会按照从条件向结论推导的方向（forward，前进）来记述。然而，写这段证明的人还会在脑海中从结论向条件的方向反向推导（backward，后退）。正因为有了这个反向推导的过程，我们才能够更加高效地找到证明路线，不会因眼前的岔路过多而付出高昂的试错成本。

在最终写出来的证明过程中，通常不会体现出那些失败了的试错过程和从结论反向推导的过程。

当我们在阅读数学书上的证明过程时，有时会感到一丝绝望，因为书上写的证明过程的确能够成立，但是我们自己绝对想不到可以这样去证明（有时，我们还会觉得证明中的某个步骤完全是凭空出现的）。在这种情况下，往往其背后就存在着反向推导的过程。

对于许多数学家来说，反向推导是一个理所当然的步骤，甚至他们自己都没有意识到这一点，完全是在不知不觉中完成的。而对于我们来说，只要意识到了这一点，就不会再将数学证明视为天才的伟业，让它重新落回人间。

证明方法的总结

[注：在最大最小证明法中，假设实数集合S具有最大值和最小值]