首都师范大学附属中学 黄凤圣

2006年我参加北京市海淀区教学大赛的课题是《双曲线及其标准方程的研究》，这个课题在各种省市级、国家级公开课上已经司空见惯，在各种期刊上也讨论好多次，在大家的眼里这节课已经基本成型，没有什么可以突破的。所以参赛面临很大的风险。是否在习以为常中还有牛顿发现的“苹果”呢？

我静下心来，潜心研究，真的发现了这个“苹果”。由此这节课在比赛中获得了一等奖，也获得了2007年北京教学设计大赛一等奖，2007年也被教育部选用作为新课标培训的素材（见新思考网）。下面分享这突破极限的设问过程。

一 “显”而不一定“易见”——学生发现“苹果”的基点

低认知水平问题中的知识水平问题：主要考察学生对知识的记忆情况，确定学生是否已经记住先前所学的知识内容，如定义、公式、概念、事实等。但低认知水平问题不一定是低水平的问题，当老师重视对问题本质的挖掘，它有可能也是一个高水平的问题，而《双曲线及其标准方程的研究》这节课正是从引入一个低认知水平问题开始，进行层层深入，是整节课中学生发现“苹果”的基点。

问题1：回顾一下，已经学习过的曲线可以看成由满足什么条件的动点形成的点的轨迹。并用框图来表示上述定义。

学生回顾了直线、圆、椭圆的定义，并发现这三个曲线的定义都是使用解析几何中“点到点的距离”（简称“点点距”）这个概念来形成，并写出了以下的框图：

问题2：从上面的框图来看，我们怎么改变上述条件从而得到新的曲线呢？今天这节课我们应该选择哪种条件所对应的曲线呢？

学生看出上述条件主要是关于“点点距”运算的条件，常见的四则运算除了加法，还有减法、乘法、除法等。

学生选择满足“点点距－点点距＝常数”所对应的动点的轨迹来研究。因为在运算关系中，加法和减法是同一级运算，所以可以类比椭圆来研究新曲线。

在实际的教学过程中，教师往往简单地回顾椭圆的定义，然后直接引入双曲线的定义，但是这种方法在导入双曲线定义时显得比较突兀，教师和学生对直线、圆、椭圆的定义显而易见，但是对这三者的内在联系却视而不见。而在本节课的问题1是从解析几何知识体系的系统高度来创设的：从直线、圆、椭圆的定义出发，学生直观感知、观察归纳出这些定义都是使用解析几何中“点到点的距离”这个概念来形成，使用框图来表示这些定义，然后对这些已知曲线的条件进行纵向拓展，进一步选择要研究的曲线。此时学生选择条件“点点距－点点距＝常数”所对应的曲线来研究就是水到渠成的事情，并且学生类比椭圆来研究新曲线也就是理所当然的事情。问题1突出知识间的内在联系，使得问题的研究成为一种必然，也为学生探究椭圆与双曲线的内在性质埋下了伏笔，这是本节课的突破之一。

二 简约而不简单——学生发现了“苹果”

问题3：是否可以类比椭圆，对满足“点点距－点点距＝常数”所对应的动点的轨迹下定义呢？如何对椭圆方程的推导过程直接作适当的改变，从而得到双曲线方程的推导过程?

学生类比椭圆的定义给新曲线下定义，即双曲线的定义。然后对椭圆标准方程的推导过程进行改造，从而得到双曲线标准方程的推导过程，即下表。

问题4：椭圆和双曲线是两个不同的曲线，但是从两者标准方程的推导过程来看，在哪些地方没有发生改变？有没有新发现？

学生观察上表，经历直观感知、抽象概括得到发现：椭圆与双曲线的统一方程(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)（其中椭圆中ac，双曲线中a