北京师大二附中 王丽萍

“学起源于思，思起源于疑”，课堂上教师有意识地设疑问、立障碍、布迷局、揭矛盾，就会使学生处于一种“心欲求而未得，口欲言而不能”的状态，从而激活学生的思维。

本节以《勾股定理》一节课的教学为例，介绍在课堂上如何通过数学问题链，引导学生开动脑筋、思考问题，逐步完成勾股定理的发现和证明过程，最后使学生能融会贯通地运用勾股定理解决一些简单的实际问题。

一 善于观察——你也能发现数学定理

问题情境的创设，如何既抓住基本概念和基本原理，紧扣教学内容的中心、重点和难点，又充分考虑到学生当前的认知水平？学生在尝试解决问题的过程中，如何适当地加以引导，肯定学生自己独特的想法？这些在课堂设问中都需要未雨绸缪。

例如，在《勾股定理》一节课的教学过程中，为了引导学生发现勾股定理，我首先向学生展示一个常见的由瓷砖铺成的地面的图案（如图1所示），然后提出如下问题让学生思考：

问题1: 观察下面的图案，你能从中发现每个小等腰直角三角形的三边有什么关系吗?

图1

图2

学生观察后，没有学生能够直接说出我想要的结果，但提出了三条边的其他的一些数量关系，有的有助于发现勾股定理，当然也有的与勾股定理没有太多的联系。例如，有的学生考察图2中的深灰色正方形后，发现该深灰色正方形的面积为等腰直角三角形斜边的平方，又为等腰直角三角形的面积的4倍，而等腰直角三角形的面积为直角边平方的1/2倍，由此得到等腰直角三角形斜边是直角边的2倍的结论。也有学生利用其他方式得到同样的结论，如直接由两个小等腰直角三角形拼成的大等腰三角形的面积。对于学生的这些有创意的想法，我都及时给予了肯定和鼓励。事实上，学生发现的这个事实蕴涵了等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即勾股定理的一种特殊情形，但是这种想法不适合推导勾股定理的一般情形。

图3

在学生发表完自己的见解后，为了引导学生准确地回答上面的问题，我在图1中标出三个正方形（见图3），让学生注意我标出这三个正方形的过程（从小等腰直角三角形的三边开始，分别标出每个正方形的周线），然后让学生回答下面的问题。

问题2：同学们，从刚才我标出正方形的过程你能看出这三个正方形是怎样得到的吗？

同学们很快便回答出：“这三个正方形是由等腰直角三角形三边分别向外作的三个正方形。”肯定学生的回答后，紧接着我问学生：

问题3：这三个正方形的面积有什么关系呢？

学生从图3容易看出，两个小正方形是由两个相同的等腰直角三角形构成的，而大一点的正方形是由四个同样大小的等腰直角三角形构成的，所以立即回答说“大正方形的面积是小正方形面积的2倍”“大正方形的面积等于两个小正方形面积的和”。学生的思路在我的引导下越来越接近本节课的目标。

问题4：由这三个正方形的面积关系，你能推导出等腰直角三角形三边之间的关系吗？

为了回答这个问题，学生首先思考如何建立正方形的面积与等腰直角三角形边之间的联系。一个自然的考虑是用正方形的面积公式，即正方形的面积为其边长的平方。短暂的演算之后，有的学生回答说“等腰直角三角形斜边的平方为直角边的平方的2倍”，有的学生则回答说“等腰直角三角形斜边的平方为两直角边的平方的和”。我在肯定学生的回答的同时指出，这两个关系本质上是一样的，但前者依赖于等腰直角三角形两直角边相等的特征。

为了让学生发现勾股定理的一般情形，我进一步提出下面的问题：

问题5：对一般的直角三角形，三边长是否有类似的数量关系（即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和）呢？

有了前面的经历后，学生可以自己动手考察非等腰直角三角形三边之间的关系。也就是说，由非等腰直角三角形的三边分别向外作三个正方形，判断大正方形的面积是否等于两个小正方形的面积之和。很快学生便发现了困难，因为他们无法确定每个正方形的面积大小。我提示学生先考察一些特殊的非等腰直角三角形，如两直角边分别为单位长的整数倍的非等腰直角三角形。并且，为了便于计算每个正方形的面积，可将其放入一个正方形网格中，其中每个小正方形的边长为一个单位，然后通过数格子的方法确定每个正方形的面积。

我向学生展示一块课前准备好的纸板，上面画好了正方形网格。然后，我在上面标出一个直角三角形，两直角边分别为2和3（单位长），并由三边分别向外作正方形，分别记作正方形A，B和C（如图4所示）。请同学们考察正方形A，B和C的面积之间的关系。

事实证明，学生通过数格子的方法很容易得到正方形A和B的面积，分别为9和4平方单位，但部分学生在确定正方形C的面积时有困难。这时我引导他们观察图5，学生很快就发现了正方形C的面积可以通过大正方形的面积减去Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ四个相同的直角三角形的面积计算出来：每个直角三角形的面积为2×3÷2=3（平方单位），正方形C的面积为25-4×3=13（平方单位）。学生由此得到正方形A和B的面积之和为等于正方形C的面积，从而发现这个直角三角形两直角边的平方和也是等于斜边的平方，得到了与等腰直角三角形类似的结论。

需要指出的是，图5出现在这里的作用是双方面的，除了确定正方形C的面积之外，还有一个重要的作用就是可以用来证明勾股定理。教学时，我让学生欣赏图5的美，并认真观察图形的结构特点，为学生在后面通过拼图的方法获得勾股定理的证明作铺垫。

图4

图5

为了加深学生对直角三角形三边的规律的认识，我让同学们再试着检验其他的非等腰直角三角形，然后报告他们的发现。有了前面的经验，学生便很快完成了检验工作，并陆续报告说他们所检验的直角三角形均满足两直角边的平方和等于斜边的平方。时机成熟了，于是我进一步问学生：

问题6：通过上面的活动，你们猜想一下直角三角形的三边会有怎样的关系呢？你们能用数学的语言叙述这个关系吗？

在前面活动的基础上，同学们能迅速地猜想一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。用数学的语言叙述一个命题对学生来说是困难的，我逐步引导学生叙述如下：

一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么c2=a2+b2。

我告诉学生这个猜想是正确的，后人称之为勾股定理。相传2500年以前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，从朋友家用砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的这种数量关系。所以，西方把勾股定理也称作毕达哥拉斯定理。

在本次活动中，我从学生熟悉的情景出发，提出一系列问题让学生进行探究，从特殊到一般，从具体到抽象，逐步引导学生观察发现勾股定理，体会探究数学问题的一般方法，训练探究问题的能力。课堂上适当地介绍与勾股定理有关的一些传说故事，既可以活跃课堂气氛又可以提高学生的学习兴趣。

二 奇妙的等式——是巧合吗？

在前面的活动中，我们发现了许多直角三角形的三边长满足如下奇妙的等式：c2=a2+b2，其中a，b为两直角边，c为斜边。这是一个巧合吗？是否对所有的直角三角形这个等式都成立呢？我提出问题后，许多同学立即陷入了沉思，部分同学尝试着对任意直角三角形重复前面的数学活动，在演算纸上写写画画，希望找到解决问题的方法。

我拿出一个课前准备好的直角三角形纸板（如图6所示），上面分别用a，b标记了两直角边，用c标记了斜边。然后，让学生仔细观察图5中的图案，并提出问题：

问题7 ：利用图5中的图案，你能证明图6中直角三角形三边之间的关系式c2=a2+b2这个猜想吗？

图6

图7

经过细心的观察，一部分同学能很快地发现解决问题的方法：用四个图6中的直角三角形拼成一个形状如图5的图案（如图7所示）。外围大正方形的面积为 (a+b)2，中间小正方形的面积为c2，四个小直角三角形的面积之和为2ab。于是，我们有：

c2=(a+b)2-2ab=a2+b2。

这样便得到了我们要证的关系式。

为了加深同学们对这种方法的认识，我拿出我在课前准备的另外的三个直角三角形纸板，连同前面的一个直角三角形纸板，一共有四个，将其拼成图7的形状，并结合图案叙述前面的证明方法。

证明一个命题的正确性，是中学数学教学的一个难点，尤其是对初中阶段的学生。许多学生对抽象的演绎推理过程感到无所适从，更谈不上自己独立地去给出一个命题的证明。当他们发现用拼图的方法竟然能获得勾股定理的证明时，感到非常兴奋和好奇。我不失时机地提出如下问题，进一步激发学生探究问题的热情和积极性。

图8

问题8：除了上面的方法外，你还能找到勾股定理的其他证明方法吗？

学生自己独立思考，动手尝试，然后分小组讨论。我让每小组派学生代表到黑板前展示自己的结果。课上学生纷纷举手，补充完善图形的各种不同拼法，都想把自己的发现跟大家一同分享。绝大多数学生受图4的影响，对一般的直角三角形，由三边向外作三个正方形，通过证明两小正方形的面积之和等于大正方形的面积，从而得到勾股定理的证明。

例如，有的学生利用前面学过的三角形全等的知识以及同底等高的两个三角形面积相等的结论，直接证明两小正方形的面积之和等于大正方形的面积。具体地，他们过直角顶点向斜边作垂线，并延长与大正方形中斜边的对边相交，如图8所示。

由三角形和长方形的面积公式知，图8中三角形ABG的面积为正方形BCFG的面积的一半，三角形BCH的面积为长方形JKHB的面积的一半。不难证明，三角形ABG与三角形BCH全等，从而它们的面积相等。于是，正方形BCFG的面积与长方形JKHB的面积相等。类似可证，正方形ADEC的面积与长方形AJKI相等。而大正方形ABHI的面积等于长方形JKHB与AJKI的面积之和，从而等于两个小正方形BCFG与ADEC的面积之和。

图9

也有的学生采用对图形进行割补的方法。如图9所示，作大正方形ABHI关于AB对称的正方形ABJK，新正方形的边将两个小正方形BCFG与ACED分割成5个部分，分别标号为①～⑤。这五个部分恰好可无重叠地填入大正方形ABHI中，所以大正方形ABHI的面积等于小正方形BCFG与ACED的面积之和。

上述割补方法有一定的技巧性。事实上，由直角三角形的三边向外作正方形还是向里作正方形是无关紧要的。我引导学生思考：如果部分正方形向直角三角形这边作（正方形与直角三角形有重叠），则大正方形与两个小正方形就可能会有部分重叠，此时进行图形割补会不会简单些呢？在我的引导下，学生逐步得到了勾股定理的一种比较简便的拼图证法，见图10。为了增强学生的民族自豪感，我告诉学生，早在公元3世纪我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时就给出了这种拼图证法。

图10

此外，部分学生还提出了其他的证明方法，如用两个形状一样（即相似）的直角三角形的面积之间的关系。

图11

学生在这个数学活动中真正地体会了合作、互动研究问题的乐趣和成就感，并亲身感受了数学的美。我通过让学生积极参与数学学习活动，体验合作的愉快和成功的喜悦，激发他们学习与研究数学的兴趣。根据学生报告的情况，我适当地补充介绍勾股定理的其他有趣的证法。例如：公元3世纪，我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出下面的图形（见图11），人们称之为“赵爽弦图”。这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

“赵爽弦图”表明，四个相同的直角三角形（阴影）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形。它蕴涵了下面的关系式：大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即

c2=2ab+(b-a)2=a2+b2。

这就得到了勾股定理的证明。

图12

又如，1876年美国总统加菲尔德（James A.Garfield）提出了勾股定理的如下拼图证法：用两个相同的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c）拼成如图12所示的直角梯形，中间是一个边长为c的等腰直角三角形。利用直角梯形的面积等于上下两个相同的直角三角形的面积与中间等腰直角三角形的面积之和，便可得到勾股定理的证明。

古往今来，无数数学爱好者被直角三角形中这个奇妙的等式所吸引，上至总统，下至平民老百姓。时至今天，勾股定理的证明方法已达数百种。通过告诉学生勾股定理的这些历史背景知识，让学生感受到数学的巨大魅力，提高学习数学的积极性。

三 生活中的勾股定理——你知道吗？

在获得勾股定理的证明后，我选取一些生活中的问题让学生尝试着运用勾股定理解决，一方面加深学生对勾股定理的认识；另一方面培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。

问题9：售货员阿姨搞错了吗？

图13

小明妈妈买了一部29英寸(约74厘米)的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽（如图13所示），他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

学生对来自于生活中的问题表现出了极大的兴趣，如果能将所学的数学知识应用于实际生活中，将在很大程度上提高他们学习数学的积极性。解决这个问题学生需要知道一个常识：我们日常生活中说电视机是多少寸的是指电视机的屏幕对角线的长度。当知道这个常识后，学生很快就明白了需要利用电视机屏幕的长和宽来计算其对角线的长度。由勾股定理知，

对角线长的平方 =462+582=5480，

由此解得对角线长为√5480≈74.03。这表明，售货员阿姨没有搞错，小明妈妈买的电视机确确实实是29英寸的！

图14

能用所学知识解决生活中的问题，学生感到非常高兴，探究问题的兴趣也非常浓厚。为了进一步加深学生对勾股定理的认识，我继续提出了下面的问题：

问题10：你能够测量出旗杆的高度吗？

我们班学雷锋小组每天早上到学校操场擦拭国旗护栏，他们非常想知道旗杆的高度。胡青同学发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图14(a)所示，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图14(b)所示，你能帮他们求出旗杆的高度吗?

在解决问题的过程中，我根据学生能力的实际情况，逐步引导学生思考三角形ABC的形状，三边的含义以及数量关系，然后运用勾股定理得到关于旗杆高度h的方程。绝大多数学生能很快地根据题意回答出三角形ABC是直角三角形，直角边AB表示旗杆的高度，直角边BC表示绳子的下端拉开的距离，斜边AC表示绳子的长度，由题意知它比旗杆的高度多1米。如果设旗杆的高度为h米，则有AB=h，BC=5，AC=h+1。根据勾股定理知，

h2+52=(h+1)2，

由此可解得h=12（米）。

问题11：壁虎沿着哪条路线爬行的路程最短?最短路程是多少？

图15

如图15所示，在长5 m、宽4 m、高3 m的库房的A处有一只壁虎，在库房的G处有一虫子。问壁虎到达虫子处的哪条爬行路线最短?最短路线的长是多少？

这也是生活中的一个数学例子，但解决它除了需要灵活运用勾股定理外，还需要运用一些常用的数学思想方法。例如，转化的思想。壁虎到达虫子处的爬行路线是一条空间曲线，但它总是沿着库房的地面或墙壁爬行，所以总可以将其展开成平面曲线。这样一来，原问题可转化为求连接平面上两点的最短路线问题。又如，分类讨论的思想。由于壁虎可沿不同的墙壁爬行，故爬行路线的展开方式及展开平面可能是不同的，这就需要分情形讨论。此外，还有对称的思想。壁虎的有些爬行路线虽然不同，但具有某种对称性，从而它们的路程是一样的，我们只需考察其中的一种路线即可。所以，解决这个例子不仅可以提高学生运用勾股定理解决问题的能力，还可以加深他们对转化、分类讨论、对称等常用数学思想方法的认识。

图16

具体地，由对称性我们只需考察壁虎的三种爬行路线，每一种爬行路线均可展成相应的平面曲线。我引导学生对其中一种路线（不妨为图16（a）所示的路线）作详细分析，其余两种路线的分析由学生独立完成。

设图16（a）中的黑粗线为壁虎的爬行路线，将平面DCGH绕DC顺时针旋转90度到DCG′H′位置，使其与平面ABCD重合。则爬行路线AG（黑粗线）变成了平面曲线AG′，它们有相同的长度。连接直线段AG′交DC于点M，再连接MG。由于连接A，G′两点的平面曲线中直线段最短，所以平面曲线AG′的长大于等于直线段AG′的长，从而爬行路线AG的长大于等于直线段AG′的长。根据勾股定理知，

容易检验，壁虎在平面ABCD内由A沿直线段AM爬行到M处，再在平面CDGH内由M沿直线段MG爬行到G处（如图16（a）中细实线所示），这条爬行路线的长恰好就是AG′的长，所以该路线在这种爬行方式中是最短的。利用勾股定理，学生可类似地计算出图16（b）、（c）中最短爬行路线的长分别为

经比较得，壁虎到达虫子处的最短爬行路线如图16（a）中的细实线所示，最短路线长为√74m。

通过上面生活中的一些例子，让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的实质。为了提高学生的兴趣，我们也可以选择一些有关勾股定理的一些历史数学名题作为例子。例如，我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：今有池方一丈，葭生中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深葭长各几何？这里丈、尺是我国过去使用的长度单位，1丈=10尺。尺与米的换算关系是1米=3尺。

这一系列提问将勾股定理的探索、证明与应用等环环相扣的教学内容紧密地贯穿起来，通过精心创设的问题情境，揭示事物的矛盾，引起学生认知冲突，激发学生的学习动力。

奇妙的勾股问题链，不仅循序渐进交织了不同思维含量的问题，活化了人类文明成果——勾股定理的多彩魅力，而且春风化雨般地沉淀为学生的认知结构和创新思维品质，并且给人以数学智慧和艺术美的享受。