科学的进展，有一个共通而富于趣味的倾向，这就是，每一种科学诞生以后，科学家们便拼了命使它向前发展，正如大获全胜的军人遇着敌人总要穷追到山穷水尽一般。穷追的结果，自然总可以得到不少的战利品，但后方空虚，却也是很大的危险。一种科学发达到相当的程度，再要往前进取，总不如早时的容易，这是从科学史上可以见到的。因为前进感到困难，于是便有些人自然而然地会疑心到它的根底上面去。这一来，就要动手考查它的基础和原理了。前节不是说过吗？在数学的园地中近来就有人在背阴的一面去开垦。

一种科学，恰和一个人一样，年青[16]的时候，生命力旺盛，只知道照着自己的浪漫思想往前冲，结果自然进步非常快。在这种时期谁还有那么从容的工夫去思前想后，回看一看自己的来路和家属呢，这样地奋勇前进，只要不碰壁绝不愿掉头的。一种科学从它的几个基本原理或法则建立的时候起，科学家努力的结果总是替它开辟领土，增加实力，使它光荣，使它傲然自大。

然而，上面越阔大，下面的根基更非牢固不可，不然头重脚轻，岂不要栽跟头吗？所以，科学园地中的营造，到了一个范围较大、内容较繁的时候，建筑师们对于添造房屋就逐渐慎重踌躇起来了。倘使没有确定它的基石牢固到什么程度，扩大的工作，便不敢贸然地动手。这样，开始将他们的事业转一个方向去进行：将已成的工作全部加以考查，把所有的原理拿来批评，将所用的论证拿来估价，很仔细地去证明那些用惯了的极简单的命题。他们对于一切都怀疑，若不是重新经过更可靠的、更明确的方法证明那结果并没有差异，即使是已经被一般人所承认的，他们也不敢遽然相信。

一般地说来，数学的园地里面的建筑都比较稳固，但是许多工匠也怀疑它而开始加以根底地考查了。就是大家都不疑心的已得到的结果的简单的证明，也不一定就可以直信而不容疑。因了推证的不完全或译演[17]的错误，不免会混进一些错误到科学里面去的。重行考查，实在有这个必要。

将已用惯的原理来重加考订，为了使科学的基础愈加稳固，这是非常重要的工作。无论是数学或别的科学，它的进展中总常加添些新的意义进去，而所以加添进去的动力又大半是全凭直觉。因此就很有些是若加以严格地限定，就变成不可能了的。比如说，一个名词的定义，在我们最初规定它的时候，总是很小心、很精密的，我们也觉得它是很完全很可满足了。但是用来用去，跟着它所解释的东西，不自觉地，它就逐渐变化，结果简直会和它本来的意义大相悬殊。我来随便举一个例子，在逻辑上讲到名词的多义的时候，就一定讲出许多名词，它的意义逐渐扩大，而许多又逐渐缩小，这只要你肯留心，随处都可找到的。“墨水”，顾名思义当然就是把黑的墨溶在水中的一种**，但现在我们却常在口上说红墨水、蓝墨水、紫墨水等，这样一来，墨水的意义已全然变过，我们对于旧日用惯的那一种，倒要另替它取个名字叫黑墨水。墨本来是黑的，但事实上却不能不在它的上面加一个形容词“黑”，可见现在我们口里所说的“墨”，已不一定含有“黑”这个性质了。日常生活上的这种变迁，在科学上也是不能全免的，不过没有这么明显，没有这么厉害罢了。

其次说到科学的法则，我们初建立它的时候，总觉得它若不是绝对的，而是相对的，在科学上的价值，就不大。但是我们真能够将一个法则拥护着，使它永远享有绝对的力量吗？所谓科学上的法则，它是根据了我们所观察的或实验的结果归纳得来的。人力总只有这般大，哪能尽所有的事物都观察到或实验到呢？因此，我们所不曾观察到和实验到的那一部分，也许就是我们所认为绝对的法则的死对头。科学是要承认事实的，所以科学的法则，就有时会碰着例外。

我们还是来举例吧！在许多科学常用的名词中，有一个，它的意义究竟是怎样，非常不容易严密地规定的，这就是所谓“无限”。

抬起头望天空，白云的上面还有青色的云，有人问你天外是什么？你只好回答他“天外还是天，天就是大而无限的”，他若不懂，你就要回答，天的高是“无限”。暗夜看闪烁的星球，挂满了天空，有人问你，它们究竟有多少颗，你也只好说“无限”。然而，假如问你“无限”是什么意思呢？你怎样回答？你也许会这样想，就是数不清的意思。但我却要和你缠夹了。你的眉毛你数得清吗？你当然是数不清的。那么你的眉毛是“无限”的吗？“无限”和“数不清”究竟不全然一样，是不是？所以在我们平常用“无限”这个词时，确实含有一个不能理解，或者说不可思议的意思。换句话说就是超越于我们的智力以上的，简直是我们的精神的力量的极限。要说它奇怪，实在比上帝和“无常”还奇怪。假如真有上帝，我们知道他会造人，知道他会奖善罚恶，而且我们还可想象他的样子的一个大概，因为人是照他的模样造出来的。至于“无常”，我们知道他很高，知道他戴着高帽子，知道他穿着白衣服，知道他只有夜晚敢出来，知道他无论天晴下雨手里总拿着一把伞。呵！这是鬼话：上帝、无常我都不曾见过，但是无论哪个说到他们，还可以说得出点眉目。至于“无限”，有谁能描摹它一句呢？

“无限”真是一个神奇的东西，通常说话固然用到它，文学上哲学上也用到它，科学上那不用说了。不过，平常说话，本来全靠彼此心照，认不来许多真，所以马虎一点满不在乎。就是文学上，也没有要给出一个精确的意思的必要。文学的作品里面，原来十有八九是夸张，“白发三千丈”，李太白的个儿究竟有多高？但是在哲学上，就因它的意义不明常常出岔子，在数学上也就时时生出矛盾来。

数学的园地中，各色各样的东西，虽然大都弄得眉目很清楚，只有这“无限”我们却被它征服了。立在它的面前，总免不了要头昏眼花，多么神秘的东西呵，它是！

虽是这样，数学家们还是不甘屈服，总要探索它一番，这里便打算大略说一说，不过请先容许我来绕一个小弯子。

这一节的题目是《集合论》，我们就先来说“集合”这个词，在这里的意义。比如有些相同的东西或不相同的东西在一起，我们只计算它的件数，不管它们究竟是些什么，这就叫它们的“集合”。比如你的衣服袋里，放得有三个“袁头”[18]，五只“八开”和十二个铜子，不管三七二十一，我们只数它叮叮当当响着的一共是二十个，这二十就称为含有二十个元素的集合。至于这元素的性质我们却不去追问。又比如你在课堂上坐着，同一个课堂里，有男同学，女同学和教师，比如教师是一个，女同学是五个，男同学是十四个，那么，这个课堂里教师和男、女同学的集合，恰好和你衣袋里钱的集合是一样。

朋友！你也许正要掺进来打断我的话头，向我诘问了吧？这样混杂不清的数目有什么用呢？是的，当你学算术的时候，你的先生一定很认真地告诉你，不是同种类的量不能加在一起，三个男士加五个女士得出八来，非男非女又有男有女，这是什么话？两个“袁头”加四只“八开”得出了六，这又算什么？算术上所以总叫你处处小心，不但要注意到量要同种类而且还要同单位才能加减。到了现在我们却不管这些了，这有什么用场呢？

它的用场吗？真是大极了！我们就要用它去窥探那我们所难理解的“无限”。其实，你会起那样的疑问，实在由于你太认真而又太不认真的缘故。你为什么把“袁头”“八开”“铜子”“男”“女”“学生”“教师”的分别看得那般重大呢？你为什么不从根本上去想一想，“数”本来只是一个抽象的概念呢？我们只管到这抽象的数的概念的时候，你的衣袋里的东西的集合和你教室里的人的集合，不是一样的吗？假如你的衣袋的钱，你并不是预备拿去买什么吃食的，你只用它来记一个于你关系很重要的数，那么，它不是很够资格了吗？“二十”这个数就是含有二十个元素而不管它们的性质，所得出来的“集合”。

数的发生可以说是由于比较，所以我们就来说“集合”的比较法。比如有两个集合在这里，一个含有十五个元素，我们用个符号表示它，E15，另外一个含有十个元素，用符号表示它就是E10。

现在来比较这两个“集合”，对于E10当中的各个元素，都从E15当中取一个来和它成对，这是可以做得到的，是不是？但是，假如要掉一个头，对于E15当中的各个元素都从E10当中取一个来和它成对，做到第十对，就做不下去，只好停止了。可见得，掉一个头是不可能的，在这种情形的时候，我们就说：“E15超过E10。”或是说：“E15包含E10。”或者更说得文气一些：“E15的次数高于E10的。”

假如另外有两个集合Ea和Eb，我们虽然“不知道a是什么”，也“不知道b是什么”，但是我们不单只能够对于Eb当中的每一个元素，都从Ea中取一个来和它成对，而且还能够对于Ea当中的每一个元素都从Eb中取一个来和它成对。我们就说，这两个集合的次数是一样，它们所含的元素的数相同，也就是a等于b。前面不是说过你衣袋里的钱的集合和你课堂里的人的集合一样吗？你可以从衣袋里将钱拿出来，每人都给他一个。反过来，每个钱也能够都不落空被一个人拿了去。这就可以说这两个集合一样，也就是你的钱的数目和你课堂里的人的数目相等了。

我想来，你看了这几段一定会笑得换不过气的，这样简单明了的东西，还值得这么当成一回事地说吗？不错，E15超过E10，E20和E20一样，三岁大的小孩子也就知道的。但是，朋友！你别忙啦！这只是用来做例子，说明白我们的比较法。因为数目简单，两个集合所含元素的数，你通都知道了，所以觉得很容易。但是这个比较法，就是对于不能够知道它所含的元素的数的也可以使用。我再来举几个通常的例子，然后回到数学的本身上去。

你在学校里，口上总常讲“师生”两个字，耳朵里不用说也常听得到。“师”的集合和“生”的集合，（不只就一个学校说）就不一样，究竟合古今中外数起来，“师”的“集合”和“生”的“集合”是什么，没有哪一个人回答得出来。然而我们却可以想得到，每一个“师”都给他一个“生”要他完全负责任这是可能的；但若要每一个“生”都替他找一个专一只对他负责任的“师”那就不可能了。所以这两个集合不一样，实在我们就可以说“生”的集合的次数高于“师”的集合的。再要举例，比如父和子，比如长兄和弟弟，又比如伟人和丘八[19]，这些两个两个的集合都不一样。要找一个集合相等的例子吗，那就是夫妻俩，虽然我们并不知道全世界有多少个丈夫和多少个妻子，但有资格被称为丈夫的总必须有一个妻子伴着他（小老婆我们在这里不算她和男子是夫妻关系），反过来，有资格被人称为妻子的，也必有一个丈夫伴着她。所以无论从哪一边说，“一对一”的关系都能成立。

好了！来说数学上的话，来讲关于“无限”的话。

我们来想象一个集合，含有无限个元素的，比如正整数的集合：

1、2、3、4、5、… 、n、（n+1）……

这是非常明白的，它的次数，比一切含着有限个数元素的集合都高。我们现在要紧的是将它来和别的无限集合比较，用偶数的集合吧：

2、4、6、8、10、… 、2n、（2n+2）……

这就有些趣味了。照我们平常的想法，偶数只占全整数的一半，所以整数的无限集合当然比偶数的无限集合次数要高些，不是吗，十个连续整数中，只有五个偶数，一百个连续整数中也不过五十个偶数，就是一万个连续整数中也还不过五千个偶数，总归只有一半；所以要成功“一对一”的关系，似乎有一面是不可能的。然而，你错了，你不好单就有限的数目去想，我们现在是在比较两个无限的集合呀！“无限”总有些奇怪的！我们试将它俩一个对一个地排成两行：

1、2、3、4、5、… 、n、（n+1）……

2、4、6、8、10、… 、2n、（2n+2）……

因为两个都是“无限”的缘故，自然我们不能把它们通都写出来。但是我们已经可以看出来，第一行有一个数，只要用2去乘它就得出第二行中和它相对的数来。掉一个头，第二行中有一个数，只要用2去除它，也就得出第一行中和它相对的数来，这个“一对一”的关系不是无论用哪一行做基础都可能吗？那么，我们有什么权利来说这两个无限集合不一样呢？

整数的无限集合，因为它是无限集合中我们最容易理解的一个，又因为它可以由我们一个一个地举出来（虽然永远举不尽），所以我们替它取一个名字叫“可数集”。我们常常用它来做无限集合比较的标准，凡是次数和它相同的无限集合，都是“可数集”——我们单凭直觉也就可以断定，整数的无限集合在所有的无限集合当中是次数顶低的一个，它可以被我们用来做比较的标准，也就是这个缘故。

究竟无限集合当中，有没有次数比这个“可数集”更高的呢？我可以很爽快地回答你一个“有”字。不但是有，而且我们想要多少就有多少。从这个回答，我们就已对于“无限”算是比较地有些认识，不像以前一般模糊了。这个回答，我供认不讳地向你说，我也是听来的，最初提出它来，也是康托，这已是三十多年的事了。在数学界中，他真是值得我们崇敬的人物，他所创设的集合论，不但在近世数学中占了很珍贵的几页，还开辟了数学进展的一条新路径，使人不得不对他铭感五内！

人间的事，说来总有些奇怪，无论什么，不经人道破，大家便很懵懂。但有人一凿穿，顿时人人都聪明了。在它以前，我们只觉无限就是无限，吾生也有涯，总归弄它不清楚就以不了了之。但现在想起来，实在有些可笑，无须什么证明，我们有些时候也能够觉到，无限集合是可以不相同的。

又来举个例子：比如前面我们所用来决定点的位置的直线，从O点起尽管伸张出去，它所包含的点，就是一个无限集合。随便想去，我们就会觉得它的次数要比整数的无限集合的高，而从别的地方证明起来，也承认了我们所觉到的并没有错。这样说来，我们的直觉很是一个可信赖的了。但是，朋友！你不要太乐观呀，在别的时候，纯粹的直觉就会叫你上当的。

你不相信吗？比如有一个正方形，它的一边是AB。我问你，全个正方形内的点的集合是不是比单只一边AB上的点的集合，它的次数要高些呢？凭了我们的直觉，总要给它一个肯定的回答的，但这你上当了，仔细去证明，它们俩的次数却恰好只是相等。

总结以上的话，你记好下面的一个基本的定理：

“若是有了一个无限集合，我们总能够做出一个次数比它高的来。”

要证明这个定理，我们就用整数的集合来做基础，那么，所有可数集也就不用再证明了。为了说明简单些，我只随意再用一个集合。

照前面说过的，整数的集合是这样：

1、2、3、4、5、… 、n、（n+1）……

就用E代表它。

凡是用E当中的元素所做成的集合，无论它所含的元素的数有限或无限，都称它们为E的“子集”，所以：

17、25、31

2、5、8、11、…、 2+3（n-1）……

1、4、9、16、… 、n2……

这些都是E的子集，我们用Pn来代表它们。

第一步，凡是用E的元素所能够做成的子集，我们都将它们做尽。

第二步，我们就来做一个新的集合C，C的每一个元素原都是E的一个子集Pn，而且所有E的子集全都包含在里面。这样一来，C便成了E的一切子集的集合。

你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。我们要证明C的次数就比第一个集合E的高。为了这样，我们还重复说一次比较两个集合的法则，你务必也要将它记好。

我们必须要对于E的每一个元素都能从C的当中取一个出来和它成对。实际上只要依下面的方法配合就够了：

从这样的配合法，因为第二行实在只用到C元素的一部分，这是很容易知道明白的C的次数或是比E的高或是和E的相等。

我们能不能够转过头来，对于C当中的每一个元素都从E当中取出一个和它成对呢？

假如能够做得到，那么E和C的次数是相等的。

假如不能够，那么C的次数就高于E的。

我们无妨就假定能够做得到，看会碰钉子不会！

算这种配合法是可以有的，我们就随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：

P1、P2、P3、…、Pn……（C）

1、2、3、…、n……（E）

单就这两行看，第一行是所有的子集，就是所有C的元素，都来了（因为我们是要这样做的）；第二行我们却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。因为我们是对了第一行的元素取出来的，究竟取完了没有还说不定。

这回，我们来一对一地检查一下看，先从P1和它的对儿1来起。因为P1是E的子集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就可以有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。假如P1里面没有1的，我们将它放在一边。跟了来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。照这样子一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。

这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成功一个整数的集合。朋友！这点你却要注意，一点马虎不得了！我们检查的时候，有些整数因为它的对儿里面已有了，它所以没有放出来。由此可以见得我们新做成的整数集合不过包含整数的一部分，所以它也是E的子集。但是我们前面说过，C的元素是E的子集，而且所有E的子集全部包含在C的里面了，所以这个新的子集也应当是C的一个元素。用Pt来代表这个新的集合，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的元素都排在那儿的。

既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个元素来和它成对。

假定和Pt成对的整数是t。

朋友！糟了！这就碰钉子了！你若还要硬撑场面，那么再做下去。

在这里我们又有两种可能的情况：

第一种：t是Pt的一部分，但是这却真碰钉子了。Pt所包含的元素是在第一行中成对儿的元素所不包含在里面的整数，而Pt自己就是第一行的一个元素，这不是矛盾了吗？所以t不应当是Pt的一部分，这就到了下面的情况。

第二种：t不是Pt的一部分，这可能把钉子避开吗？不行，不行，还是不行。Pt自己是第一行的一个元素，t和它相对又不包含在它的里面，我们检查的时候，就把它放在一边了。朋友，你看，这够多么糟。t既被我们检查的时候放在一边，而Pt就是这些被放在一边的整数的集合，结果t就应当是Pt的一部分。

这够多么糟！照第一种说法，t是Pt的一部分，不行；照第二种说法t不是Pt的一部分也不行。说去说来都不行，只好回头了。在E的元素当中，就没有和C的元素Pt成对的。朋友，你还得注意，我们将两行的元素配对，原来是随意的，所以要是不承认E的元素里面没有和Pt配对的，这种钉子，无论我们怎样都得碰。

第一次将E和C比较已知道C的次数必是高于E的或等于E的；现在比较下来，E的次数不能和C的相等，所以我们说C的次数高于E的。

归到最后的结果，就是我们前面所说的定理已证明了，有一个无限集合，我们就可做出次数高于它的无限集合来。

无限集合的理论，也有一个无限的广场展开在它的面前！

我们常常都能够比较这一个和那一个无限集合的次数吗？

我们能够将无限集合照它们次数的顺序排列吗？

所有这一类的难题目以及其他关于“无限”的问题，都还没有在这个理论当中占有地盘。不过这个理论既已经具有相当基础，逐渐往前进展，这些问题总有解决的一天，毕竟我们现在对于“无限”已用不到和从前一般地只是感到惊奇不可思议了！

老实说，数学家们无论对于做这个理论的基础的一些假定，或是对于从里面寻出来的一些悖论的解释都还没有全部的理解。

然而，这我们一点儿用不到吃惊，一种新的理论的产出正和一个婴儿的诞生一样，要他长大做一番惊人的事业，养育和保护都少不来的！

[16]年青：今作“年轻”。

[17]译演：今作“演绎”。

[18]袁头：20世纪一二十年代北洋政府发行的货币。

[19]丘八：旧社会对兵痞的贬称。