在这一节里，我打算写些关于数学的总概念的话，不过我很踌躇了许久，究竟这些话写了出来会不会比不写出来更坏？现在虽终于写了，但我并不是已经相信得过，写了出来比不写一定是好一些。其实呢，关于《数学的园地》这个题目，要动手写，要这样的写法，就是到了已快要完结的现在，我仍然怀疑。

第一个疑问是：谁要看这样的东西？对于数学有兴趣的朋友们，自己走到数学的园地里去观赏，无论怎样，得到的一定比看完这篇粗枝大叶的文字来得多。至于对于数学没趣味的朋友们，它却已够煞风景了，不是吗？倘然我写的是甲男士遇到了乙女士，怎样倾心，怎样拜倒，怎样追求，无论结果是好是坏，总可惹得一些人的心痒起来；倘若我写的是一位英雄的故事，他怎样热心救同胞，怎样忠于主义，怎样奋斗，无论他成功失败，也可以引起一些人的赞赏、羡慕。数学无论怎样总是叫人头痛的东西，谁喜欢这个？

第二个疑问：这样的写法，会不会反给许多人一些似是而非的概念？

关于第一个疑问，我不想开口再说什么，只有这第二个疑问，却好像应得顾到一下，这才对得起居然肯费脱几个钟头来看这篇文字的朋友们！

数学是什么？它究竟是什么？

真要回答这个问题吗？对不住，你若希望得到的是一个完全合于逻辑的条件的答案，我却只好敬谢不敏。说句老实话，只要有人回答得上来，我也要五体投地去请教他，而且将他的回答永远刻在我的肺腑里。那么，这里还能够说什么呢？我只想写几个别人的答案出来，这虽然不能使朋友们满意，但从它们也可以知道一点数学的园地的轮廓吧！

远在亚里士多德以前的一个回答，也是所有的回答当中最通俗的一个，它是这样说的：

“数学是计量的科学。”

朋友，这个回答你能够满足吗？什么叫作量？怎样去计算它？假如我们说，测量和统计都是计量的科学，这大约不会有十分大的毛病吧！虽则，它们的最后目的并不是只要求出一个量的关系来，但就它们的手段说，对于量的计算，比较还来得直接些呢。因此，到了孔德就将它改变了一下：

“数学是间接计量的科学。”

他要这样加以改变，并不是为怕和测量、统计这些相混。实在有许多量，是无法直接测定或计算的。比如天空中闪动的星的距离和大小，比如原子的距离和大小，一个大得不堪，一个小得可怜，我们这些笨脚笨手的人，都是没法直接去量它们的。

这个回答虽已进步了一点，它就能令我们满意吗？量是什么东西，这还是须得要解释。这且不去管它，我们姑且照常识的说法，给量一个定义，不过，就是这样，到了近代，数学的园地里增加了一些稀奇古怪的建筑，它也不能包括进去了。在那广阔的园地里面有些新的亭楼、树着的匾额，是什么群论咧、射影几何咧、数论咧、逻辑代数咧……这些都是和量绝缘的。

孔德的回答出了漏洞，于是又有许多人来加以修正，这要一个一个地列举出来，当然不可能，随便举一个，即如皮尔士：

“数学是引出必要的结论的科学。”

他这个回答，自然包括得宽广了些，但是也还有问题，所谓“必要的结论”是什么一个玩意儿呢？这五个字这样地排在一起，它的意思就非加以解释不可了。然而他究竟怎样解释法，照他的解释能不能说明数学究竟是什么，这谁也不知道。

还有，从前数学的园地里面，都只是尽量地在各个院落中加增建筑、培植花木，即或另开院落，也是向着前面开阔的地方去动手。近来却有些工匠异想天开地，在后面背阴的地方要开一条大道通到隔邻的逻辑的园地去。他们努力的结果，自然已有相当的成绩。但把一座数学的园地更弄得五花八门，要给它说明更是困难了。终于弄得，对于我们所期待着回答的问题，回答的越多，越“糊涂”。罗素更巧妙，简直和开玩笑一般，他说：

“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.”

我不翻译这句话了，假如你真要我翻译，那我想这样译法：“有人来问我，连我也不知。”你大约晓得这两句话的来路的吧！

数学究竟是什么？我所想举出的回答，只有这样多。不是越说越惝恍[12]，越不像样了吗？是的！但虽不能够简单地说明它，也就说明了它的一大半了！研究科学的人最喜欢给他所研究的东西下一个定义，所以冠冕堂皇的科学书，翻开来第一页第一行就是定义，而且这些定义也差不多有一定的形式，就中国话说便是“某某者研究”什么什么“的科学也”。若要写个“洋文”调，就便举英文，那便是“X is the science which Y”。这一来，无论哪一个花了几毛钱或几块钱将那本书买到手，翻开一看，就非常高兴，不要五分钟，便可将书放到箱子里去，说起那一门的东西，自己也就可以回答得出它讲的是什么。

然而，这简直和卖膏药的广告没有多大两样，只要你真把那本书读完，你就可以看出来，第一页第一行的定义简直是前几年的中交票[13]，只好限制兑现的。若是你多跑些地方，还可以知道那钞票就有些中交两行的分行也拒绝收用。

朋友！这不是什么毛病，你一点儿用不着失望！假如有一门科学，已经可以给它下一个悬诸国门不能增损一字的定义，它也就算完事了。这正和一个人可以被别人替他写享年几十有几岁一般，不怕就是享年一百二十岁，他总已躺在棺材里了。一天一天地还能吃饭睡觉的人，不能说他享年若干岁；一时一刻进步不止的科学，也没有人能说明它究竟是什么东西！越是身心健全的人，越难推定他的命运；越是发展得旺盛的科学，越难有确定的定义。

不过，我们将这正面丢开，从旁边弯一下，数学的性质好像有一点是顶特别的，就是喜欢用符号。有了0、1、2、…… 、9十个符号，又有了“+”“-”“×”“÷”“=”五个符号，便能记通常的数而且计算它们。单是加、减、乘、除，计算不便当，我们又画一条线来隔开两个数，说一个是分母，一个是分子，这一来就有了分数的计算。接连下去，在运算方面我们又有比例的符号，在记数方面我们有乘方、开方、对数的记法，这还是就算术说。到了代数你已经知道符号更多了。到了微积分，其实也不过多几个符号而已。

数学的叫人头痛，大约就是这些符号在作怪。你把它们看得活动吗，那真活动，x在这个方程式代的是人的年龄，在那个方程式就会代乌龟的脑袋；但是你要把它看得呆吗，那它真够呆，对了它看三天三夜，x还只是x，你解不出那方程式，它一点不来帮你的忙，也许它还在暗中笑你蠢。

所谓数学家也者，依我说，就是一些能够支使符号的人物。他们写在数学书上的东西，说高深，自然是高深，真有些是不容易懂的，但假如不许他们用符号，他们就只好一筹莫展了！

所以关于数学的东西，真要说个透彻，离了符号，直无办法。你初学代数的时候，总很有些日子，对于a、b、c、x、y、z想不通的，觉得它们和你用惯的1、2、3、4……有些两样。自然，说它们完全一样，是有点靠不住，你去买白菜，说要x斤，别人只好鼓起两只眼睛瞪着你。但你用惯了，做起题来，也就不会感到它们的差别有怎样的了不起。

数学就是这么一回事，这篇文章，虽则尽量地避去符号的运用，但只是为了对于不喜欢或是看不惯符号的朋友说一些数学的概念，所以有些非多用符号不可的东西，只得不说了！

朋友！你假若高兴，多在数学的园地里白相相[14]的话，请你多多练习使用符号的能力。你见到一个人直立着，两手正向左右平伸的时候，你不要联想到那是钉死耶稣的十架[15]，你就想象他的两臂恰好是水平线，他的身体恰好是垂直线。假如碰巧有一只苍蝇从他的耳边斜飞到他的手上，那更好，你就想象它是一点，在那里动，它飞过的路，便是一条曲线。这条曲线表示一个函数，可以求它的导数，又可以求这导数的导数，这就是苍蝇飞动的速度和加速度了！

[12]惝恍：指迷迷糊糊弄不清楚。

[13]中交票：民国时期中国银行与交通银行发行的钞票。

[14]白相相：沪语，意为“玩一玩”。

[15]十架：今作“十字架”。