我们来开始讲正文吧，先从一个极平常的例子说起。

假如，我和你两个人同乘一列火车去旅行，在车里非常寂寞，不凑巧我们既不是诗人，不能从那些经过车窗往后飞奔的田野树木吸取什么“烟士披里纯”[2]，又不是画家，能够在刹那间感到什么自然界的色相的美。我们只有枯坐了，会觉得那车子走得很慢，真到不耐烦的时候，也许竟会感到它比我们自己步行还慢。但这全是主观的，就是同样地以为它走得太慢，我们所感到的慢的程度就不一定相等。我们只管诅咒车子跑得不快，车子它一定不肯甘休，要问我们拿出证据来，这一下子，有事做了，我们两个人就来测量它的速度。

你立在车窗前数那铁路旁边的电线杆——假定它们每两根的距离是相等的，而且我们已经知道了——我看着我的表。当你看见第一根电线杆的时候，立刻叫出“1”来，我就注意我的表上的秒针在什么地方。你数到一个数目要停止的时候，又将那数叫出，我再看我的表上的秒针指什么地方。这样我们屈指一算，就可以得出这火车的速度。假如得出来的是一分钟走一公里，那么六十分钟，就是一小时，这火车要走六十公里，火车的速度就是每小时六十公里。我们无论怎样，不好说它太慢了。同样地，若是我们知道一个人十二秒钟可以跑一百米，一匹马半小时能跑十五公里，我们也可以将这人每秒钟的或这马每小时的速度算出来。

说到“相近”，也有程度的不同，用的器械——时表、尺子——越精良，“相近”的程度越高，反过来误差就越小。极精密的电子表测量时间，误差可以小于百分之一秒。我们可以想象，假如再将它弄得更精密，可以使误差小于千分之一秒，或者还要小些。但是，无论怎样小，要使这误差没有，却难能了！

同样地，我们对于一切运动的测量，也只能得相近的数。第一自然是因要测运动，总得测那种运动所经过的距离和它费去的时间，而这距离和时间的测量就只能得到相近的数。还不只这样，运动本身也就是变动的。

假定一列火车由一个速度变到另一个较大的速度，就是变得更快一些，它绝不能突然就由前一个跳到第二个。那么，在这两个速度当中，有多少不同的中间速度呢？这个数目，老实不客气，是无限的呀！而我们的测量的方法，却只容许我们计算出一个有限的数来。我们计算的时候，时间的单位越取得小，所得的结果自然越和真实的速度相近，但无论用一秒钟做单位或十分之一秒钟做单位，在相邻的两秒钟或两个十分之一秒钟的当中，常常总是有无限的中间速度。

能够确切认知的速度原是抽象的！

这个抽象的速度只存在于我们的想象中。

这个抽象的速度，我们能够理会，却不能从经验中得到。在我们所能测量得的一些速度当中，可以说，都有无限的中间速度存在。已经知道我们所测得的速度不精确，而又要用它，这不是在自己骗自己吗？

为了我们的精神不安，要补这个缺陷，需要一个理论上的精确的数目，需要一个容许计算到无限制的相近数的理论，顺应了这需要，人们就发明了微积分。

哈哈！微积分的发明是一件很有趣味的事。英国的牛顿和德国的莱布尼茨差不多在同一个时候都将它的原理发明了，弄得英国人认为微积分是他们的恩赐，德国人也认为是他们的礼物，各人自负着。其实呢，牛顿是从运动上面研究出来的，而莱布尼茨却是从几何上出发，不过殊途同归罢了。这个原理的发明，真是功德无量，现在数学园地中的大部分建筑都用它当台柱，物理园地的飞黄腾达也全仗它。这个发明已有两百年了，它对于我们的科学的思想，着实有伟大的影响。就是说，假使微积分的原理还没有发明，现在的所谓的文明，一定不是这样的辉煌，这绝不是夸张的话！

[2]烟士披里纯：灵感，inspiration的音译。