不管怎样，马马虎虎，我总算懂了，然而我的年龄也大起来了，我已经踏进了被人追问的领域了！“代数、几何，学过了学些什么呢？”“微积分是怎样的东西呢？”这类的问题，常常被比我年纪小些的朋友们问到，我总记起我碰钉子时的苦闷，不忍心让他们也在我的面前碰，常常想些似是而非的解说，使他们不全然失望。不过，总觉得这也于心不安，我相信一定可以简单地将它们的大意说明的，只是我不曾仔细去思索过。新近偶然从书坊店看见一本《两小时的数学》（Deux Heures de Mathématique），书名很奇特，便买了来。翻读一过，觉得它很够替我来解答前面的问题，因此就依据它，写成这篇东西，算是了却一桩心愿。我常常这样想，数学和辣椒很有些相同，没有吃过的人，初次吃到，免不了要叫、要哭，但真吃惯了，不吃却过不得。不只这样，就是吃到满头是汗，两眼泪流，身体上固然够苦，精神上却愈加舒畅。话虽如此，这里却不是真要把这恶辣的东西硬叫许多人流一通大汗，实在还没有吃生葱那样的辣。
有一点却得先声明，数学的阶段是很紧严的，只好一步一步地走上去。要跳，那简直是妄想，结果只有跌了下来。因此，这里虽然竭力避去繁重的说明，但也是对于曾经学过初等的算术、代数、几何，而没有全部忘掉的人说的。因此先来简单地说几句关于算术、代数、几何的话。
算术
无论哪一个人要走进数学的园地里去游览一番，一进门就碰到的是算术，这是因为它比较容易也比较简单，所以易于亲近的缘故。话虽这样讲，真在数学的园地里游个尽兴，到后来你要碰到的却又是它了。“数论”，就是数学中最难的部分。
你在算术中，经过了加、减、乘、除四道正门，就可以看到一座大厅，门上横着一块大大的匾，写的是“整数的性质”五个大字。已经走进这大厅，而且很快地就走了出来，由那里转到分数的庭院去，你当然很高兴。但是我问你：你在那大厅里究竟得到了什么呢？里面最重要的不是质数吗？2、3、5、7、11、13……你都知道它们是质数了吧！然而，这就够了吗？随便给你一个数，比如103，你能够用比它小的质数一个一个地去除它，除到后来，得数比除数小了还除不尽，你就决定它是质数。这个法子，是很靠得住的，一点不会欺骗你。然而它只是一个小聪明的玩意儿，真要把它正正经经地来用，那就叫你不得不摇头了。倘若我给你的不是103，而是一个有一百零三位的整数，你还能呆板板地照老法子去决定它是不是质数吗？人寿几何，一个不凑巧，恐怕你还没有试到一半，已经天昏地暗了。那么，有没有别的法子可以决定一个数是不是质数呢？对不起得很，真要问，多请些人到这座大厅里去转去。
在“数论”中，问题很多，得了别的一部分数学的帮助，也解决过一些，所以算术自己也是在它的领域内常常增加新的建筑和点缀的，不过不及别的部分来得快罢了。
代数
走到代数的殿上，你知道解一次方程式和二次方程式，自然这是再快乐没有了，算术碰见了要弄得焦头烂额的四则问题，只要用一两个罗马字母去代替那所求的数，依着题目已说明白的条件，立起一个方程式，这就死板板地照法则可以求出答数来，真是又轻巧又明白。代数比算术真有趣得多、容易得多！但是，这也只是在那殿里随便玩玩就走了出来的说法，若流连在里面，又将看出许多困难了，一次两次方程式，总算可以解了，一般的方程式怎样呢？
几何
还有，这条路发现以后，也不是因为它比较便利，几何的院子独自的出路，便悬上一块“路不通行，游人止步”的牌。它自己独立地进展，也一样地没有停息，即如黎曼就是走老路。题着“位置分析”，又题着“拓扑学”的那间亭子，也就是后来新造的，在里面使你可以看见空间的性质、几何的连续、质地纯粹的性相，你只需用到那“测度”的抽象观念就够了。
集合论
在物理学的园地里面，有着爱因斯坦的相对论原理的新建筑，它所陈列的，是通过性慧由敏感而发明的新定理。像这种性质的宝货，数学的园地当中，也可以找得出吗？在数学的园地里，走来走去，所能够见到的，都只是些老花样、旧古董，不过和游赏一所倾颓的古刹一样吗？
不，绝不！那些古老参天的树干，那些质朴的从几千百年前遗留下来的亭台楼阁，在这园地里，固然是占重要的地位，极容易映到游人的眼里。但倘使你看到了这些还不满足，你慢慢地走进去就可以看到古树林中还有鲜艳的花草，亭楼里面，更有新奇的装饰。这些增加这园地的美感，充实了这园地的生命。由它们，就可以使你知道，数学的园地从开辟到现在，没有一天停止过垦殖。在别的各种园地里，可以看见灿烂耀目的新点缀，但也常常可以见到那旧建筑倾跌以后残留的破砖烂瓦；在数学的园地里，却只有欣欣向荣的盛观，这残败的使人感到凄凉的遗迹，却非常稀少，它里面的一切建筑装饰，都有着很牢固的根底的呀！
数学的园地里，有一种使人感到不可思议的宝物叫作“无限”。它常常都是一样的吗？它里面究包含着些什么，我们能够说明吗？它的意义必须确定吗？
游到了数学的园地当中的一个新的院落，墙门上写着“集合论”三字的，那里面，就可以给你看这些问题的解答了。这里面是极有趣味的，用一面大的反射镜，可以叫你看到这全个[1]园地和幽邃的哲学的花园的关联，以及它俩的通路。三十年来，康托将超限数的意义导出，和那物理的园地中可惊的新建筑，一般的重要而且令人惊异！在本文的最后，就要说到它。
[1]全个：今作“整个”。