关于这类题目,马先生说,有大半是不能用作图法解决的,这当然毫无疑问。反比例的题,既已不免碰钉子,复比例中,含有反比例的,自然此路不通了。再说,这也是很明白的,就是不含有反比例,但复比例总含有三个以上的量,倘若不能像第十二节中,归一法的例子,化繁为简,那也就无所措手足了。
不过复比例中的题目,有时,我们不大想得通,所以我们要求马先生就不用作图法解也好,给我们一些指示。马先生答应了我们,叫我们提出问题来。以下的问题,全是我们提出的。
例一:同一件事,24人合做,每日做10时,15日可做完;60人合做,每日少做2时,几日可完?
一个同学提出这个题来的时候,马先生想了一下说:
“我知道,你感到困难的原因了。这个题目,转了一个小弯。你试将题目所给的条件,同类的一一对列起来看。”
他依马先生的话,列成下表:
人数每日做的时数日数
241015
60少2?
“由这个表看来,有多少数还不知道?”马先生问。
“两个,第二次每日做的时数和日数。”他答道。
“问题的关键就在这一点。”马先生说,“一般的比例题,都是只含有一个不知道的数的。但你们要注意,比例所处理的,都是和两个数量的比有关的事项。复比例,不过有关的比,多几个。所以题目中若含有和比无关的条件,这就超出了范围,应当先将它处理好。即如本题,第二次每日做的时数,题上说的是少2时,就和比没有相干。第一次,每日做10时,第二次每日少做2时,做的是几时?”
“10时少2时,8时。”周学敏说。
这样一来,当然毫无疑问了。
例二:一书原有810页,每页40行,每行60字。若重印时,每页增10行,每行增12字,页数可减多少?
这个问题,虽然表面上虽是复杂一点,但和前例,实在是相类的。莫怪马先生听着另一个同学说完以后,露出一点轻微的不愉快了。马先生叫他先找出第二次每页的行数——40加10,是50——和每行的字数——60加12,是72——再求第二次的页数。
要求可减少的页数,这当然不是比例的问题,810页改成540页,可减少的是270页。
例三:自A处到B处,寻常6时可到。今将路程减四分之一,速率加半,需时若干方可达到?
这个题,我从前不知怎样下手,现在跟着前两个例子来,我已懂得了。所以我虽然没有向马先生提出,也附记在这里。
∴x时=3时
例四:狗走2步的时间,兔可走3步;狗走3步的长,兔须走5步。狗30分钟所走的路,兔须走多少时间?
“这题的难点,”马先生说,“只在包含时间——步子的快慢,——和空间——步子和路的长短。——但,只要注意判定正反比例就行了。第一,狗走2步的“时间”,兔可走3步,哪一个快?”
“兔快。”一个同学说。
“那么,狗走30分钟的步数,让兔来走,所要的时间怎样?”
“少些!”周学敏说。
“这是正比还是反比?”
“反比!步数一定,走的快慢和时间成反比例。”王有道说。
“再来看,狗走3步的长,兔要走5步。狗走30分钟的步数,一共的长,兔走起来时间怎样?”
“要多些?”我回答。
“这是正比还是反比?”
“反比!距离一定,步子的长短和步数成反比例,也就同时间成反比例。”还是王有道。
这样就可得:
例五:牛马力的比如8∶7,速度的比如5∶8。前用牛车8辆,马车20辆,于5日内运280袋米到1里半的地方。今用牛、马车各10辆,于10日内要运米350袋,求能运的距离。
这题是周学敏提出的,马先生问他道:
“你觉到的难点在什么地方?”
“有牛又有马,有从前运输的情形,又有现在运输的情形,关系比较复杂。”周学敏回答。
“这又太执着了,你为什么不分开来看呢?”马先生不等有什么回答,接着又说,“你们要记好两个基本定则:一个是不相同的量不能相加减;还有一个是不相同的量不能相比。本题就运输的力量说有牛车又有马车,它们既不能并成一个力量,也就不能相比了。”停了一阵,他又说:
“所以这个题,我们应当把它分成两段看:‘牛马力的比如8∶7,速度的比如5∶8。前用牛车8辆,马车20辆;今用牛马车各10辆’这算一段。又从‘前用牛车8辆’,到末了这又算一段。现在先了解第一段,变成都用牛车或马车,我们就都用牛车吧。马车20辆和10辆各合多少辆牛车?”
这比较地简单,力量的大小同着速度的快慢对于所用的车辆都是成反比例的。
10辆马车的运输力=14辆牛车的运输力。
我们得出这个答数后,马先生说:“现在题目的后一段可以改个样——前用牛车8辆和28辆,……今用牛车10辆和14辆,……”
当然,到这一步,又是呆法子了。
例六:大工4人,童工6人,工作5日,工资共51元2角。后来有童工2人休息,用大工一人相代,工作6日,工资共多少?(大工一人2日的工资和童工一人5日的工资相等。)
这个题的情形和前题的相同,是马先生出给我们算的,大约是要我们重复一次前题的算法吧!
先就工资,将童工化成大工,这只是一个正比例:
复比例一课,就这样完结,我已知道好几件应注意的事项。