“这次我们又要调换一个题目了。”马先生进了课堂就说，“我先问你们，什么叫作‘比’？”

“‘比’就是比较。”周学敏说。

“那么，王有道比你高，李大成比你胖，我比你年纪大，这些都是比较，也就都是你所说的比了？”马先生说。

“不是的，”王有道说，“比是说一个数或量是另一个数或量的多少倍或几分之几。”

“对的，这种说法是对的。不过照前面我们所说过的，若把倍数的意义放宽些，一个数的几分之几和一个数的多少倍，实在没有什么根源上的差别。依照这种说法，我们当然可以说，一个数或量是另一个数或量的多少倍，这就称为它们的比。求倍数用的是除法，现在我们将除法、分数和比，这三项做一个比较，可得下表：

“这样一来，比的许多性质和它的计算法，都可以从除法和分数推出来了。

“比例是什么？”马先生讲明了“比”的意义，略一停顿，看看大家都没有什么疑问，接着提出这个问题。

“四个数或量，若两个两个所成的比相等，就说这四个数或量成比例。”王有道说。

“那么，成比例的四个数，用图线表示，是什么情形？”马先生对于王有道的回答，大概是默许了。

“一条直线。”我想着，比和分数相同，两个比相等，自然和两个分数相等一样，它们应当在一条直线上。

“不错！”马先生说，“我们还可以说，一条直线的任意两点，到纵线和横线的长总是成比例的。这虽然我们现在还没有加以普遍地证明，由前面分数中的说明，无妨在事实上承认它。”接着他又说：

“四个数或量所成的比例，我们叫它作简比例。简比例有几种？”

“两种：正比例和反比例。”周学敏回答。

“正比例和反比例有什么不同？”马先生问。

“四个数或量所成的两个比相等的，叫它们成正比例。一个比和另外一个比的倒数相等的，叫它们成反比例。”周学敏再答。

“反比例，我们暂时放下，单看正比例，你们举一个例出来看。”马先生说。

“如一个人，每小时走六里路，两小时就走十二里，三小时就走十八里。时间和距离同时变大、变小，它们就成正比例。”王有道说。

“对不对？”马先生问。

“对！——”好几个人回答。我也觉得是对的，不过因为马先生既然提出来问，我想着，一定有什么不妥当了，所以没有说话。

“对是对的，不过欠精密一点。”马先生批评说，“譬如，一个数和它的平方数，1和1，2和4，3和9，4和16……都是同时变大、变小，它们成正比例吗？”

“可见得，四个数或量成正比例，不单是成比的两个数或量同时变大、变小，还要所变大或变小的倍数相同。这一点是一般人常常忽略了去的，所以他们常常会乱用‘成正比例’这个词。比如说，圆周和圆面积都是随了圆的半径一同变大、变小的，但圆周和圆半径成正比例，而圆面积和圆半径就不成正比例。”

关于正比例的计算，马先生说，因为都很简单，不再举例，他只把可以看出正比例的应用的计算法提出来。

第一，关于寒暑表的计算。

例一：摄氏寒暑表上的20度，是华氏寒暑表上的几度？

“这题的要点是什么？”马先生问。

“两种表上的度数成正比例。”周学敏回答。

“还有呢？”马先生问。

“摄氏表的冰点是0度，沸点是100度；华氏表的冰点是32度，沸点是212度。”一个同学回答。

“那么，它们两个的关系怎样用图线表示呢？”马先生问。

这本来没有什么困难，我们想一下子，就都会画了。纵线表示华氏的度数，横线表示摄氏的度数。因为从冰点到沸点，它们度数的比是：

（212-32）∶100=180∶100=9∶5

所以，从华氏的冰点F起，依照纵9横5的比画FA线，它就表明它们的关系。

从摄氏20度，往上看得B点，由B横看得华氏的68度，这就是所求度数。用比例计算是：

照四则问题的算法，一般的式子是：

要由华氏度数变成摄氏度数，自然是相似的了：

第二，复名数[25]的问题。

对于复名数，马先生说，不同的制度互化，也只是正比例的问题。例如米、市尺和英尺[26]的关系，若用图116表示出来，那真是一目了然的。——图中的OA表示米，OB表示英尺，OC表示市尺。市尺3尺等于1米，而英尺3尺——1码——比1米还差一些。

第三，百分法。

例一：通常的火药，20磅中，有硝石15磅，硫黄2磅，木炭3磅，这三种原料各占火药的百分之几？

马先生叫我们先把这三种原料各占火药的几分之几计算出来，并且画图表明。这自然是很容易的：

在图117上，OA表示硝石和火药的比，OB表示硫黄和火药的比，OC表示木炭和火药的比。

“将这三个分数的分母都化成一百，各分数怎样？”我们将图画好以后，马先生问。这也是很容易的：

这三个分数，就是A，B，C三点所指示出来的。

“百分数，就是分母固定是100的分数，所以关于百分数的计算，和分数的以及比的计算也没有什么不同。子数就是比的前项，母数就是比的后项，百分率不过是用100做分母时的比值。”马先生把百分法和比这样比较，自然百分法只是比例的应用了。

例二：硫黄80磅可造多少火药？要掺杂多少硝石和木炭？

这是极容易的题目，只要由图上（图117）一看就知道了。在OB上，B1表示8磅硫黄，从它往下看，相当于80磅火药；往上看，A1指示60磅硝石，C1指示12磅木炭。各数变大十倍，便是80磅硫黄可造800磅火药，要掺杂600磅硝石，120磅木炭。

用比例计算，是这样：

火药∶2∶80=20磅∶x磅，x磅=800磅，

硝石∶2∶80=15磅∶x磅，x磅=600磅，

木炭∶2∶80=3∶x磅，x磅=120磅。

若用百分法，便是：

这是求母数。

这都是求子数。

用比例和用百分法计算，实在没有什么两样。不过习惯了的时候，用百分法比较简单一点罢了。

例三：定价4元的书，若加4成卖，卖价多少？

这题的作图法，起先我以为很容易，但一动手，就感到了困难。OA线表示，这，我是会作的。但是，由它只能看出卖价是1元加4角（A1），2元加8角（A2），3元加1元2角（A3）和4元加1元6角（A）。固然，由此可以知道1元要卖1元4角，2元要卖2元8角，3元要卖4元2角，4元要卖5元6角。但这是算出来的，图上却找不出。

我照这些卖价作成C1，C2，C3和C各点，把它们连起来，得直线OC。由OC上的C4看，卖价是3元5角。往下看到OA上的A4，加的是1元。再往下看，原价是2元5角。这些都是合题的。线大约是作对了，不过对于作法，我总觉得不可靠。

周学敏和另两个同学都和我犯同样的毛病，王有道怎样我不知道。他们把这问题去问马先生，他的回答是：

“你们是想把原价加到所加的价上面去，弄得没有办法了。何妨反过来，先将原价表出，再把所加的价加上去呢？”

原价本来已很明白地，在横线上表示得很明白，怎样再来表示呢？原价！原价！我闷了头尽管想。忽然我想到了，要另外表示的，是照原价卖的卖价。这便成为1就是1，2就是2，我就作成了OB线。再把OA所表示的往上一加，就成了OC。OC仍旧是OC，这作法却有了根了。

至于计算法，本题求的是母子和。由图上看得很明白，B1、B2、B3……指的是母数；B1C1、B2C2、B3C3……指的是相应的子数；C1、C2、C3……指的便是相应的母子和。即：

母子和=母数+子数

=母数+母数×百分率

=母数（1+百分率）

一加百分率，就是C1所表示的。在本题，卖价是：

4元×（1+0.40）=4元×1.40=5.6元。

例四：上海某公司货物，照定价加二成出卖。运到某地需加运费五成，某地商店照成本再加二成出卖。上海定价50元的货，某地的卖价多少？

本题只是前题中的条件多重复两次，可以说不很难。但我动手作图的时候，就碰了一次钉子。我先作OA表示20%的百分率，OB表示母数1，OC表示上海的卖价，这些和前题的完全相同，当然一点儿不费力。运费是照卖价加五成的，我作OD表示50%的百分率以后，却迷住了，不知怎样将这五成运费加到卖价OC上去。要是去请教马先生，他一定要说我“六窍皆通”了。不只我一个人，大家都一样，一边用铅笔在纸上画，一边低着头想。

母数！母数！对于运费说，上海的卖价不是就成了母数吗？“天下无难事，只怕想不通”。这一想通了，真是再便当不过。将OD所表示的百分率，加到OB所表示的母数上去，得OE线，它所表示的便是成本。

把成本又作母数，再加二成，仍然由OC线表示，这就成了某地的卖价。

是的！50元（OP1），加二成10元（P1A1），上海的卖价是60元（P1C1）。

60元作母数，OP2加运费五成30元（P2D1），成本是90元（P2E1）。

90元作母数，OP3加二成18元（P3A2），某地的卖价是108元（P3C2）。

算法，不用说是很容易的。将它和图对照起来，真是有趣味极了！

例五：某市用十年前的物价做标准，物价指数是150%。现在定价30元的物品，十年前的定价是多少？

“物价指数”，这是一个新鲜名词，马先生解释道：

“简单地说，一个时期的物价对于某一定时期的物价的比，叫作物价指数。不过为了方便，作为标准的某一定时期的物价，总算是一百。所以，将物价指数和百分比对照，一定时期的物价，便是母数；物价指数便是1加百分率；现时的物价便是母子和。”

经过这样一解释，我们已懂得本题是知道了母子和，同着1加百分率，求母数。

先作OB表示1加百分率，150%。再作OA表示1，即100%。

从纵线30那一点，横看到OB线得B点。由B往下看得20元，就是十年前的物价。

算法是这样：

30元÷150%=20元。

这是由例三的公式可推出来的：

母数=母子和÷（1+百分率）。

例六：前题，现在的物价比十年前的涨了多少？

这自然只是求子数的问题了。在图中（图120）OA线表示的是100%，就是十年前的物价。所以，A1B表示的10元，就是所涨的价。因为PB是母子和，PA1是母数，PB减去PA1就是子数。求子数的公式很明白地是：

子数=母子和-母子和÷（1+百分率）

例七：十年前定价20元的物品，现在定价30元，求所涨的百分率和物价指数。

这个题目，是从例五变化出来的。作图（图120）的方法当然相同，不过顺序变换一点。先作表示现价的OB，次作表示十年前定价的OA，从A1向下截去A1B的长得C1。连OC1，得直线OC，它表示的便是百分率：

PC1∶OP=10∶20=50%。

至于物价指数，就是100%加上50%，等于150%。

计算的公式是：

例八：定价15元的货物，作七折出卖，卖价多少？减去多少？

大约是这些例目比较简单的缘故，我们没有一个人感到什么困难。一方面，不能不说是，由于马先生的详加指导，使我们见着题目，已知道找寻它的要点了。一连这几题，差不多都是我们自己做的，很少倚赖马先生。

本题和例三，只这里是减，那里是加，这一点不同。先作表示百分率（30%）的线OA，又作表示原价1的线OB。由PB减去PA得PC，联结OC，它所表示的就是卖价。CB和PA相等，都表示减去的数量。

图上表示得很明白，卖价是10元5角（PC），减去的是4元5角（PA或CB）。

在百分法中，这是求母子差的问题。由前面的说明，公式很容易得出：

在本题，就是：

15元×（1-30%）=15元×0.70=10.5元。

例九：八折后再六折和双七折哪一种折去的多？

图中的OP表示定价。OA表示八折，OB表示七折，OC表示六折。

OP八折成PA1。将它作母数，就是OP1。OP1六折，为P1C1。

OP七折为PB1。将它作母数，就是OP2。OP2再七折，为P2B2。

P1C1比P2B2短，所以八折后再六折比双七折所折去的较多。

例十：王成之照定价扣去二成买进的脚踏车，一年后折旧五成卖出，得32元，原定价是多少？

这也不过是多绕一个弯的问题。

OS1表示第二次卖价32元。OA表示折去五成。OP1，64元，就是王成之的买价。用它作子数，即OS2，原主的卖价。

OB表示折去二成。OP，80元就是原定价。

因为求母数的公式是：

母数=母子差÷（1-百分率）。

所以算法是：

32元÷（1-50%）÷（1-20%）

第四，单利息。

“100元，一年付10元的利息，利息占本金的百分之几？”马先生写完了标题问。

“百分之十。”我们一起回答。

“这百分之十，叫作年利率。所谓单利息，是利息不再生利的计算法。两年的利息是多少？”马先生问。

“20元。”一个同学回答。

“三年的呢？”

“30元。”周学敏。

“十年的呢？”

“100元。”仍是周学敏。

“付利息的次数，叫作期数。你们知道求单利息的公式吗？”

“利息等于本金乘以利率再乘以期数。”王有道回答。

“好！这就是单利息算法的基础。它和百分法有什么不同？”

“多一个乘数——期数。”我回答。我也想到它和百分法没有什么本质的差别，本金就是母数，利率就是百分率，利息就是子数。

“所以，对于单利息，我们用不到多讲，画一个图就可以了。”马先生说。

图也一点不难画，因为无论从本金或期数说，利息对它们都是定倍数（利率）的关系。

图中，横线表示年数，从1到10。

纵线表示利息，从0到120元。

本金都是100元。

表示利率的线共十二条，依次是从年利1厘[27]、2厘、3厘……到1分、1分1厘和1分2厘的。

这表的用法，马先生说，并不只限于检查本金100元十年间，各年照所标利率的利息。

本金不是100元的，可由它推算出来。

例一：求本金350元，年利6%，7年间的利息。

本金100元，年利6%，7年间的利息是42元（A）。本金350元的利息便是：

年数不止十年的，也可由它推算出来。并且把年数看成期数，则各种单利息都可由它推算。

例二：求本金400元，月利2%，三年的利息。

本金100元，利率2%，十期的利息是20元，六期的利息是12元，三十期的是60元，所以三年（共三十六期）的利息是72元。

本金400元的利息是：

利率是图上没有的，仍然可由它推算。

例三：本金360元，半年一期，利率14%，四年的利息怎样？

利率14%可看成12%加2%。半年一期，四年共八期。本金100元，利率12%，八期的利息是96元，利率2%的是16元，所以利率14%的利息是112元。

本金360元的利息是：

这些例子都是很简明的，真是“运用之妙，存乎其人”了！

[25]复名数：含有两个或两个以上同类计量单位名称的名数，如1米15厘米。

[26]1市尺约为0.33米，1英尺约为0.30米。

[27]1厘即1%。