“这是知道了某数的部分,而要求它的整个,和前一种正相反。所以它的画法,不用说,只是将前一种的方法反其道而行了。”马先生说。
“这样的办法,对是对的,不过不很便捷。”马先生批评道。
依照求偏的样儿,把“倍数”的意义,看得广泛一点;这类题的计算法,正和知道某数的倍数,求某数一般无二,都应当用除法。例如,某数的5倍是105,则:
某数=105÷5=21。
本题和前一题,可以说全然相同,由它更可看出“知偏求全”同着知道倍数求原数一样。
“本题的要点是什么?”马先生问。
“先看某数的同着它的的和,是它的几分之几。”王有道回答。
连DE,作AF平行于DE,F指明某数是18。
计算法是:
计算法是这样:
至于计算法,更不用说,只有一个了。
计算法是这样:
“不错!第二步呢?”
“对!OC就和OD所表示的16元相当了。你们各人自己把图作完吧!”马先生吩咐。
自然,这又是老法子:连CD,作BE,AF和它平行。OF所表示的30元就是原来的存款。由这图上还可看出,第一次所取的是10元,第二次是4元。看了图很明白地,计算法是:
“这个题,对于画图,不很顺畅,你们能把它的顺序更改一下吗?”马先生问。
“题上说,最后剩的是半桶,可见得漏去和汲出的也是半桶,先就这半桶来画图好了。”王有道回答。
“这办法很不错,精神上虽已把题目改变,实质上却是一样。”马先生说,“那么,作法呢?”
算法是:
这个题,不过有点小弯子在里面,一经马先生这样提示:“少剪去3尺,怎样?”我便明白作法了。
经过这番作法,算法也就很明白了:
从讲分数的应用问题起,直到前一个例题,我都不很感到困难,这个题,我却有点对付不下了。马先生似乎已晓得,我们有大半人拿着它没有下手处,他说:
“你们先不要对着题去闷想,还是动手的好。”但是怎样动手呢?题目所说的,都不曾得出一些关联来。
“不,我问的是图上的线段。”马先生说。
“OB。”周学敏不回答,我就说。
“存入200元后,存的有多少?”
“OC。”我回答。
“那么,和这存入的200元相当的是什么?”
“BC。”周学敏抢着说。
“这样一来,图会画了吧?”
这个作法,已把计算法明明白白地告诉我们了:
对于马先生的指导,我真要铭感五腑[24]了。这个题,在平常,我一定没有办法的,现在遵照马先生在前一题的提示:“先不要对着题闷想,还是动手的好。”动起手来。
至于算法我倒想着无妨别致一点:
“这个题有点儿麻烦了,是不是?人有四个,条件又啰唆。你们坐了这一阵,也有点儿疲倦了。我来说个故事,给你们解解闷,好不好?”听到马先生要说故事,谁都精神为之一振。
“话说——”马先生一开口,惹得大家都笑了起来,“从前有一个老头子。他有三个儿子和十七头牛。有一天,他病了,自己觉得大限快要到来,因为他已经九十多岁,就叫他的三个儿子到面前来,吩咐他们:
“后来他们一同去请教隔壁的李太公,他是向来很公平,他们很佩服的。他们把一切情形告诉了李太公。李太公笑眯眯地牵了自己的一头牛,跟他们去。他说:
‘你们分不好,我送你们一头,再分好了。’
“这叫李太公分牛。”马先生说完,大家又用笑声来回答他。他接着说:
“你们听了这个故事,学到点什么没有?”
“……”没有人回答。
“你们无妨学学李太公,做个空头人情,来替赵、钱、孙、李这四家分这笔缠夹账呀!”原来,他说李太公分牛的故事,是在提示我们,解决这个题,须得虚加些钱进去。这钱怎样加进去呢?
不过,这么一来,孙比赵、钱的和又差了30元。好,又加30元去给孙,使他所得的还是等于赵、钱的和。
跟着这一堆说明,画图已成很机械的工作。
在横线上,取OB1表示490元。B1B2表示添给赵的30元。B2B3表示添给孙的30元。B3B4和B4B5表示添给李的30元和20元。
连A4B5作A1C和它平行,C指135元,是钱所得的。
作A2D平行于A1C,由D减去30元得E。CE表示60元,是赵所得的。
作A3F平行于A2E,EF表示195元,是孙所得的。
由B2减去30元,正好得指490元的B1。FB1表示100元,是李所得的。
至于计算的方法,由作图法,已显示得非常明白:
这题是一个同学提出来的,其实和例九只是面目不同罢了。马先生虽也很仔细地给他讲解,我只将图的作法记在这里。
连A3B1,作A2B2,A1B3和AB平行于A3B1。——某人的存款是72元,长子得46元,次子得18元,幼子得8元。
这题和例六在算理上,完全一样。我只把图画在这里,并且将算式写出来。
要点!要点!马先生写好了题,就叫我们找它的要点。我仔细揣摩一番,觉得题上所给的是某人4年前和8年后两个年纪的关系。先从这点下手,自然直接一些。周学敏和我的意见相同,他向马先生陈述,马先生也认为对。由这要点,我得出下面的作图法。
连A1B2,作AB平行于A1B2。B指的21岁,便是某人8年后的年纪。
这一来,算法自然有了:
作图法是这样:
连A2B,作AB1和它平行。B1指30岁,是弟12年后的年纪。从它减去12岁,得B,就是弟现年18岁。
作A1B2平行于A2B。B2指48岁,是兄12年后,又加上10岁的年纪。减去这10岁,得B3,指38岁,是兄12年后的年纪。再减去12岁,得B4,指26岁,是兄的现年。——正和弟的现年18岁加上8岁相同,真巧极了!
算法是这样:
王有道提出这个题,请求马先生指示他画图的方法。马先生踌躇一下,这样说:
“要用一个简单的图,表示出这题中的关系和结果,这是很困难的。因为这个题,本可分成两段看:前一段是男女生总人数的关系;后一段只说各校中男女生人数的关系。既不好用一个图表示,就索性不用图吧!——现在我们无妨化大事为小事,再化小事为无事。第一步,先了结题目的前一段,两校的女生共是多少人?”
这当然是很容易的:
“男生共多少?”马先生见我们得出女生的人数以后问。
不用说,这更容易了:
372人-162人=210人。
女生所占的分数是:
王有道回答完以后,马先生说:
“4个。”周学敏回答。
“好!一共是几个学生?”
“9个。”周学敏又回答。
“这么一来。”马先生说,“我们可以把题目改成这样了:
到这一步,题目自然比较简单了,但是算法,我还是想不清楚。
“5!”两三个人高声回答。
“就拿这个5去把它们都除一下,结果怎样?”
“你们再把4去将它们都乘一下看。”
“把这结果和上面的(2)比较一下,你们应当可以得出计算的方法来了。今天费去的时间很久,你们自己去把结果算出来吧!”说完,马先生带着疲倦走出课堂。
转个念头,我就想到:
若把它们一个对一个地来相减,那就得:
168-162=6
372人-102人=270人——甲校的学生数。
这结果是否可靠,我有点不敢判断,我只好检查一下:
150人+60人=210人——两校男生,120人+42人=162人——两校女生。
最后的结果,和前面第一步所得出来的完全一样,我用不到怀疑了!
[24]铭感五腑:今作“敏感五内”。