昨天马先生结束了四则问题以后，曾经叫我们复习关于质数、最大公因数和最小公倍数的问题。夜晚很好，天气不十分热，我取了《开明算术教本》上册，阅读关于这些事项的第七章。从前学习它的时候，是否感到困难，印象已很模糊了。现在要说“一点困难没有”，我不敢这样自信。不过，像从前遇见四则问题那样地“丈二和尚”摸不着头脑，确实没有。也许其中的难点，我不曾发觉吧！怀着这样的心情，今天，到课堂去听马先生的讲。

“我叫你们复习的，都复习过了吗？”马先生一走上讲台就问。

“复习过了！”两三个人齐声回答。

“那么，有什么问题？”

各人都是瞠起两眼，望着马先生，没有一个问题提出来。马先生在这静默中，看了全体一遍：

“学算学的人，大半在这一部分不会感到什么困难的，大约你们也不会有什么问题了。”

我不曾发觉什么困难，照这样说，自然是由于这部分材料，比较容易的缘故。心里这么一想，就期待着马先生的下文。

“既然大家都没有问题，我且提出一个来问你们：这部分材料，我们也用得着画图来处理它吗？”

“那似乎可以不必了！”周学敏回答。

“似乎？可以就可以，不必就不必，何必‘似乎’！”马先生笑着说。

“不必！”周学敏斩钉截铁地说。

“问题不在‘必’和‘不必’。既有了这样一种法门，正可拿它来试试，看变得出什么花样锦来，不是也有趣吗？”马先生说完，停了一停，再问：

“这一部分所处理的材料，是些什么？”

当然，这是谁也回答得上来的，大家抢着说：

“找质数。”

“分质因数。”

“求最大公因数和最小公倍数。”

“归根结底，不过是判定质数和计算倍数与因数，——这只是一种关系的两面，12是6、4、3、2的倍数；反过来看，6、4、3、2便是12的因数了。”马先生这样结束了大家的话，而掉转话头：

“闲言少说，言归正传。你们将横线每一大段当1表示倍数，纵线每一小段当1表示数目，画表示2的倍数和3的倍数的两条线。”

这只是“定倍数”的问题，已没有一个人不会画了。马先生在黑板上也画了一个——图75。

“从这图上，可以看出些什么来？”马先生问。

“2的倍数是2、4、6、8、10、12。”我答。

“3的倍数是3、6、9、12、15、18。”周学敏答。

“还有呢？”

“5、7、11、13、17都是质数。”王有道答。

“怎么看出来的？”

这几个数都是质数，我原是晓得的，但由图上，怎样看得出来，我却茫然。马先生的这么一追问，真是“实获我心”了。

“OA和OB两条线都没有经过它们，所以它们既不是2的倍数，也不是3的倍数……”王有道说到这里，突然停住了。

“怎样？”马先生问道。

“它们总是质数呀！”王有道很不自然地说。这一来大家都已觉到，这里面一定有了漏洞，王有道大约已明白了。不期然而然地，一齐笑起来。笑，我也是跟着笑的，不过我并不曾将这漏洞觉到。

“这没有什么可笑。”马先生很郑重地说，“王有道，你回答的时候也有点迟疑了，为什么呢？”

“由图上看来，它们都不是2和3的倍数，而且我知道它们都是质数，所以我那样说。但突然想到，25既不是2和3的倍数，也不是质数，便疑惑起来了。”王有道这么一解释，我才恍然大悟，漏洞原是在这里。

马先生露出很满意的神气，接着说：

“其实这个判定法，本是对的，不过欠精密一点，你是上了图的当。假如图还画得详细些，你就不会这样说了。”马先生叫我们另画一个较详细些的图——图76——将表示2、3、5、7、11、13、17，19、23、29、31、37、41、43、47各倍数的线都画出来。（这里的图，右边截去了一部分。）不用说，这些数都是质数。由图上，50以内的合数当然很明白地可以看出来。不过，我很有点儿怀疑——马先生原来是要我们从图上找质数，既然把表示质数的倍数的线都画了出来，还用得找什么质数呢？

马先生还叫画一条表示6的倍数的线，OP。他说：“由这张图看，当然再不会说，不是2和3的倍数的，便是质数了。你们再用表示6的倍数的一条线OP作标准，仔细看一看。”

经过十来分钟的观察，我发现了：

“质数都比6的倍数差1。”

“不错，”马先生说，“但是应得补充一句——除了2和3。”这确实是我所不曾注意到的。

“为什么5以上的质数都比6的倍数差1呢？”周学敏提出了这样一个问题。

马先生叫我们回答，但没有人答得上来，他说：

“这只是事实问题，不是为什么的问题。换句话说，便是整数的性质本来如此，并不为点什么。”对于这个解释，大家都好像有点莫名其妙，没有一个人说话。马先生接着说：

“一点也不稀罕！你们想一想，随便一个数，用6去除，结果怎样？”

“有的除得尽，有的除不尽。”周学敏说。

“除得尽的就是6的倍数，当然不是质数。除不尽的呢？”

没有人回答，我也想得到有的是质数，如23；有的不是质数，如25。马先生见没有人回答，便这样说：

“你们想想看，一个数用6去除，若除不尽，它的余数是什么？”

“1，例如7。”周学敏说。

“5，例如17。”另一个同学说。

“2，例如14。”又是一个同学说。

“4，例如10。”其他两个同学同时说。

“3，例如21。”我也想到了。

“没有了。”王有道来一个结束。

“很好！”马先生说，“用6除剩2的数，有什么数可把它除尽吗？”

“2。”我想它用6除了剩2，当然是个偶数，可用2除得尽。

“那么，除了剩4的呢？”

“一样！”我很高兴地说。

“除了剩3的呢？”

“3！”周学敏很快地说。

“用6除了剩1或5的呢？”

这我也明白了。5以上的质数既不能用2和3除得尽，当然也不能用6除得尽。用6去除不是剩1便是剩5，都和6的倍数差1。

不过马先生又另外提出一个问题：

“5以上的质数都比6的倍数差1，掉转头来，可不可以这样说呢？——比6的倍数差1的都是质数？”

“不！”王有道说，“例如25是6的4倍多1，35是6的6倍少1，都不是质数。”

“这就对了！”马先生说，“所以你刚才用不是2和3的倍数来判定一个数是质数，是不精密的。”

“马先生！”我的疑问始终不能解释，趁他没有说下去，我便问：“由作图的方法，怎样可以判定一个数是不是质数呢？”

“这是应当有的问题，刚才，画的线都是表示质数的倍数的，你们会想到，这不能用来判定质数。但是若果从画图的过程看，就可明白了。首先画的是表示2的倍数的线OA，由它，你们可以看出哪些数不是质数？”

“4、6、8……一切偶数。”我答道。

“接着画表示3的倍数的线OB呢？”

“6、9、12……”一个同学说。

“4既不是质数，上面一个是5，第三就画表示5的倍数的线OC。”这一来又得出它的倍数10、15等等。再依次上去，6已是合数，所以只好画表示7的倍数的线OD。接着，8、9、10都是合数，只好画表示11的倍数的线OE。照这样做下去，把合数渐渐地淘汰了去，所画的线所表示的不是全都是质数的倍数吗？——这个图，我们无妨叫它质数图。”

“我还是不明白，用这张质数图怎样判定一个数是否是质数。”我跟着发问。

“这真叫作百尺竿头，只差一步了！”马先生很诚恳地说，“你试举一个合数与一个质数出来。”

“15与37。”

“从15横看过去，有些什么数的倍数？”

“3的和5的。”

“从37横着看过去呢？”

“没有！”我已懂得了。在质数图上，由一个数横看过去，若有别的数的倍数，它自然是合数；一个也没有的时候，它就是质数。不只这样，例如15，还可知道它的质因数是3和5。最简单的，6含的质因数是2和3。马先生还说，用这个质数图来把一个合数分成质因数，也是容易的。这法则是如此：

例一：将35分成质因数的积。

由35横看到D得它的质因数有一个是7，往下看是5，它已是质数，所以

35=7×5

本来，若是这图的右边没有截去，7和5都可由图上直接看出来的。

例二：将12分成质因数的积。

由12横看得Q，表示3的4倍。4还是合数，由4横看得R，表示2的2倍，2已是质数，所以

12=3×2×2=3×22

关于质数图的作法，以及用它来判定一个数是否是质数，用它来将一个合数析成质因数的积，我们都已明白了。马先生提出求最大公因数的问题。前面所说过的既已明了，这自然是迎刃而解的了。

例三：求12、18和24的最大公因数。

从质数图上，——如图77——我们可以看出24、18和12都有因数2、3和6。它们都是24、18、12的公因数，而6就是所求的最大公因数。

“假如不用质数图，怎样由画图法找这最大公因数？”马先生问王有道。他一面思索，一面用手指在桌上画来画去，后来他这样回答：

“把最小一个数以下的质数找出来，再画出表示这些质数的倍数的线。由这些线上，就可看出各数所含的公共质因数。它们的乘积，就是所求的最大公因数。”

例四：求6、10和15的最小公倍数。

依照前面各题的解法，本题是再容易没有了。OA，OB，OC相应地各表示6、10和15的倍数。A，B和C同在30的一条横线上，30便是所求的最小公倍数。

例五：某数，三个三个地数，剩一个；五个五个地数，剩两个；七个七个地数，也剩一个，求某数。

马先生写好了这个题，叫我们讨论画图的方法。自然，这不是很难的，经过一番讨论，我们就得出图79来。1A，2B，1C各线分别表出3的倍数多1，5的倍数多2，7的倍数多1来。而这三条线都经过22的线上，22即是所求的。——马先生说，这是最小的一个，加上3、5、7的公倍数，都合题。——不是吗？22正是3的7倍多1，5的4倍多2，7的3倍多1。

“你们由画图的方法，总算把解答求出来了，但是怎样算法呢？”马先生这一问，却把我们难住了。最先有的人说是求它们的最小公倍数，这当然不对，3、5、7的最小公倍数是105呀！后来又有人说，从它们的最小公倍数中减去3除所余1，也有人说减去5除所余的2，自然都不是。从图上仔细去看，也毫无结果。最终只好去求教马先生了。他见大家都束手无策，便开口道：

“这本来是咱们中国的一个老题目，它还有一个别致的名称——韩信点兵。它的算法，有诗一首：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

你们懂得这诗的意思吗？”

“不懂！不懂！”许多人都说。于是马先生加以解释：

“这也是和‘无边落木萧萧下’的谜一样。三人同行七十稀，是说3除所得的余数用70去乘它。五树梅花廿一枝，是说5除所得的余数，用21去乘。七子团圆月正半，是说7除所得的余数用15去乘。除百零五便得知，是说把上面所得的三个数相加，加得的和若大于105，便把105的倍数减去。因此得出来的，就是最小的一个数。好！你们依照这个方法，将本题计算一下看。”下面就是计算的式子：

1×70+2×21+1×15=70+42+15=127

127-105=22

奇怪！对是对了，但为什么呢？周学敏还掉了一个题，“三三数剩二，五五数剩三，七七数剩四”来试，

2×70+3×21+4×15=140+63+60=263

263-105×2=263-210=53

53正是3的17倍多2，5的10倍多3，7的7倍多4。真奇怪！但是为什么？

对于这个疑问，马先生说，把上面的式子改成下面的形式，就可以明白了。

（1）2×70+3×21+4×15=2×（69+1）+3×21+4×15

=2×23×3+2×1+3×7×3+4×5×3

=（2×23+3×7+4×5）×3+2×1

（2）2×70+3×21+4×15=2×70+3×（20+1）+4×15

=2×14×5+3×4×5+3×1+4×3×5

=（2×14+3×4+4×3）×5+3×1

（3）2×70+3×21+4×15=2×70+3×21+4×（14+1）

=2×10×7+3×3×7+4×2×7+4×1

=（2×10+3×3+4×2）×7+4×1

“这三个式子，可以说是同一个数的三种解释：（1）表明它是3的倍数多2；（2）表明它是5的倍数多3；（3）表明它是7的倍数多4。这不是正和题目所给的条件相合吗？”马先生说完了，王有道似乎已经懂得，但又有点怀疑的样子。他踌躇了一阵，向马先生提出这么一个问题：

“用70去乘3除所得的余数，是因为70是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。用21去乘5除所得的余数，是因为21是3和7的公倍数，又是5的倍数多1。用15去乘7除所得的余数，是因为15是5和3的倍数，又是7的倍数多1。这些我都明白了。但，这70，21和15怎么找出来的呢？”

“这个问题，提得很合适！”马先生说，“这类题的要点，就在这里。但，这些数的求法，说来话长，你们可以去看开明书店出版的《数学趣味》，里面就有一篇专讲《韩信点兵》的。——不过，像本题，三个除数都很简单，70、21、15都容易推出来。5和7的最小公倍是什么？”

“35。”一个同学回答。

“3除35，剩多少？”

“2——”另一个同学回答。

“注意！我们所要的是5和7的公倍数，同时又是3的倍数多1的一个数。35当然不合用。将2去乘它，得70，既是5和7的公倍数，又是3的倍数多1。至于21和15情形也相同。不过21已是3和7的公倍数，又是5的倍数多1；15已是5和3的公倍数，又是7的倍数多1，所以都用不到再把什么数去乘它了。”

最后，他还补充一句：

“我提出这个题的原意，是要你们知道，它的形式虽和求最小公倍数的题相同，实质上却是两件事，必须加以注意。”