“昨天讲的最后三个例子，你们总没有忘掉吧！——若是这样地健忘，那就连吃饭、走路都不能学会了。”马先生一走进门，还没立定，笑嘻嘻地就这样开场。大家自然只是报以微笑。马先生于是口若悬河地开始他的这一课讲演。

昨天的最后三个例子，图上都是一条直线。各条直线都表出了两个量所保有的一定关系。从直线上的任意一点，往横看又往下看，马上就知道了，合于某种条件的甲量是什么的时候，乙量便是怎样。如图7，合于每小时走二里这条件，4小时便走了8里，5小时便走了10里。

这种图，当然，对于我们很有用。比如说，你有个弟弟，每点钟可走六里路，他离开你出门去了。你若照样画一张图，他离开你后，你坐在屋里，只要看看表，他走了多少时间，再看看图，你就可以知道他已离你多远。倘若你还明白这条路沿途的地名，你当然更可以知道他已到了什么地方，还要多少时间才能到达目的地。倘若他走后，你突然想起什么事，须得关照他，正好有长途电话可利用，只要你沿途有地点可以利用和他通电话，那你不是很容易找到打电话的时间和通话的地点吗？

这是一件很巧妙的事，已落了中国旧小说无巧不成书的老套。古往今来，有几个人碰巧会有这样的事？这算得来什么用场？你也许要这样扳差头[9]。然而这只是一个用来打比方的例子，照这样推想，我们总可相信，能够制一幅地球和月亮运行的图吧。从这上面，不是在屋里就可以看出什么时候地球和月亮的相互位置吗？这岂不是有了孟老爹所说的“天之高也，星辰之远也，千岁之日至可坐而致也”那副神气吗？算学的野心，就是想把宇宙间的一切法则，统括在几个式子或几张图上——这就是它的“全体大用”。

在现在说，这似乎是犯了夸大狂的说法，姑且丢开，转到本题。算术上计算一道题，除了混合比例那一类以外，总只有一个解答，这解答就靠昨天所讲过的那种图，可以得出来吗？

当然可以，我们不是能够由图上看出来，张老大得九块钱的时候，宋阿二得的是六块钱吗？

不过，这种办法对于这样简单的题目虽是可以通得过，遇见较复杂的题目，就很不便当了。比如，将题目改成这样：

张老大、宋阿二分十五块钱，怎样分法，张老大比宋阿二多得三块？

当然我们可以这样老老实实地去把解答找出来：张老大拿十五块的时候，宋阿二一块都轮不着，相差的是十五块。张老大拿十四块的时候，宋阿二可得一块，相差的是十三块……这样一直看到张老大拿九块，宋阿二得六块，相差正好是三块，这便是解答。

这样的做法，就是对于这个很简单的题目，也须做到六次，才得出解答来。较复杂的题目，或是题上数目较大的，那就不胜其繁[10]了。

而且，这样的做法，实在有点和打发财票[11]差不多。从张老大拿十五块，宋阿二得不着，相差十五块，不对题；马上就跳到张老大拿十四块，宋阿二得一块，相差十三块，实在太胆大。为什么不看一看，张老大拿十四块九角，十四块八角……乃至于十四块九角九分九九九……的时候怎样呢？

喔！若是这样，那还了得！从十五到九中间有无限的数，要依次看去，人寿几何？而且比十五稍稍小一点的数，谁看见它的面孔是圆的还是方的？

老老实实的办法，就不是办法！人是有理性的动物，花样锦要变得省力气、有把握，才惹得起看客的赞赏呀！你们读过《伊索寓言》，里面不是说人学的猪叫比真的猪叫，更叫人满意吗？

所以找算术上的解答必须更巧妙一点。

这样，就来讲交差原理。

照昨天的说法，我们无妨假设，两个量间有一定的关系，说可以用一条线表示出来——这里说假定，是虚心的说法，因为我们只讲过三个例子，不便就冒冒失失地概括一切。其实，两个量的关系，用图线（不一定是直线）表示，只要这两个量是实量，总是可能的——那么像刚才举的这个例题，既包含两种关系：第一，两个人所得的钱的总和是十五块；第二，两个人所得的钱的差是三块。当然每种关系都可画一条线来表示。

所谓一条线表示两个数量的一种关系，精密地说，就是：从那条线上的无论哪一点，横看和纵看所得的两个数量都有同一的关系。

假如，表示两个数量的两种关系的两条直线是交叉的，那么，相交的地方当然是一个点。这个点便是一子双挑了，它继承这一房的产业，同时也继承另一房的产业。所以，由这一点横看纵看所得出的两个数量，既保有第一条线所表示的关系，同时也就保有第二条线所表示的关系。换句话说，便是这两个数量同时具有题上的两个关系。

这样的两个数量，不用说，当然是题上所要的解答。

试将前面的例题画出图来看，那就非常明白了。

第一个条件，“张老大、宋阿二分十五块钱”，这是两人所得的钱的和一定，用线表出来，便是AB。

第二个条件，“张老大比宋阿二多得三块钱”，这是两人所得的钱的差一定，用线表出来，便是CD。

AB和CD相交于E，就是E点在AB上，同时也在CD上，所以两条线所表示的条件，它都承受了下来。

由E横看过去，张老大得的是九块钱；纵看下来，宋阿二得的是六块钱。

正好，九块加六块，十五块，就是AB线所表示的关系。

而九块比六块多三块，就是CD线所表示的关系。

E点一点不推扳[12]，正是本题的解答。

“两线的交点同时承受得有两线所表示的关系。”这就是交差原理。

顺水推舟，就这原理再补充几句。

两线不止一个交点怎样？

那就是这题不止一个解答。不过，此是后话，暂且不表，在以后连续的若干次讲演中都不会遇见这种情形。

两线没有交点怎样？

那就是这题没有解答。

没有解答还成题吗？

不客气一点，你就可以说这题不通；客气一点，你就说，这题不可能。所谓不可能，就是照题上所给的条件，它所需要的解答是不存在的。

比如，前面的例题，第二个条件，换成“张老大比宋阿二多得十六块钱”，画出图来，两直线便没有交点。事实上，这非常明白，两个人分十五块钱，无论怎样，不会有一个人比另一个人多得十六块的。只有两人暂时将它放着生利息，到了连本带利已在十六块以上再来分，然而，这已超出题目的范围了。

教科书上的题目，是著书的人为了学习的人练习起见编造出来的，所以，只要不是排错，都不至于不可能，至于到了实生活上，那就不定有这样的幸运。因此，注意题目的是否可能，假如不可能，解释这不可能的理由，都是学习算学的人所应当做的工作。

[9]扳差头：方言，即找碴儿。

[10]不胜其繁：今作“不胜其烦”。

[11]发财票：即奖券。

[12]推扳：方言，指一点不差。