倘若我们一直是用十二进位法记数的，在数学的世界里将有什么变化呢？

不客气地说，毫没有两样，因为数学虽是从数出发，但和记数的方法却很少关联。若客气点说，那么这样便很天公地道了。算理是没有两样的，只是在数的实际计算上有点出入。最明白的就是加法和乘法的进位以及减法和除法的退位。自然像加法和乘法的九九表便应当叫“依依”表，也就有点不同了。例如：（24e2-t78）×143

上面的算法（1）是减，个位2减去8，不够，从什位退1下来，因为上位的1是等于下位的12，所以一共是14，减去8，就剩6。什位的e（11）退去1剩t（10），减去7剩3。佰位的4减去t，不够，从仟位退1成16，减去t（10）便剩6。

（2）先是分位乘，3乘6得18，等于12加6，所以进1剩6。其次3乘3得9，加上进位的1得t，……再用4乘6得24，恰是2个12，所以进2剩0。其次4乘3得12，恰好进1而本位只剩下位进来的2……三位都乘了以后再来加。末两位和平常的加法完全一样，第三位6加2加6得14等于12加2，所以进1剩2。

再来看除法，就用前面将十二进法改成十进法的例子。

这计算的结果和上面的一样，也是12401。至于计算的方法：在第一式，t（10）除72商8，8乘t得80，等于6个12加8，所以从72中减去68而剩6。其次t除61商7，7乘t得70，等于5个12加10，所以从61减去5t而剩3。再次t除35商4，4乘t得40，等于3个12加4，所以从35中减去34而剩1。第二、第三、第四式和第一式的算法完全相同，不过第四式的被除数10是一什在十进法应当是12，这一点应当注意。

照这除法的例子看起来，十二进法比十进法好似麻烦得多。但是，朋友！倘若你只是觉得是这样，那还情有可原，倘若你认为根本就是如此，那便是你上了你的十个小宝贝的当的缘故。上面的说明是为了你弄惯了十进法，对于十二进法，还是乍相逢，所以不得不兜圈子。其实你若从小就只懂得十二进法，你所记的自然是乘法“依依”表——见前——而不是九九乘法表。你算起来“梯”除七什二，自然会商八，八乘“梯”自然只得六什八，你不相信吗？就请你看十二进法的乘法“依依”表。

123456789te

1123456789te

22468t10121416181t

33691013161920232629

448101418202428303438

55t131821262e34394247

6610162026303640465056

771219242e364148535t65

8814202834404854606874

9916233039465360697683

tt18263442505t68768492

ee1t2938475665748392t1

看这个表的时候，应当注意，1、2、3、…、9和九九乘法表一样的，10、20、30……却是一什（12），二什（24），三什（36）。

倘若和九九乘法表对照着看，你可以发现表中的许多关系全是一样的。举两个例子说：第一，从左上到右下这条对角线上的数是平方数；第二，最末一排第一位次第少1，在九九乘法表是9、8、7、6、5、4、3、2、1，第二位是次第多1，在九九乘法表是0、1、2、3、4、5、6、7、8，还有每个数两位的和全是比进位的底数少1，在“依依”表是“依”，在九九表是“九”。

在数学的世界中除了这些不同，还有什么差异没有？

要搜寻起来自然是有的。

第一，四则问题中的数字计算问题。

第二，整数的性质中的倍数的性质。

这两种的基础原是建筑在记数的进位法上面，当然要有些面目不同，但也不过面目不同而已。且举几例在下面，来结束这一篇玩意儿。

（1）四则中数字计算问题：例如“有二位数，个位数字同十位数字的和是六，若从这数减十八，所得的数，恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，求原数”。

解这一种题目的基本原理有两个：

（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”倍。

（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”倍。如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”倍。

运用这第二个原理到上面所举的例题。因为从原数减18所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：

（6+2）÷2=4……十位数字，（6-2）÷2=2……个位数字，而原数为42。

解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们试来考察一下。

（a）83=8×10+3，38=3×10+8

∴83+38=（8×10+3）+（3×10+8）

=8×10+8+3×10+3

=8×（10+1）+3×（10+1）

=8×11+3×11

=（8+3）×11

这式子最后的一段中，8+3正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。

（b）83-38=（8×10+3）-（3×10+8）

=8×10-8-3×10+3

=8×（10-1）-3×（10-1）

=8×9-3×9

=（8-3）×9

这式子最后的一段中，8-3正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”倍来。但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。

将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。所以

（a）（a1r+a2）+（a2r+a1）=a1r+a1+a2r+a2

=a1（r+1）+a2（r+1）

=（a1+a2）（r+1）

（b）（a1r+a2）-（a2r+a1）=a1r+a2-a2r-a1

=a1r-a1-a2r+a2

=a1（r-1）-a2（r-1）

=（a1-a2）（r-1）

第一原理（a）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的r+1倍。r是记数法的底数，在十进法为10，故r+1为“11”；在十二进法为12，故r+1为13（照十进法说的），在十二进位法便也是11（一什一）。

第二原理（b）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的r-1倍，在十进法为“9”，在十二进法为“e”。

由这样看来，前面所举的例题，在十二进法中是不能成立的，因为在十二进法中，42减去24所剩的是1t而不是18，若照原题的形式改成十二进法的，那应当是：

“有二位数，……若从这数减什梯（1t）……”

它的计算法就完全一样，不过得出来的42是十二进法的四什二而不是十进法的四十二。

（2）关于整数的倍数的性质，且就十进法和十二进法两种对照着举几条如下：

（a）十进法——5的倍数末位是5或0。

十二进法——6的倍数末位是6或0。

（b）十进法——9的倍数各数字的和是9的倍数。

十二进法——e的倍数各数字的和是e的倍数。

（c）十进法——11的倍数，各奇数位数字的和，同着各偶数位数字的和，这两者的差为11的倍数或零。

十二进法——形式和十进法的相同，只是就十二进法说的一什一在十进法是一十三。

上面所举的三项中，（a）是看了九九表和“依依”表就可明白的，（b）（c）的证法在十进法和十二进法一样，实在我们还可以给它们一个一般的证法，试以（b）为例，（c）就可照画葫芦了。

设记数法的底数为r，各位数字为a0、a1、a2、…、an-1、an。各数字的和为S，则：

N=a0+a1r+a2r2+…+an-1rn-1+anrn

S=a0+a1+a2+…+an-1+an

N-S=a1（r-1）+a2（r2-1）+…+an-1（rn-1-1）+an（rn-1）

因为rn-1无论n是什么正整数都可以用r-1除尽，所以若用r-1除上式的两边，则右边所得的便是整数，设它是I，因而得

所以若N是r-1的倍数，S也应当是r-1的倍数，不然这个式子所表示的便成为一个整数等于一个整数和一个分数的和了，这是不合理的。

这是一般的证明，若把它特殊化，在十进法r-1就是9，在十二进法r-1便是e，由此便得（b）。

由这个证明，我们可以知道，在十进法中，3的倍数各数字的和是3的倍数，而在十二进法中，这却不一定，因为在十进法9是3的倍数，而在十二进法e却不是3的倍数。

从这些例子看起来，假如我们有十二个手指，我们的记数法采用十二进法，比较用十进法，无论在数的世界或在数学的世界所起的变化很是有限。而且假如我们能不依赖手指表数的话，用十二进法记数还便利些。但是我们的文明，本是手的文明，我们又怎能跳出这十个小宝贝的支配呢？

[30]米突制：即公制。