（一）

记得大约十年前，上海风行过一种画报，这画报上每期载有一页“马浪**改行”。马浪**是一个浪**子，在上海滩上无论啥行道他都做过，一种行道失败了，混不下去，就掉一种。有一次他去当拍卖行的伙计，高高地坐在台上，一个买客，是每只手有六根指头的，伸着两手表示他对于某件东西出十块钱。马浪**见着十二个指头，便以为他说的是十二块，高高兴兴地卖了，记下账来。到收钱的时候，那人只出十块，马浪**的老板照账硬要十二块，争执得无可了结，叫马浪**赔两块了事，马浪**又是一次失败。

我常常会想起这件故事，因为我常常见到大家伸起手指头表示他们所说的数，一个指头表示一，两个指头表示二，三个指头表示三……这非常自然。两只手没有一秒钟不跟随着人，手指头又是伸屈极灵便的机械，若不利用它们表数，岂不辜负了它们！

但有时我又想，我们有这十个小把戏，固然得了不少的便宜，可是我们未尝不吃亏。人的文明大半是靠这十个小把戏产生出来的。假如我们不很满意现代的文明的话，仔细一思量，就不免要归罪于它们了。别的不必说，假如这小把戏和小把戏中间，也和鸭儿的脚板一样，生得有些薄皮，游起水来就便利得多。不但如此，有酒没有酒杯的当儿，窝着手心权当杯儿，也可以点滴不漏。话虽如此，这只是空想，在我们的生活中，实在有些地方是受它们的拘束很厉害。最明白而简单的例子，就是我们的记数法。马浪**的买客，伸出手来，既有十二个指头，马浪**认他所表示的是十二，这是极合理的。伸出两只手表示一十，本来是因为只有十个指头的缘故；假如我们每个人都有十二个手指头，当然不肯特别优待哪两个，伸出两只手还只表示到一十就心满意足。

两只手有十个指头，便用它们来表十，原不过因为取携便当，岂料这一来，我们的记数法就受了限制，我们都只知道“一而十，十而百，百而千，千而万……”满了十就进一位，我们还觉得只有这“十进”法顶便利。其实这全是喜欢利用十个手指头反而受了它们的束缚的缘故，假如你看着你的小弟妹们用手指算二加二得四，你觉得他们太愚笨，太可笑，那么，你觉得十进记数法最便利是同样地愚笨，同样地可笑。

假如我们有十二个手指表示数，我们不是可以用十二进位记数法吗？

假如你觉得十进法比五进法便当，你能不承认十二进法比十进法便当吗？——自然要请你不可记着你只有十个手指头。

我们且先来探索一下记数法的情形，然后再看假如我们有十二个手指头，用了十二进位法，我们的数的世界和数学的世界将有怎样的不同。我一再说假如我们有十二个手指头，用十二进位法，所以要如此，因为没有十二个手指头，就不会使用十二进位法的。人只是客观世界的反射镜，不能离开客观世界产生什么文明。

混沌未开，黑漆一团的时代，无所谓数，因为“一”虽是数的老祖宗，但倘若它无嗣而终，数的世界是无法成立的。数的世界的展开至少要有“二”。假如我们的手是和马蹄一样的，伸出来只能表示“二”，我们当然只能利用二进法记数。但二进法记数，实在有点滑稽。第一，我们既只能知道二，记起数来就不能有三位；第二，在个位满二就得记成上一位的一。这么一来，我们除了写一个“1”来记一，写一个“1”后面跟上一个零来记“二”，并排写两个“1”来记“三”，再没有什么能力了，数的世界不是仍然很简单吗？

若是我们还知道“三”，自然可以用三进法而且用三位记数，那我们可记的数便有二十六个：

1…一

2…二

10…三

11…四

12…五

20…六

21…七

22…八

100…九

101…十

102…十一

110…十二

111…十三

112…十四

120…十五

121…十六

122…十七

200…十八

201…十九

202…二十

210…二十一

211…二十二

212…二十三

220…二十四

221…二十五

222…二十六

由三而四，用四进法，四位数，我们可记的数，便有二百五十五个，数的世界便比较繁荣了。但事实上，我们并不曾找到过用二进法、三进法或四进法记数的事例。这个理由自然容易说明，数是抽象的，实际运用的时候，需要具体的东西来表出，然而无论“近取诸身”，还是“远取诸物”，不多不少恰好可以表示，而且易于取用的东西实在没有。我们对于数的辨认从附属在自家身上的东西开始，当然更是轻而易举。于是，我们首先就会注意到手。一只手有五个指头，五进法便应运而生了。就是在所谓二十世纪的现在，我们从“野蛮”人——其实世上本无所谓野蛮，只是他们的生活不需要如我们所有的文化罢了——中还可以见到五进记数法的事实。本来五进记数法，用到五位，已可记出三千一百二十四个数，不用说生活简单的“野蛮”人已很够用，就是在我们日常生活中，三千以上的数也不大用到，不是吗？一块洋钱兑三百一十二个铜元，也不过是三千一百二十个小钱，而用大单位将数记小来，这点聪明，我们是已有的了。你闭着眼睛想一想，你在日常生活中所用得到的数，有多少是千以上的？

既知道用一只手的五个指头表数，因而产生五进记数法，进一步产生十进记数法，这在我们的老祖宗们大约不会碰到什么很大的艰难困苦的。两只手是上帝造人的时候就安排好的呀！

既可以用十个手指头表示数，因而产生十进法，两只脚也有十个指头，为什么不会一股脑儿用进去产生二十进法呢？

二十进法是有的，现时在热带上生活的人们，就有这种办法，这种办法只存在于热带，很明白地是因为那里的人赤着脚的缘故。像我们终年穿着袜儿的人，使用脚指头自然不便当了，这就是十进记数法能够征服我们的缘故。倘若我们能够像近年来暑天中的“摩登狗儿”一般赤着脚走，我敢预言若干年后一定会来一次记数革命。

二十进法，不但在现时热带地方可以找到，从各国的数字中也可以得到很好的例子。如法国人，二十叫vingt；八十叫quatre-vingts，便是四个二十，而九十叫quatre-vingt-dix，便是四个二十加一十，这都是现在通用的。至于古代，还有six-vingts，六个二十叫一百二十；quinze-vingts，十五个二十叫三百；这些都是二十进法的遗迹。又如意大利的数字，二十叫venti，这和三十trenta、四十quaranta、五十cinquanta也有着显然的区别：第一，三十、四十、五十等都是从三tre、四quattro、五cinque等来的，而二十却与二due无关系；第二，三十、四十、五十等的收声都是ta，而二十的收声却是ti。由这些比较也可以看出在意大利也有二十进法的痕迹。

五进法、十进法、二十进法都可用指头来说明它们的起源，但我们现在还使用着的数中，却有一种十二进法，不能一例看待。铅笔一打是十二支；肥皂一打是十二块；一尺有十二寸；重量的一磅有十二两；货币的一先令有十二便士；乃至于一年有十二个月；一日是十二时辰；西洋各国虽用二十四小时，但钟表上还只用十二——这些都是实际上用到的。再将各国的数字构造比较一下，更显然地看出十二进法的痕迹，且先将英、法、德、意四国从一到十九，十九个数抄在下面：

英 one two three four five six seven eight nine ten eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen

法 un deux trios guatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize dix-sept dix-huit dix-neuf

德 eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn elf zw?lf dreizehn vierzehn fünfzehn sechzehn siebzehn achtzehn neunzehn

意 uno due tre quattro cinque sei sette otto nove dieci undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove

将这四种数字比较一下，可以看出几个事实：

（1）在英文从一到十二，这十二个数字是独立的，十三以后才有一个划一的构成法，但这构成法和二十以后的数的不同。

（2）在法文，从一到十，这十个字是独立的。十一到十六是一种构成法，十七以后又是一种构成法，这构成法却和二十以后的数的相同。

（3）德文和英文一样。

（4）意文和法文一样。

原来就言语的系统说，法、意同属于意大利系，而英、德同属于日耳曼系，渊源本不相同。语言原可说是生活的产儿，由此我们可看出欧洲人古代所用的记数法有不少的差别，十进法、十二进法、二十进法，也许还有十六进法——中国不是也有十六两为一斤吗？倘使我们再能将其他各国的数字来比较，我想一定还可以发现这几种进位法的痕迹。

所以，倘若我们有十二个手指头的话，采用十二进法一定是必然的，就已成的习惯看来，十进法已统一了“文明”人的世界，而十二进法还可以偏安，那么十二进法一定有它非存在不可的原因。这原因是什么？依我的假想是从天文上来的，而和圆周的分割有关系。法国大革命后改用米突制[30]，所有度量衡，乃至于圆弧都改用十进法。但度量衡法，虽经各国采用，认为极配胃口，而圆弧法还是敌不过含有十二进位的六十分法。这就可以看出十二进法有存在的必要。（详细地解说，这里不讲，我还想写一篇关于各种单位的起源的话，在那里再说。）天文在人类文化中是出现很早的，这因为在自然界中昼夜寒暑的变化，最使人类惊异，又和人类的生活关系最密切的缘故。所以倘使我们有十二个手指头，采用十二进法记数，那一定没有十进法记数偏安的余地，我们的数的世界才能真正地定于一。