考试要点剖析

??　反常积分的本质：对定积分两类条件的破坏.

一、了解反常积分的概念，会计算反常积分.

1.　无穷区间上的反常积分

设函数

f(x)在区间

[a,+∞)上连续，称

∫+∞af(x)dx=limx→+∞∫baf(x)dx为

f(x)在区间

[a,+∞)上的反常积分，若

limt→+∞∫taf(x)dx存在，则称反常积分

∫+∞af(x)dx收敛；否则称

∫+∞af(x)dx发散.

类似地，可定义

∫b-∞f(x)dx=limt→-∞∫btf(x)dx.

设函数

f(x)在区间

(-∞,+∞)上连续，若反常积分

∫c-∞f(x)dx与

∫+∞cf(x)dx都收敛，则称反常积分

∫+∞-∞f(x)dx收敛，记为

∫+∞-∞f(x)dx=∫c-∞f(x)dx+∫+∞cf(x)dx.

【方法运用点拨】

1）　反常积分的计算方法：先求定积分，再求极限.

2）　若

F′(x)=f(x)，则

∫+∞af(x)dx=F(x)+∞a=limx→+∞F(x)-F(a)；

∫b-∞f(x)dx=F(x)b-∞=F(b)-limx→-∞F(x)；

∫+∞-∞f(x)dx=F(x)+∞-∞=limx→+∞F(x)-limx→-∞F(x).

3）

∫+∞0e-x2dx=π2，∫+∞-∞e-x2dx=π.（记住即可）

【例5.4】证明∫+∞adxxp（a0)当

p1时收敛，

p≤1时发散.

【证明】当p=1时，∫+∞adxxp=∫+∞adxx=lnx+∞a=+∞.

当p≠1时，∫+∞adxxp=x1－p1－p+∞a=+∞=+∞,p1.

综上，当

p1时该反常积分收敛，其值为a1－pp－1；当

p≤1时该反常积分发散.

【评注】本例的特殊情况是:对∫+∞11xpdx，当p1时，收敛；当p≤1时，发散.考生可记住此结论，方便以后的计算.

2.　无界函数的反常积分

设

f(x)在区间

(a,b]上连续，且

limx→a+f(x)=∞.称

∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx为

f(x)在区间

(a,b]上的反常积分，若

limε→0+∫ba+εf(x)dx存在，则称反常积分

∫baf(x)dx收敛.否则称反常积分

∫baf(x)dx发散.

类似地，若

f(x)在区间

[a,b)上连续，且

limx→b-f(x)dx=∞

，则可定义

∫baf(x)=limε→0+∫b-εaf(x)dx.

设

f(x)在区间

[a,c)∪(c,b]上连续，且

limx→cf(x)=∞，若

∫caf(x)dx和

∫bcf(x)dx都收敛，则反常积分

∫baf(x)dx收敛，记为

∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx，否则

∫baf(x)dx发散.

【方法运用点拨】

1）　计算方法：先求定积分，再求极限，关键是要找出积分区间内的无穷间断点.

【例5.5】证明∫badx（x－a)q当0