考试要点剖析

一、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,会进行函数记号的运算.掌握基本初等函数的性质及其图形;了解初等函数的概念.

1.　函数的定义

设x和y是两个变量,D是一个给定的数集.如果对于每个数x∈D,变量y∈R按照一定法则,总有唯一确定的数值y和它对应,则称y是x的函数,记为y=f(x).

其中f称为对应法则,D称定义域,R称值域.(表示法有公式法、表格法、图形法等)

【概念理解点拨】

1)　定义域D是给定的,对任给一个x∈D值,只有唯一的y的值与之对应.

2)　函数的两个要素:定义域和对应法则(预先给定的),与用什么字母表示无关.

3)　对于两个给定的函数当且仅当两个函数定义域和对应法则都对应相等才能说两个函数相等.

4)　求函数f(x)的定义域,就是求使y的取值和运算有意义的自变量x的取值范围.

【例1.1】已知f(lnx)=1+x2，求f(x).

【分析】一般来说，遇到抽象的复合函数往往都是先做变量代换，再利用函数与用什么字母表示无关来做.

【详解】令lnx=t,则x=et,所以f(t)=1+e2t,即f(x)=1+e2x,x∈R.

2.　函数的分类

(1)　基本初等函数

1)　幂函数:y=xμμ∈R;2)　指数函数y=ax(a0且a≠1);

3)　对数函数:y=logxa(a0且a≠1);4)　三角函数:y=sinx,y=cosx,y=tanx等;

5)　反三角函数:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等.

【评注】基本初等函数定义域、值域、性质和图形必须牢记.

(2)　反函数：设函数y=f(x)的值域为Dy,如果对于Dy中任一y值,从关系式y=f(x)中可确定唯一的x值,则此时按照函数的定义,也确定了x是y的函数,称此函数为y=f(x)的反函数,记为x=f－1(y).习惯上也称y=f－1(x)是y=f(x)的反函数.

【概念理解点拨】

1)　单调函数存在反函数.

2)　反函数y=f－1(x)与y=f(x)有相同的单调性.

3)　同一直角坐标系下,函数y=f(x)的图像与其反函数y=f－1(x)的图像关于y=x对称.

4)　f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x.

(3)　复合函数：设函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=φ(x)的值域为Zφ,若集合Df与Zφ的交集非空,称函数y=f［φ(x)］为函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的复合函数,u为中间变量.

【评注】

1)　函数复合的条件：Df∩Zφ≠??;

2)　对复合函数,重要的是会把它分解,即知道它是由哪些“简单”函数复合的.重点掌握函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合.

【方法运用点拨】分解原则:由外向内一层一层地“剥”，每剥一层一般为一个基本初等函数，只有最后一层可能不为基本初等函数.

(4)　初等函数：基本初等函数经有限次的四则运算、复合运算所得到的可以用一个解析式表示的函数称为初等函数.

(5)　分段函数：在定义域内不能用同一个式子表示的函数.

常见形式有f(x)=f1(x),x≥x0

f2(x),xx0

a,x=x0

f2(x),x0

0,x=0

－1,x0　??　f(x)改为f′(x)≥0，且使f′(x)=0的点（驻点）只有有限个，则结论仍成立.即导数大于零的函数一定单调递增，但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零，其导数也可能等于零，如y=x3在x∈(－∞,+∞)单调递增，但有y′|x=0=0.

2)　判断抽象的函数的单调性,在考试时尽量采用举反例排除法.

??　单调性在考研中的重要应用

1)　不等式证明;

2)　方程根的讨论.

(3)　周期性:对函数y=f(x),若存在常数T0,有f(x+T)=f(x),称函数y=f(x)为周期函数,T称为f(x)的周期.

【方法运用点拨】

??　判定方法:

1)　定义法:计算f（x+T)=…=f(x),则f(x)是以T为周期的函数;

2)　可导的周期函数其导函数为周期函数,且周期不变;

3)　周期函数的原函数不一定是周期函数.

??　常见周期函数及其周期

y=sinx,y=cosx.其周期T=2π;

y=tanx,y=cotx,y=|sinx|,y=|cosx|.其周期T=π.

(4)　有界性:设函数y=f(x)在数集X上有定义,若存在正数M,使得对于每一个x∈X,都有|f(x)|≤M成立,称f(x)在X上有界,否则,即这样的M不存在,称f(x)在X上无界.即对任何M0,总存在x0∈X,使|f(x0)|M.若将绝对值符号去掉，当有f(x)≤M，称为f(x)有上界，有f(x)≥－M，称为f(x)有下界.

【概念理解点拨】判定方法:

1)　定义:设法找M;

2)　f(x)在［a,b］上连续　??　f(x)在［a,b］上有界;

3)　f(x)在(a,b)上连续,且limx→a+f(x)和limx→b－f(x)存在　??　f(x)在(a,b)上有界.

【评注】

1)　有界性与区间有关.

2)　函数f(x)在I上有界的充要条件是f(x)在I上既有上界又有下界.

3)　区分无界函数和无穷大：无穷大一定无界，但无界未必无穷大.

4)　若函数y=f(x)在区间I上有界,则其导函数和原函数在区间I上未必有界

5)　常见的有界函数.

|sinx|≤1,|cosx|≤1,x∈(－∞,+∞);

|arctanx|