例7.5.1某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的贮量问题，已知在正常的冬季气温条件要耗煤15吨，在较暖与较冷的气温条件要消耗10吨和20吨，假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为10元、15元和20元，又设秋季时煤价为每吨10元，在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季贮煤多少吨，能使单位的支出最少？
解：这一贮量问题，可以看成是一个对策问题，把采购员当作局中人，他有三个策略，在秋天时买10吨、15吨与20吨，分别论为α1、α2、α3.
把大自然看作局中人II（可以当作理智的局中人来处理），大自然（冬季气温）有三种策略，出现较暖的、正常的、与较冷的各季，分别记为β1、β2、β3.
现在把该单位冬季取暖用煤实际费用（即秋季时的购煤费用与冬季不够时再补购的费用总和，作为局中人I的赢得，赢得矩阵如下
β1（较暖）β2（正常）β3（较冷）min〖１〗
α1（10顿）-100-175-300-300〖1〗
α2（15顿）-150-150-250-250〖1〗
α3（20顿）-200-200-200-200〖1〗
max-100-150-200
maxi（minjaij）=minj（maxiaij）=a33=-200
故对策解为（α3，β3），即秋季贮煤20吨合理.
例7.5.2（齐王赛马）战国时期，齐王要与大将田忌赛马，双方约定：从自己的上、中、下三个等级的马中各选出一匹进行比赛.每次比赛输者要付给赢者千金.就同等级的马而言，齐王的马都比田忌的强，他们俩人的策略集合都是，{（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、上、中）、（下、中、上）}并且可以知道，在每一局比赛结束时，齐王和田忌任何一方赢得的千金数恰是对方输丢的千金数.可见这是两人有限零和对策.即矩阵对策.
下表列出齐王在各种局势下赢得千金的数值，（表中-1表齐王输一千金）.
齐王得千
金数田忌
策略
齐王策略β1
（上、中、
下）β2
（上、下、
中）β3
（中、上、
下）β4
（中、下、
上）β5
（下、中、
上）β6
（下、上、
中）
α1（上、中、下）
α2（上、下、中）
α3（中、上、下）
α4（中、下、上）
α5（下、中、上）
α6（下、上、中）3
1
1
-1
1
11
3
-1
1
1
11
1
3
1
-1
11
1
1
3
1
-11
-1
1
1
3
1-1
1
1
1
1
3
用矩阵形式表示A=
31111-1
1311-11
1-13111
-111311
11-1131
111-113称作齐王的赢得矩阵
可以算出
β1β2β3β4β5β6min
α1
α2
α3
α4
α5
α6
31111-1
1311-11
1-13111
-111311
11-1131
111-113-1
-1
-1
-1
-1
-1
max333333
maxj（minjaij）=-1≠
minj
（maxjaij）=3
故知在齐王赛马的对策中，双方都没有最优纯策略.
设齐王和田忌的最优混合策略为
X*=（x*1,x*2,x*3,x*4,x*5,x*6）T
Y*=（y*1,y*2,y*3,y*4,y*5,y*6）T
从矩阵A的元素来看，每个局中个选取每个纯策略的可能性都是存在的，故可事先假定x*i≥0,y*j≥0，i=1,2,…6,j=1,2,…,6
于是求解线性分程组
3x1+x2+x3-x4+x5+x6=v
x1+3x2-x3+x4+x5+x6=v
x1+x2+3x3+x4-x5+x6=v
x1+x2+x3+3x4+x5-x6=v
x1-x2+x3+x4+3x5+x6=v
-x1+x2+x3+x4+x5+3x6=v
x1+x2+x3+x4+x5+x6=1
和
3y1+y2+y3+y4+y5-y6=v
y1+3y2+y3+y4-y5+y6=v
y1-y2+3y3+y4+y5+y6=v
-y1+y2+y3+3y4+y5+y6=v
y1+y2-y3+y4+3y5+y6=v
y1+y2+y3-y4+y5+3y6=v
y1+y2+y3+y4+y5+y6=1
得到xi=1/6i=1,2,…,6
yj=1/6j=1,2,…,6
V=1
故齐王和田忌的最优混合策略为：
X*=（1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6）T
Y*=（1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6）T
对策的值齐王的期望赢得为VG=1.
这与我们的设想相符，即双方都以1/6的概率选取每个纯策略或者说每个纯策略的被选取的机会应是均等的，则总的结局应该是：齐王有5/6的机会赢田忌，赢得的期望值是1千金.但是齐王在每出一匹马前将自己的选择告诉了对方，这实际上等于公开了自己的策略，如齐王选出马次序号（上、中、下），则田忌根据谋士的取建立便以（下、上、中）对立，结果田忌反而可得千金.因此，在矩阵对策不存在鞍点时，竞争的双方在开马前，均应对自己的策略（实际上是纯策略）加以保密，否则不保密的一方是要吃亏的.
例7.5.3有一种游戏：任意掷一个硬币，先将出现是正面或反面的结果告诉甲.甲有两种选择：（1） 认输，付给乙一元；（2） 打赌，只要甲认输，这一局就终止重来.当甲打赌时，乙也有两种选择：（1） 认输，付给甲一元；（2） 较真，在乙较真时，如钱币掷的是正面时，乙输给甲二元，如钱币是反面，甲输给乙两元.试建立甲方的赢得矩阵，求对策值及双方各自的最优策略.
解：甲有四种纯策略，（1） 均认输，（2） 均打赌，（3） 正面认输，反面打赌，（4） 正面打赌，反面认输，乙有两种纯策略，（1） 较真，（2） 认输，甲的赢得矩阵
A=-1-1
01
-320
120，
A1=01
120，甲的赢得期望E=x2（1-y1）+12y1（1-x2）=-16（3x2-1）（3y1-2）+13，解得x2=13，y2=23，所以，x*=0,13,0,23是甲的最优策略，y=23,13是乙的最优策略.v=13.
习题七
1. 某商店准备在新年前订购一批挂历批发出售，已知每售出一批（100本）可获利80元.如果挂历在新年前售不出去，则每100本损失40元.根据以往销售经验，该商店售出挂历的数量如下表所示.
销售量/百本012345
概率0.050.100.250.350.150.10
如果该商店对挂历只能提出一次定货，问应定几百本，使期望的获利数为最大.
2. 若某商品单位成本是5元，每天保管费是成本的1%，每次订购费是10元，已知对该商品的需求是100件/天，不允许缺货.假设该商品的进货可以随时实现，问应怎样组织进货，才能最经济.
3. 求解矩阵对策A=32030
50259
73959
46875.5
60883
4. A,B两人各有1角、5分和1分的硬币各一枚,在双方互不知道情况下各出一枚,并规定和数为奇数时,A赢得B所出硬币;当和为偶数时,B赢得A所出硬币,试据此列出二人零和对策的模型,并说明该项游戏对双方是否公平合理?
5. 任放一张红牌或黑牌,让A看但不让A知道.如为红牌,A可掷一枚硬币让B猜,掷硬币出现正反面的概率各为1/2,如出现正面,A赢得p元,出现反面,A赢得q元;若让B猜,B猜红,A输r元,猜黑A赢s元.如为黑牌,A只能让B猜,如猜红,A赢t元,如猜黑,A输u元.试列出A的赢得矩阵.
6. 已知A、B两人对策时,A的赢得矩阵如下,求双方各自的最优策略及对策值.
① 214
203
-1-20
② 9-63
564
743
③ 2-103
1032
-3-2-14
第八章数学建模软件
第八章数学建模软件
数学建模软件主要有Excel、MATLAB、Lingo、SPSS软件.