1.　问题的提出

在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在.两个弱肉强食的种群，其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？

2.　模型假设

以x1(t)、x2(t)表示处于弱肉强食关系中甲、乙二种群在时刻t的数量，

(1)　甲种群只以乙种群为食物资源，a1,b1为两个折算因子，分别表示一个单位数量的甲物种维持其正常生存需占用的资源量、一个单位数量的乙物种为甲种群提供的资源量；甲种群数量的增长率x′1(t)与该种群数量x1(t)成正比，同时也与有闲资源s1(t)成正比.r1表示甲种群的固有增长率；

(2)　乙种群可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”，a2表示一个单位数量的乙物种维持其正常生存需占用的资源量，N2=1/a2表示乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量.乙种群数量的增长率x2′(t)可以分解为两部分考虑：其一，不考虑甲种群的影响，乙种群自由发展，其增长率与该种群数量x2(t)成正比，同时也与有闲资源s2(t)成正比，r2表示甲种群的固有增长率；其二，由于被甲种群捕食造成乙种群增长的负面影响，称这一部分为被捕杀率，它与甲乙两个种群的数量均正相关，这里简单地设为服从正比例关系，比例系数取为r2·b2.

3.　模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

x′1=r1x1s1

x′2=r2·x2·s2－r2b2·x1·x2

s1=－a1x1+b1x2

s2=1－a2x2

经化简，得：

x′1=r1·x1·(－a1·x1+b1·x2)

x′2=r2·x2·(1－b2·x1－a2·x2)

4.　模型求解

与前面两节一样，令模型方程的右端项：

r1·x1·(－a1·x1+b1·x2)=0

r2·x2·(1－b2·x1－a2·x2)=0，

解之，得该模型的三个平衡点：

P1(0,0)、P2(0,N2=1/a2)、P3b1a1a2+b1b2,a1a1a2+b1b2.

类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点Pi(i=1,2)均不稳定；

下面我们讨论平衡点P3b1a1a2+b1b2,a1a1a2+b1b2的稳定性，为此，将微分方程

x′1=r1·x1·(－a1·x1+b1·x2)

x′2=r2·x2·(1－b2·x1－a2·x2)

的右端项以其在P3的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统：

x′1=－r1a1b1a1a2+b1b2·x1－b1a1a2+b1b2+r1b21a1a2+b1b2·x2－a1a1a2+b1b2

x′2=－r2a1b2a1a2+b1b2·x1－b1a1a2+b1b2+r1a1a2a1a2+b1b2·x2－a1a1a2+b1b2

此时系数矩阵

A=－r1a1b1a1a2+b1b2r1b21a1a2+bab2

－r2a1b2a1a2+b1b2r1a1a2a1a2+b1b2，

从而求得，

p=－Tr(A)=r1a1b1+r2a1b2a1a2+b1b20，

q=|A|=r1r2a1b2a1a2+b1b20，

故平衡点P3是稳定的.此时，甲、乙两种群将共同存在下去，种群量一般将逐渐趋于平衡状态.

5.　模型点评

本节与前面两节介绍了三个生态学模型，尽管所处理的对象均为多（二）种群系统，但其基本假设，比如对其中的每一个种群数量变化的影响，除了在“弱肉强食”模型中的被捕食者外，均只考虑了其自身数量与有闲资源两个要素，这和人口的阻滞增长模型的讨论是一致的.