17-1 贝叶斯推理中经常使用的连续型分布——“贝塔分布”
在我们之前介绍的贝叶斯推理中，为实现先验分布而设定的类别是有限的。例如，第1讲中，关于顾客购买商品的推理，分为“来买东西的人”和“随便逛逛的人”两类；第2讲中，癌症检查的结果，分为“癌症”和“健康”两类；第4讲中关于第二胎性别的案例，分为“生女孩的概率为0.4的夫妇”、“生女孩的概率为0.5的夫妇”、“生女孩的概率为0.6的夫妇”这三类。
像上述这样，在有限的类别中进行贝叶斯推理的情况并不少见，但也有很多时候，必须要分为无限个连续的类别才行。例如，第4讲中关于第二胎性别的案例，如果把“生女孩”的概率p仅仅设定为0.4、0.5、0.6这三种的话，显然是不够的。毫无疑问，在这个案例中，概率p的取值范围应该为0≤p≤1。那么，因为类别总共有连续的无限个，所以在设定先验概率时，需要设置为连续型概率分布。
本讲将介绍贝叶斯推理中出现频率很高的“贝塔分布”。理解“贝塔分布”，需要用到微分、积分等难度较大的数学知识，而本书在讲解时会尽量避免这种方式，而是采用直观的图解方法来进行说明。
17-2 何为“贝塔分布”
首先介绍“贝塔分布”这一概率分布的概念。从计算公式入手来看：横轴x代表基本事件的数值，纵轴y代表概率的密度。上一讲中已经讲过，概率密度是指“乘以区间的长度后可以转化为概率的量”。
贝塔分布可以用以下公式来表达：
y＝（常数）×xα-1（1-x）β-1 （0≤x≤1） …（1）
出现在指数部分α和β，应为大于1的自然数，它用来决定贝塔分布的种类。换言之，如果赋予α和β具体的数值，就能够决定一次贝塔分布。当α、β为较小的数值时，贝塔分布的图表为相对简单的模型；反之，当α、β为较大的数值时，贝塔分布的图表则为比较复杂的模型。另外，写着“常数”的部分，是为了使标准化条件（所有事件的概率之和为1）成立，而进行了调整的数值，因此在贝叶斯推理中并不是那么的重要。
接下来，我们通过几个例来理解。
例1：α＝1，β＝1时，
x0＝1，也就是“任何非零数的零次幂为1”。（1）式为
y＝（常数）×x0（1-x）0＝（常数）×1×1＝（常数）（0≤x≤1）
y＝（常数）的图像是一条与x轴平行的线段，这与上一讲中的［0，1］-赌盘模型相一致。并且，从标准化条件来考虑的话，（常数）必须为1。于是也可以用以下的（2）式来表达（图表17-1）。
y＝1 （0≤x≤1） …（2）
例2：α＝2，β＝1时，
根据上面的（1）式，
y＝（常数）×x1（1-x）0 （0≤x≤1）
可以得出：
y＝（常数）x （0≤x≤1） …（3）
为一次函数，如图表17-2所示，函数的图像为一条向右上方延伸的线段。这里（常数）＝2，原因将会在17-4中予以说明。
例3：α＝1，β＝2时，
根据上面的（1）式，
y＝（常数）×x0（1-x）1 （0≤x≤1）
可以得出：
y＝（常数）（1-x）（0≤x≤1） …（4）
同样为一次函数，如图表17-4所示，函数的图像为一条向右下方延伸的线段。这里（常数）＝2，原因将会在17-5节中予以说明。
例4：α＝2，β＝2时，
根据上面的（1）式，
y＝（常数）×x1（1-x）1 （0≤x≤1）
可以得出：
y＝（常数）×x（1-x）（0≤x≤1） …（5）
为二次函数，如图表17-5所示，函数的图像为抛物线的一部分。这里（常数）＝6，原因将会在17-6节中予以说明。
接下来，将对这些例子逐一进行详细说明。
17-3 α＝1，β＝1的例子即为［0，1］-赌盘模型
17-2中已经解说过，α＝1、β＝1时的贝塔分布，也就是是［0，1］-赌盘模型（均匀分布的一种）。反过来可以说，［0，1］-赌盘模型是贝塔分布的一种，如图表17-1所示。
图表17-1 α＝1，β＝1的贝塔分布的概率分布图
17-4 α＝2，β＝1的例子
17-2中已经作了说明，α＝2、β＝1时的贝塔分布为一次函数，即：
y＝（常数）x （0≤x≤1） …（3）
如图表17-2所示，函数的图像是一条穿过原点并向右上方延伸的线段。在概率分布图中，由于概率通过面积体现，所有事件的概率p（0≤x≤1）与三角形OAB的面积相一致。那么，基于标准化条件来考虑，该面积必须为1。而三角形的面积＝（底边）×（高）÷2，那么，底边为1，则高为2。也就是说，x＝1时，y＝2。因此，在（3）式中（常数）＝2。
换言之，α＝2，β＝1的贝塔分布为：
y＝2x （0≤x≤1） …（6）
图表17-2 α＝2，β＝1时贝塔分布的概率分布图
下面通过一个例子，来帮助大家理解贝塔分布中的概率变化情况。例如，求事件{0.5≤x＜0.7}的概率p（0.5≤x＜0.7）。观察图表17-3，在概率分布图中，事件的概率通过面积来表示的，而概率p（0.5≤x＜0.7）是则为图中涂有颜色部分的梯形的面积。梯形的上底长为x＝0.5时的y，则y＝2×0.5＝1。梯形的下底长为x＝0.7时的y，则y＝2×0.7＝1.4。之前已经讲过，这个并非概率，而是一个被称为概率密度的量。此外，梯形的高度为0.7-0.5＝0.2。因此可以求出梯形的面积为：（1＋1.4）×0.2÷2＝0.24。也就是说，我们可以求出事件{0.5≤x＜0.7}的概率为：
p（0.5≤x＜0.7）＝0.24
图表17-3 贝塔分布y＝2x时的概率
17-5 α＝1，β＝2的例子
如17-2中所述，α＝1、β＝2时的贝塔分布为以下一次函数：
y＝（常数）（1-x）（0≤x≤1） …（4）
如图表17-4所示，函数的图像是一条穿过A（0，2），并向右下方延伸的线段。在概率分布图中，由于概率通过面积来表示，故所有事件的概率p（0≤x≤1）是与三角形OAB的面积相一致的。基于标准化条件来考虑，该面积必须为1。由于底边为1，故高为2。也就是说，当x＝0时，y＝2。因此，在（4）式中（常数）＝2。换言之，α＝1，β＝2的贝塔分布为：
y＝2（1-x）（0≤x≤1） …（7）
图表17-4 α＝1，β＝2的贝塔分布的概率分布图
17-6 α＝2，β＝2的例子
17-2中已经讲过，当α＝2、β＝2时，贝塔分布为以下二次函数：
y＝（常数）×x（1-x）（0≤x≤1） …（5）
如图表17-5所示，图像为抛物线（二次函数图像）的一部分。在概率分布图中，由于概率通过面积来表示，故所有事件的概率p（0≤x≤1）与抛物线和x轴围成的图形面积是一致的。基于标准化条件来考虑，由于该面积必须为1，那么用积分方法来计算面积，决定了在（5）式中（常数）＝6。换言之，α＝2、β＝2的贝塔分布为
y＝6x（1-x）（0≤x≤1） …（8）
在该概率分布中，若要计算出事件{0.5≤x＜0.7}的概率p（0.5≤x＜0.7），只需计算出图中涂有颜色部分的面积即可。但由于它是一个曲线图形，因此必须使用积分运算，用数学公式来表达，即为：
对于初学者来说，贝叶斯推理有着相当的难度的原因：即使在入门部分，也需要用到微积分的思考方式。当然，在标准的统计学（内曼－皮尔逊统计学）中，微积分的运用也是不可缺少的。不过，一般情况我们需要的推理，不一定会用到微积分，而大部分教科书也是采用的这种写法。另一个原因，在本书的后文部分也会涉及：在贝叶斯推理中，即便是入门阶段也不可避免地需要用到微积分。为此，本书选取了一个折中的方案：对概率密度函数进行解说，但不会涉及更深入的微分概念；此外，会针对概率分布图中，概率即面积这一问题进行解说，但也会省略掉如何具体运用积分理论计算面积的过程。总之，会在最大程度上避免涉及太多的微积分概念。
图表17-5 α＝2，β＝2的贝塔分布的概率分布图
17-7 在贝塔分布中，若α、β增大，情况就会变得复杂
截至上一节，我们所讨论过的贝塔分布的例子中，α、β均不大于2，因而图形也相对简单。而如果α、β均大于2，那么就会形成我们不大熟悉的图形。下面，列举一个α、β的数值均比较大的例子，如α＝4、β＝3时的贝塔分布。
y＝60x3（1-x）2 （0≤x≤1） …（9）
如图表17-6所示。
图表17-6 α＝4、β＝3的贝塔分布的概率分布图
第17讲·小结
1．贝塔分布，是x的取幂和（1-x）的取幂相乘的形式。
2．在x的0次幂和（1-x）的0次幂的情况下，与均匀分布相一致。
3．在x的1次幂和（1-x）的0次幂、x的0次幂和（1-x）的1次幂的情况下，概率分布图为线段。
4．在x的1次幂和（1-x）的1次幂的情况下，概率分布图为抛物线。
5．常数是由标准化条件（面积之和为1）决定的。
练习题
答案参见此处
当α＝3、β＝2时，贝塔分布的概率密度表示如下：
y＝12x2（1-x）
此时，计算以下关于x的概率密度。
（3）x＝1的概率密度