16-1 到达到实用水平，需要“概率分布图”和“期待值”

截至上一讲，我们已经完成了对于贝叶斯推理的基本技巧、以及运用常见的概率记号对其进行描述的知识点进行了解说。至此，进行简单设定的推理已经完全不成问题。但如果要对于稍微复杂的设定进行推理、或是进行通用性推理的话，之前所介绍的方法就略显不足了。

对于稍微复杂的设定进行推理、以及进行通用性推理时，需要了解“概率分布图”和“期待值”相关的知识，尤其是在连续性概率分布这种基本事件无限多的情况下，以上背景知识更是不可缺少的。我们从本讲开始学习这个知识点。而在后面几讲中，将会对贝叶斯推理中最有代表性、重要的“贝塔分布”和“正态分布”进行解说。在本讲中，首先为大家解说贝塔分布的出发点——“均匀分布”的相关内容。

16-2 思考“同样的可能”型的概率模型

想象一下抛硬币和掷骰子试验的常规概率模型，就很容易理解“均匀分布”的概念了。

正如第14讲中解说的那样，概率模型是根据基本事件和对其概率的分配来进行定义的。以抛硬币为例，其基本事件的集合表示为：

{正面，反面}

为每个基本事件分配相同的概率，即：

这些基本事件被称为“大致相同”。也就是说，可以把“正面”和“反面”设定为基本相同的情况。

而在掷骰子的情况，也正如第14讲中所解说的那样，基本事件的集合可以表示为：

{1，2，3，4，5，6}

而分配概率的方法，则是把点数K出现的概率记为p（{k}），那么：

此时，6个基本事件也是“大致相同”的。

用面积图来描述抛硬币和掷骰子的概率模型，如图表16-1所示，由于可能性“大致相同”，所以长方形被分为面积相等的几份。

图表16-1 关于硬币和骰子的“大致相同”

接下来我们来设想一个新的模型——赌盘，也就是在赌场里使用的工具的概率模型。它的基本事件为整数1～36，表示为：

{1，2，3，…，35，36}

实际上，在赌场里真正使用的赌盘，每个分区用“0”或“00”等数字来标记。在这里，我们为了简单起见，把赌盘的圆周分为36等分，并用整数1～36分配给每一等份来命名。若把赌盘的概率模型也设定为“大致相同”的情况，那么理所当然地，每个点数出现的概率都是相同的，因而可以表示为：

用图来表示，如图表16-2所示。

图表16-2 赌盘上的“大致相同”

在该模型中，可以把“抽取一个满足条件1≤x≤k的整数x”的概率记为p（1≤x≤k）。由于1≤x≤k占了整体中的36分之k的比例，所以可以得出：

16-3 把“大致相同”模型转换为成连续化的“均匀分布”

赌盘的概率模型，是把整数1～36出现的概率设定为“大致相同”。而若是把这个模型扩展为（连续的）无限个基本事件，就形成了“均匀分布”的概率模型。

下面我们来想象一下这个虚构出来的赌盘：在圆周上绘制0≤x≤1范围内所有的x。之后，截取截线段中0～1之间的部分，并把它想象成车轮形状的圆形，这就是基本的“均匀分布”的概率模型。本书中，将该模型称为［0，1］-赌盘模型（该名称仅在本书成立）。

在该概率模型中，“在0≤x≤1范围的数值中，随机抽取一个x”，正对应了抛硬币随机出现“正面”或“反面”，以及掷骰子随机出现点数1～6的结果。

但该模型与之前的模型相比有着很大的差异，体现在概率的分配方式上。

如果模仿之前的抛硬币和掷骰子的例子，将0.4或0.73等x的数值作为事件，并将{0.4}或{0.73}等作为基本事件，那么，应该为其分配“大致相同”的概率。然而，对于［0，1］-赌盘模型来说，这种方法并不合适，而这又是为什么呢？

这里需要用到标准化条件的概念。在概率模型中，所有事件的概率之和为1。假设对于每一个x，都为事件{x}分配相同的概率a，由于在0≤x≤1的范围中有无数个x，那么，则必须满足以下公式：

（对于满足条件0≤x≤1的所有x，{x}的概率之和）

＝（无限个a的和）＝1

并且，如果不满足a＝0，就会出现矛盾。但如果a＝0的话，就会产生两个困难。

第一个困难：“无限个0相加等于1”的含义是什么？

第二个困难：对满足条件0≤x≤1的每个x，假设它的概率为p（{x}）＝0。那么，应该怎样计算满足条件0≤x≤0.5时，抽取出x的概率呢？

上述两个困难的难度系数都不小，那么，为了避开它们，我们需要调整之前设定概率的方式为以下方式：

在［0，1］-赌盘模型中的概率的设定

在［0，1］-赌盘模型中，t的取值范围为0＜t≤1，把［大于0且小于等于1的数值］的集合设为基本的事件。也就是说，将E＝{满足条件0≤x＜t的x}设为基本事件。之后，为事件E分配概率为p（E）＝t。最后，把事件E简略地记为（0≤x＜t），其概率p（E）简略地记为p（0≤x＜t）。

例如，若t＝0.5，那么事件{0≤x＜0.5}则表示“选取一个大于等于0且小于0.5的数值”。如果用赌盘来解释，则表示：球落在0≤x＜0.5范围内的号码中。这一范围内，能够由此做出比率占“一半”的判断。那么，如果设置其概率为0.5（＝t），也是符合“大致相同”观点的逻辑的。同理，若t＝0.7，那么事件“0≤x＜0.7”可以看作是“0≤x≤1的70％”，因而设定事件E的概率为0.7（＝t）是再自然不过的事了。如果用图表16-3这样的面积图来分析，就会发现该方法与我们一直以来掌握概率的方法，其实是一脉相承的。

图表16-3 ［0，1］-赌盘的概率

16-4 ［0，1］-赌盘模型中的一般事件的概率

根据上一节中的基本设定，在［0，1］-赌盘的概率模型中，所有必要事件的概率都能够依据“概率的加法法则”计算出来。

例如，我们可以试着在“选取0.5≤x＜0.7范围中的x”这一事件中，计算“0.5≤x＜0.7”的概率。现在，把0≤x＜0.5和0.5≤x＜0.7这两个范围合并起来，可以得到0≤x＜0.7这一取值范围。因此，根据概率的加法法则可以得出：

p（0≤x＜0.5）＋p（0.5≤x＜0.7）＝p（0≤x＜0.7）

如上一节中所设定的，由于第1项的值为0.5，第3项的值为0.7，所以第2项的值可以确定为：

P（0.5≤x＜0.7）＝0.7-0.5＝0.2

以上计算过程看似烦琐，但只要考虑到0.5≤x＜0.7这一范围，有着0.2的浮动空间，那么自然也可以认为概率就是0.2了（图表16-4）。

图表16-4 ［0，1］-赌盘模型的一般事件

［0，1］ -赌盘模型，即“从0≤x≤1的范围中，随机抽取一个数值”的模型。该模型的端点为0和1，长度为1，可以说是一个极其特殊的例子。而一般意义上的均匀分布是类似于“从2≤x＜5的范围里，随机抽取一个数值”这样的。至于这种情况，可以通过图表16-5来试着理解。

图表16-5 ［2，5］-赌盘的概率

16-5 能够用图说明复杂概率模型的“概率分布图”

均匀分布是指，由无限个数值构成的概率模型。如果只解决这个问题，那么相比于一直以所使用的长方形的图相比，也是毫不逊色的。但对于同样的连续无限型概率模型，在后文将要解说的贝塔分布和正态分布等情况下，如果使用长方形的图解进行说明，会难于理解。那么，在这里，我们用图示来解析概率模型，不再使用长方形的面积图，而是通过其他方法，也就是概率分布图。

概率分布图是指，在“横轴上设定表示事件的数值、在纵轴上设定概率”的图表。

图表16-6 骰子的概率分布图

通过观察图表，我们能够从视觉上对各事件的概率进行计算。例如，出现2≤x≤4的点数的概率，也就是2～4这3根柱子的高度之和，为：

接下来要做的是，描绘均匀分布的［0，1］-赌盘模型的概率分布图。该图为6根柱子组成的骰子的概率分布图，需要注意的是，虽然我们可以把它想象成由无限个细微的部分组成，但实际上还是有所差异的（图表16-7）。

首先，横轴上排列着无数个满足条件0≤x≤1的数值x。因此，图表只存在于0≤x≤1这一取值范围之内，横线AB的高度为1。这里需要注意的是，“高度1”所指的并非抽取到各个x的“概率”。实际上，正如方才解说的那样，对应各个x的整合性的概率值只有0，如果为1会很奇怪。例如，在x＝0.5时，纵向线段CD的长度1，而这并不是抽取到0.5的概率。

图表16-7 均匀分布的概率分布图

在诸如均匀分布这种连续型概率模型中，用来表示的概率并不是“高度”，而是“面积”。如果考虑面积的话，那么CD只是一条线段，面积为0，这样想就符合了整合性的要求。

例如，基本事件{0.5≤x＜0.7}的概率，也就是图表16-8中涂有颜色的长方形的面积。该长方形的横为0.2，纵为1，因此面积为0.2×1＝0.2，这与上一节中所解说的基本事件{0.5≤x＜0.7}的概率是一致的。

图表16-8 在连续型的概率分布图中，用面积表示概率

用比喻性的方式来解释“概率的密度”与“概率”的关系，则就像是“速度”和“距离”之间的关系。例如，“分速10米”并不是指“距离”意义上的米，而是指瞬间的速度。从这个意义上来讲，距离为0。“分速10米”表示：如果按照当前的状态持续1分钟，将会前进10米的距离。因此，如果以分速10米前进5分钟，那么前进的距离就是10×5＝50米。也就是说，速度是根据所花费的时间，首次转化为距离的量。而概率密度的含义也大致相同，是指根据区间所占的宽度，首次转换为概率的量。

第16讲·小结

1．抛硬币或掷骰子的试验，是各个数被设定为“大致相同”的概率模型。

2．在［0，1］-赌盘模型中，0≤x≤1的数值被设定为“大致相同”。

3．［0，1］-赌盘模型是均匀分布的概率模型，它的基础是事件{0≤x＜t}所占有的区间。

4．设定事件{0≤x＜t}的概率p（{0≤x＜t）为宽度t。

5．概率分布图是指，设定横轴为数值、纵轴为概率的图表。在连续型的情况下，纵轴则不用来表示概率本身，而是概率的密度。

6．均匀分布的概率分布图为水平直线（线段）。事件的概率就是长方形的面积。

7．在均匀分布中，（概率）＝（概率密度）×（区间的长度）

练习题

答案参见此处

运用［0，1］-赌盘模型，计算以下概率。

（1）p（0.2≤x＜0.7）＝（）

（2）p（（0.1≤x＜0.4）or（0.5≤x＜0.9））＝（）

（3）p（（0.3≤x＜0.7）与（0.4≤x＜0.8）的重叠部分）＝（）