10-1 运用多项信息进行贝叶斯推理

在前面几讲中的案例，在运用贝叶斯推理时，都只是获取到了一项信息。例如，第1讲中，面前的顾客会/不会上前询问；第2讲中，只有1种癌症检查；第3讲中，女性同事会/不会送出巧克力；第4讲中，第一胎的性别，等等。每个案例中，最终获得的信息都只有一项。

但一般所指的“推理”需要多项信息作为辅助。因此，我们需要了解获得多项信息时的推理方法。而在已经获得多项信息的情况下进行推理时，贝叶斯推理有着十分重要的特性。接下来，会通过4讲内容（包括本讲）对于“获得多项信息时的推理”进行解释说明。

10-2 将两个试验结合起来

我们面对的每个案例，都有多个可能的结果。而为每种可能性分配各自的概率的这个现象，被称为“试验”。此前我们只是将其称为“信息”，而接下来会使用“试验”这个用语。例如，投掷一枚骰子并观察投出的点数，这就是“试验”的一种。还有，明天的天气可能会出现“晴天”“多云”“雨天”“雪天”这4种情况，而确认究竟是哪一种情况，也是一种“试验”。

当两种试验并存时，将它们结合起来，并将其看作另一项试验。接下来我们要做的是，思考可能发生的各种情况的概率。

为了方便理解，我们下面举一个人为的例子来进行说明。

第一个试验，抛一枚均匀的硬币，并总结抛出正面和反面的概率。第二个试验，掷一枚均匀的骰子，并总结掷出点数的概率。然后，把这两个试验的结果结合起来，组成第三个试验。例如，第一个试验的结果是“正面”，第二个试验的结果是点数“4”，把这两个结果组合起来，就得到了第三个试验的结果“正面＆4点”。这样的试验称为“直积试验”，结果如图表10-1所示，共有2×6＝12种情况。

图表10-1 将两个试验结合起来

如图所示，直积试验的结果用格子的形状来表示。“格子形状”的含义是：横向按照1～6的顺序排列，纵向按照正面/反面的顺序排列。像这样，将直积试验的结果用格子形状表示，有着重要的意义——使概率的计算变得简单。顺便说一下，“直积”是一个数学用语。它的含义是：用格子形状进行排列，并编成组。

10-3 用乘法运算得出独立的直积试验的概率

下面，我们针对这两个试验的独立性进行说明。

“两个试验的独立性”的含义，简单地说，就是指“两个试验的结果不会互相影响”。例如，上一节中提到的“抛硬币”的试验和“掷骰子”的试验中，硬币抛出正面的结果，不会影响掷骰子的点数；而掷骰子出现4点的结果，也不会影响硬币抛出正面还是反面。也就是说，我们可以直观感受到：“硬币的正反”和“骰子的点数”这两个结果是互相不影响的，这就是所谓的“试验的独立性”。

那么，“互相不独立的两个试验”又是什么样的呢？举一个容易理解的例子来说，“东京都明天的天气”与“神奈川县明天的天气”，不能认为这二者是“毫无关联”的吧。因为神奈川县紧邻东京都，若推测“东京都明天的天气”是“雨天”的话，那么“神奈川县明天的天气”也是“雨天”的可能性就会很高。同样，若推测“神奈川县明天的天气”为“雪天”的话，那么“东京都明天的天气”是“雪天”的可能性也会比平时要大。这样的试验在专业上被称为“从属试验”。

但是，把“试验的独立性”定义为“互不影响”或“没有关系”等方式，并不能算得上十分高明。这是因为，“一项试验对于另一项试验是否产生影响”的问题，很难用数学计算进行描述。在这里，我们将独立性定义为：“一方对另一方不产生影响”以及“直觉上认为它们有着相同意义的数学计算”，具体说明如下：

在这里，我们再一次通过之前抛硬币和掷骰子的试验进行说明。

投掷骰子的结果，出现1点或其他点数的概率均为1/6。之后，我们再来关注一下“将抛硬币和掷骰子这两个试验编为一组的直积试验”。在直积试验中，假设单独把“正面”的结果抽取出来，那么掷骰子出现各个点数的概率是多少呢？如果设定“掷出1点相对容易（概率大于1/6）”，那么，抛硬币的结果为“正面”，就会对骰子的点数产生影响。

因此，如果“正面”这一结果对于骰子的点数不会产生影响，那么，即使仅仅抽出“正面”的情况，骰子出现各个点数的概率也还是相等的。如果用格子形状的图表10-2来解释的话，即，上面一行表示结果为“正面”的6个长方形的面积（表示概率）都是相等的。同样地，下面一行表示结果为“反面”的6个长方形的面积也是相等的。

图表10-2 独立试验的面积

在这个阶段，我们还无法知晓上下两个长方形的面积是否相等。而当我们把掷骰子出现6点的情况抽取出来，并考虑到这个结果并不会对硬币抛出正面或是反面的概率产生影响，就能判断出，右侧上下的两个长方形的面积是相等的。于是，从上述的内容我们可以得知：排列成格子形状的12个长方形的面积都是相等的。

那么，用来表示各个试验（把抛硬币和掷骰子两个实验合为一组的试验）结果概率的长方形面积是多少呢？考虑到标准化条件（相加之和为1），就可以知道：每个长方形的面积都是1/12。而长方形的个数之所以是12个，原因在于抛硬币的结果共有2种情况，而掷骰子的结果共有6种情况。接下来我们可以进行以下变形：

长方形的面积

＝抛硬币的结果之一的概率×掷骰子的结果之一的概率

根据上面的计算公式，各组试验的具体情况可以表示为：

“正面＆1点”的概率＝出现“正面”的概率×出现“1点”的概率

或者“反面＆5点”的概率＝出现“反面”的概率×出现“5点”的概率，等等。

换言之，各组的概率，即为各项概率的乘积。

10-4 独立试验概率的乘法公式

本节对上述内容再作一次一般性的描述。

在上一节提到的抛硬币和掷骰子的案例中，长方形被划分为完全均等的面积。这个例子具有其特殊性，这是因为抛硬币出现“正面”或“反面”的概率是相等的，而掷骰子出现从1到6点数的概率也是相等的。接下来，我们来探讨出现各种情况的概率不等的问题，并对其进行抽象处理。

例如，第一个试验的结果共有可能出现a、b、c、d四种情况，第二个试验的结果共有可能出现x、y、z三种情况。而每种情况发生的概率各自都不一定相同。当这两个试验分别独立的情况下，直积试验可以绘制成图表10-3所示的样子。

图表10-3 两个独立试验组合而成的直积试验。

抽取其中1行进行横向观察，会发现4个长方形的面积各不相等。之后，再观察其中1列，会发现3个长方形的面积也是各不相等的。但需要注意的是，抽取其中1行进行观察时，4个长方形的面积的比例关系，与其他行是一样的；而抽取其中1列进行观察时，3个长方形的面积的比例关系，也与其他列是一样的。

抽取其中1行进行观察时，长方形面积的比例关系，也就是第一个试验中的各项结果的概率比：

（a的概率）：（b的概率）：（c的概率）：（d的概率）

而只要擦掉图表10-3的第2张图中间的横线就会明白，4个长方形可以用来表示试验的a、b、c、d四种结果的可能性。

同样地，抽取其中1列进行观察时，长方形的面积的比例关系，也就是第二个试验中的各项结果的概率比：

（x的概率）：（y的概率）：（z的概率）

而只要擦掉第3个图中间的横线就一目了然。

通过以上叙述，我们可以得知：被分割的12个长方形的横边长度按以下顺序排列为：

（a的概率）、（b的概率）、（c的概率）、（d的概率）

纵边长度按以下顺序排列为：

（x的概率）、（y的概率）、（z的概率）

在这里，需要注意的是，面积之比变成了线段长度之比，因此，

（a＆x的概率）＝（a＆x的长方形的面积）＝（a的概率）×（x的概率）

（b＆x的概率）＝（b＆z的长方形的面积）＝（b的概率）×（z的概率）

上述类别的乘法计算公式，称为“独立试验概率的乘法公式”。

第10讲·小结

1．把两个试验组合在一起的直积试验，需要把长方形分割成格子形状，并通过图来表示。

2．两个独立试验的含义是：直观来讲，一方的结果不会对另一方的结果产生影响。

3．两个试验各自独立时，下列概率乘法公式成立：{（第一个试验的结果为a、第二个试验的结果为x）的概率} ＝a的概率×x的概率

练习题

答案参见此处

投掷一大一小2个骰子，然后把概率填入括号中。

（1）{（大的为2点）＆（小的为3点）}的概率

＝{（大的为2点）的概率}×{（小的为3点）}的概率}

＝（）×（）＝（）

（2）{（大的点数为偶数）的概率}＆{（小的点数为5以上）}的概率

＝{（大的点数为偶数）的概率}×{（小的点数为5以上）的概率}

＝（）×（）＝（）