9-1 贝叶斯逆概率的悖论

在第5讲到第8讲中，我们更倾向于用哲学的角度来解释，作为概率性推理的贝叶斯推理，究竟有着怎样的理论结构。在本讲中，我会和大家谈一谈围绕着贝叶斯推理的一些悖论问题。

贝叶斯推理只是运用了大家所熟知的概率公式（高中阶段学习的知识），并不能说是一种很离奇的方法。但是，所运用到的先验概率带有主观性，从这个层面来讲，可以说贝叶斯推理能够实现一种处于数学和哲学边界线上的理论。这样说的证据是：如果在特殊设定中运用贝叶斯推理的话，便会得出与我们的常识和直觉截然相反的结果，就如同悖论一般。

因此，在本讲中会介绍关于贝叶斯推理的两个悖论，希望可以帮助大家站在与逆向思维的角度，来理解贝叶斯推理的内涵。

9-2 悖论① 蒙蒂霍尔问题

关于贝叶斯推理的悖论，最出名的当属蒙蒂霍尔问题，以下是问题设定。

蒙蒂霍尔问题

面前有A、B、C三道帘子。其中一道帘子后面停着一辆轿车作为奖品。你需要在这三道帘子中任选一道，如果揭开帘子，后面有轿车的话，那么轿车就归你所有了。而当你选择了A帘之后，主持人会从剩下的两道帘子中，选择B帘打开，而B帘后面并没有轿车。这时，主持人会问你：“现在只剩下你所选的A帘和尚未打开的C帘这两种选择了，那么现在你要不要改变主意呢？”这时，你认为该不该改变最初的选择呢？

这个问题源于美国的一个让现场观众参加游戏的电视节目，节目主持人的名字叫作蒙蒂霍尔。这就是“蒙蒂霍尔问题”“蒙蒂霍尔悖论”得名的由来，这个理由着实令人感到有些意外。

实际上，这个问题的正确答案是：应该选择换帘子。理由是，在C帘后面停有轿车的概率比A帘大。

但是，很多人对于上述观点表示了异议。他们认为，既然已经打开了一道帘子，那么，轿车肯定停在剩下的两道帘子其中之一的后面，而轿车停在这两道帘子其中之一的后面的概率是相同的。因此不管最终选择哪个，回答正确的概率都不会变。事实上，在美国，关于这个问题的答案的讨论，确实引发过一阵**。

关于上述“正确答案”，我们稍后再作讲解。接下来，先为大家介绍另一个悖论。

9-3 悖论② 三个囚犯的问题

接下来要介绍的三个囚犯的问题，和蒙蒂霍尔问题有着不同的版本。

三个囚犯的问题

艾伦、伯纳德、查尔斯三个囚犯，他们的名字简称为A、B、C。所有人都知道，这三人中，有两人要被处死，剩下一人被释放，但不知道被释放的会是谁。这时，艾伦对看守说：“反正三个人中有两人要被处死，所以伯纳德和查尔斯中两个人中，至少有一个是要被处死的。即使你告诉我这两人中谁要被处死，对我来说也没什么益处。那么，能不能请你告诉我，究竟谁要被处死呢？”看守听后，同意了艾伦的看法，于是告诉他：伯纳德将要被处死。艾伦听了这话，心中窃喜。因为艾伦是这样考虑的：在什么情况都不了解的时候，我被释放的概率是1/3；但现在，我知道了伯纳德要被处死，那么我和查尔斯之中，如果一方被处死，另一方肯定会被释放。这样一来，我被释放的概率就上升到了1/2。

现在我们可以了解到，三个囚犯问题和蒙蒂霍尔问题具有相同的结构。艾伦相当于A帘，伯纳德相当于B帘，查尔斯相当于C帘，而将要被释放的人则对应藏在帘子后面的轿车。看守人告知艾伦，伯纳德会被处死这一消息，则对应主持人打开B帘之后没有轿车这一信息。而A帘后面有轿车，则对应为艾伦要被释放的信息。

之所以将三个囚犯的问题称为“悖论”，是因为艾伦的理由无法让大多数人信服。艾伦仅仅通过知道除自己之外的将要被处死的人的名字，他被释放的概率就得到提升，或者说被处死的概率降低，这总让人觉得有些奇怪。事实上，即使艾伦被告知，将被处死的人是查尔斯，结果也是一样的。也就是说，即使完全不知道查尔斯、伯纳德谁将被处死，艾伦也可以推断出自己被释放的概率是1/2。

在此需要提醒各位，蒙蒂霍尔问题与三个囚犯的问题有着十分紧密的联系。其共同点在于：如果对于其中一个答案存有异议，那么，就不得选择相信另一个答案。

9-4 这两个问题的本质是相同的

这两个问题的关键点都在于：由于获得了一定信息而导致概率发生变化。之前，我们也一直将“概率因获得信息而发生变化”的各种案例作为贝叶斯推理的精华来进行解说，先验概率和后验概率就是其体现。另一方面，在这两个问题中的概率均因获得信息而发生了变化，这一点与大多数人的直觉是相反的。

大家都知道，在蒙蒂霍尔问题中，当游戏的参加者在选择A帘时，A帘后面藏着汽车的概率是1/3。因此，当主持人掀开B帘，且游戏参加者知道了B帘后没有汽车之后，那么自己先前选择的A帘后面有汽车的概率究竟是会发生变化，还是与之前的概率相同呢？以下列出了关于这个问题的两种想法：

想法1：因为汽车一定藏在A帘和C帘这两者之一的后面，所以概率也变为了两种可能性各占一半。因此，A帘后藏有汽车的概率从1/3上升到1/2。

想法2：即使知道了B帘后面没有汽车，A帘后面藏有汽车的概率仍然不会变化。因此，A帘后藏有汽车的概率仍然是1/3不变。而这同时意味着，C帘后藏有汽车的概率从1/3上升到了2/3。

多数人会选择上述两种想法中的前者，而二者区别的关键在于：究竟是A和C的概率同时发生变化，还是仅仅C的概率发生了变化。随着B的可能性被排除，那么理所当然地，A和C的概率至少有一个会发生变化（标准化条件），而问题是究竟是其中只有一个发生了变化，还是两者都发生了变化呢？

下面我们试着针对同样的问题，用三个囚犯的案例进行讨论。艾伦在向看守询问关于死刑的消息时，给出的理由是：反正伯纳德和查尔斯两个人中，总会有一个会被处死，所以即便告诉我被处死的人的名字，对我来说也没有什么好处”。这句话中的“对我来说也没有什么好处”，可以理解为“自己被处死的概率不会发生变化”。那么，我们在这个案例中也试着套用一下上述两个想法：

想法1：因为被释放的人肯定是A和C中的一人，所以概率也变成了二者各占一半。那么，A被释放的概率从1/3上升到1/2。

想法2：即使已知B将会被处死，但A被释放的概率仍然不会变化。因此，A被释放的概率仍是1/3。而这意味着，C被释放的概率从1/3上升到了2/3。

艾伦以想法2为依据，从看守那里打探到了消息，之后又套用了想法1。这样得到的结果让他兴奋不已。

至此大家应该已经理解：如果多数人在蒙蒂霍尔问题中选择了想法1的话，那么在三个囚犯问题中也会选择想法1，结果就会和艾伦的想法一样。相反，如果觉得三个囚犯问题中，艾伦高兴的理由很奇怪的话，就会选择想法2，那么在蒙蒂霍尔问题中，也不得不改变之前选择的帘子。

很多文献都认为想法2是正确的，并对此进行了如下解释：选择者自身的概率不会发生变化，而非选择者那一方的概率会发生变化。在网上，也经常会看到类似下面这样的试图说服读者的说明。

现在，假设你从海量的彩票中选出1张。之后，主持人在剩余的所有彩票中只选出1张留下，剩下的彩票全部销毁，并告诉你：刚才撕碎的彩票中没有头奖。这时，你是应该改选主持人留下的那1张彩票，还是继续坚持自己最初选择的那张彩票不变呢？

在这种情况下，大多数人会毫不犹豫地认为“改选主持人留下的那1张胜算更大一些”。这是因为，在最初自己选择那1张彩票的时候，这张彩票为头奖的概率非常低；另一方面，头奖在主持人手中剩余的海量彩票之中的概率具有压倒性优势。而现在，主持人手中所有不是头奖的彩票都被销毁了，因此可以推算出剩下的那1张彩票是头奖的可能性非常大。

如果按照这个理由来思考的话，那么因获得信息而发生概率变化的，其实并不是你选择的一方，而是你未选择的那一方。

乍一听似乎很有道理，但笔者顺着这个思路来解决蒙蒂霍尔问题时，却发现行不通。这是因为，该案例可以理解为“将帘子的数量增加到极大值”之后的模型，这与原本在三个帘子之中选择其一的问题是完全不同的类别。当然，以上解释只是打比方而已，不能算是科学的讨论。不过，这里提到的“概率”本身就是主观性的概念，而基于传统科学依据的“正确答案”根本就是不存在的。这是因为，在你选出某1张彩票的时刻，它是不是头奖就已经是固定不变的事实了，后来发生变化的只是“你的主观推测值”。既然是主观的东西，那么答案自然不止一个了。

下面，我们用主观概率方面的代表性理论——贝叶斯推理，来探讨这个问题。

9-5 通过贝叶斯推理推导出矛盾

下面，我们试着用贝叶斯推理来探讨一下这一类问题。这几个案例具有共性，我们选择其中的蒙蒂霍尔问题来进行具体分析。

首先，设定类别和先验概率。

用A、B、C分别来表示“A帘后面藏着汽车”、“B帘后面藏着汽车”、“C帘后面藏着汽车”这三种情况。最终结果肯定是这三种情况之一，因此可以认为：共有三种可能性。那么，可以将这三种情况先验概率均设为1/3，各自相等，如图表9-1所示。

图表9-1 根据理由不充分原理得到的先验分布

现在的问题是，之后该如何设定条件概率。在你选择了A帘的时刻，就必须对于主持人一会儿将打开B帘还是C帘的问题设定条件概率，设定的标准如下所示。

条件概率的设定

如果A帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开B帘和C帘的概率各为1/2。如果B帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开C帘的概率为1。如果C帘后面藏有汽车的话，那么主持人打开B帘的概率为1。

在以上设定的背景下，我们将打开B帘记录为“开B”，将打开C帘记录为“开C”，导入条件概率之后，共有4种可能性，如图表9-2所示。

图表9-2 条件概率的设定

译者按

图中“B帘且开C”意思是，已选择A帘的游戏者头脑中预想下一步主持人会“开C”（主持人知道B帘中有汽车且只会打开后面没有汽车的帘子），本图其他说明含义同此。

之后，通过主持人打开B帘的行为（开B），我们得知B帘后面并没有汽车。也就是说，因为不需要再打开C帘，所以“选择A帘且开C”和“选择B帘且开C”的两种可能性被排除掉。那么，表示剩余可能性的图表便如图表9-3所示。

图表9-3 排除不可能发生的情况

根据上图，通过标准化条件对后验概率进行求解，如下所示：

（是A帘的后验概率）：（是C帘的后验概率）

＝1/3×1/2:1/3×1

＝1:2

＝1/3:2/3

至此，A帘后面藏有汽车的概率变为1/3，C帘后面藏有汽车的概率变为2/3。因此，如果你相信上述推算结果的话，就应该改变最初的选择。

对于三个囚犯的问题，也可以采用相同的思路进行贝叶斯推理，这样得出的结论是：艾伦被释放的概率为1/3，查尔斯被释放的概率为2/3。

对于上述结果，如果从哲学的角度进行解释的话，会给人以“因为主持人和看守并未提供与提问者相关的信息，所以提问者的后验概率不会发生变化”的感觉。然而，会出现这样的想法，是因为还没有摆脱“解释”或“印象”的影响。判断这种解释正确与否的确很困难，说到底，这还是一种哲学性解释。

9-6 结论因模型的设定自身而发生变化

那么，在蒙蒂霍尔问题中，“应该改变最初的选择”这一结论，似乎已经是板上钉钉的结论了。但实际上，笔者并不这样认为。因为“A帘的后验概率为1/3，C帘的后验概率为2/3”的结果，毫无疑问依存于模型的设定。

当然，将A、B、C的先验概率都设定为1/3，这一点是没有异议的。问题在于，关于主持人会打开帘子的条件概率的设定存在恣意性。如果“恣意性”一词听起来略具批判性的话，也可以用“如何对模型进行设定”来表达。

在上一节的模型中，在A帘后面藏有汽车的情况下，我们设定：主持人以打开B帘或C帘的概率各占一半。但其实并没有证据表明，必须做出这样的判断。实际上，在C帘后面藏有汽车的情况下，主持人除了打开B帘之外，并没有其他的选择，所以他会立刻打开B帘。但是，在A帘后面藏有汽车的情况下，由于有B帘和C帘两个选项，主持人可能会有一瞬间的犹豫，来思考究竟要打开B帘和C帘哪一个为好。如果聪明的游戏参加者看穿了主持人那一瞬间的犹豫，便能以此为线索来推算汽车究竟藏在哪个帘子后面。而主持人为了避免这种情况的发生，可以采取“事先准备好根据汽车的所在位置来决定打开哪一个帘子，并预先进行练习”的策略。

例如，事先准备好“在游戏参加者选择了A帘，并且A帘后面的确藏有汽车的情况下，便打开B帘”。这样一来，图表9-2就需要进行相应的调整，如图表9-4所示。

图表9-4 条件概率的设定

像这样，在使用考虑到分配条件概率的模型时，结论会有所不同，如图表9-5所示。

图表9-5 排除不可能发生的情况

通过图表9-5我们可以了解到，A和C的后验概率会变为相等，各为1/2。这与想法1的结论相一致。

然而，该模型可能会受到如下批判。应该再设定“在游戏参加者选择了A帘，并且A帘后面的确藏有汽车的情况下，便打开C帘”这样的模型。这种情况下，反而会得出“一定要改选C帘”的结论。然而，如果对该批判进行深入思考的话，结论会是这样的：由于不能判断汽车的确切位置，或许还是应该对等地处理B和C会更好一些。然而，这是将“理由不充分原理”扩展到条件概率的思路，超出了通常的贝叶斯推理范围。

总之，说到底，概率性推论依存于“主观”因素——对概率现象结构的想象，因此结论会根据模型的构建方式而不同。因此可以说，概率性推论并不存在“正确的答案”，至多是“妥当的推论”罢了。这一点在贝叶斯统计学和标准统计学（内曼－皮尔逊统计学）中是相同的。

第9讲·小结

1．蒙蒂霍尔问题和三个囚犯问题，以两种不同的形式表达了相同的内容。

2．如果认为一方的观点奇怪，就不得不接受其他的观点。

3．这两个问题都可以通过贝叶斯推理来进行解答。

4．笔者认为，由于结论依存于模型的设定（如何想象概率现象），所以没有所谓的“正确答案”。

练习题

答案参见此处

在蒙蒂霍尔问题中，假设有4个帘子，请尝试通过贝叶斯推理进行求解，并将正确答案填入括号中。

如果选择了A帘，则共有9种可能性。

之后，设定主持人打开了B帘。

那么此时，

“A帘且开B”的概率＝（）×（）＝（）

“C帘且开B”的概率＝（）×（）＝（）

“D帘且开B”的概率＝（）×（）＝（）

于是，如果要使其满足正规化条件，那么在获得信息“B帘被打开”的情况下，各后验概率为：

“汽车在A帘后面的后验概率”＝（）

“汽车在C帘后面的后验概率”＝（）

“汽车在D帘后面的后验概率”＝（）

因此结论是，应该（移动/不移动）帘子为宜。

专栏 column 关于“幸运”的两条法则

很多人相信“运气”有某种征兆。比如“茶叶棍立起来是吉兆”“找到四片叶子的三叶草会得到幸福”“木屐带断开是凶兆”等。实际上，对于这类“运气”，有两种典型的思考方式：第一种是“幸运定量法则”，第二种是“幸运唤起幸运的法则”。

第一种思考方式认为：“幸运”这种东西有一定的量，如果一段时间内接连发生幸运的事，那么后面幸运将会枯竭，接下来会发生不好的事情。用壶的例子打比方：从装有一定数量的白球（好事）和黑球（坏事）的壶中取出球，如果接连取出的都是白球的话，那么壶中剩余白球的数量将会减少，于是后面就会很容易出现黑球。

与之相反，第二种思考方式认为：走运的时候，好事会连续发生。这正是基于贝叶斯推理学的思维方式。用第7讲中的案例来解释：假设有两个壶，A壶中白球的数量多于黑球，而B壶中黑球的数量多于白球。再假设，一个人拿着A壶或B壶中的某一个，并通过从中取出球来决定自己的命运。但他并不知道自己手里拿着的是A壶还是B壶，因此只能根据取出的球来推断。正如第7讲中说明的那样：如果取出的是白球，则壶A的可能性增大；如果取出的是黑球，则壶B的可能性增大。于是，如果第一次取出的是白球，这一事实暗示着下次取出白球的可能性会很高，而这正意味着“幸运唤起幸运”的道理。

至于怎样才能收获“幸运”，根据所选择的立场不同，答案也会发生变化。如果采取第一种思路，那么在发生了好事之后，应该做的是“防止余下的幸运流失”；而如果采取第二种思路，那么在发生了好事之后，应该“顺势争取更多的幸运”。