7-1 用贝叶斯推理解开壶的问题

在上一讲中，我们已经了解到如何用标准的概率性推论——内曼－皮尔逊统计学来解答关于壶的判断问题。这是用假设检验的方法，如果可以设定显著水平为10％，那么从“观察到黑球”的现象，就可以得出“是B壶”的结论。但需要注意的是：如果反复使用这种方法，那么一定要意识到还有10％的概率会做出错误的判断。下面将要阐述的是：如果把显著水平设定为通用的5％或1％，就只是从“观察到只有1个球”这个假设检验中，则不能够对壶的问题做出判断。

从另一方面来讲，如果运用贝叶斯推理，按照前4讲中所述的方法，也可以对壶的问题进行概率性推论，并且不需要类似显著水平这样的概念。下面，我们用贝叶斯推理方法对壶的问题来进行说明。

7-2 把A壶和B壶分别设定为一个类别

首先，我们再重复一遍问题设定。

问题设定

面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有9个白球和1个黑球，B壶中有2个白球和8个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的，那么，面前的这个壶究竟是A还是B呢？

和之前一样，我们先来设定类别。由于需要判断的问题是：面前的这只壶，是A壶还是B壶？因此，需要设定的类别自然也分为A和B。

接下来的步骤是设定先验概率。由于我们暂时不知道这只壶是A壶还是B壶，并且也不知道壶里装有什么颜色的球（在观察球之前），所以，只能运用“理由不充分原理”。换言之，将“是A壶”和“是B壶”的先验概率均设为0.5，此时，用长方形来表示的可能存在的情况，则如图表7-1所示，总共被划分成两等份。

图表7-1 根据理由不充分原理设定的先验分布情况

然后，设定在各类别中，出现黑球或白球的条件概率。在“是A壶”的情况下，出现黑球的条件概率为0.1，出现白球的条件概率为0.9；而在“是B壶”的情况下，出现黑球的条件概率为0.8，出现白球的条件概率为0.2。把这些具体情况填入图中，则如图表7-2所示，共有4种可能出现的情况。

图表7-2 条件概率的设定

下一步，是把4种可能出现的情况的概率填写进去。同时，请回想一下，前面我们曾讲：“长方形的面积”可视为概率（图表7-3）。

图表7-3 计算四种可能性的概率

由于最终观察到球的颜色为黑色，因此白球的可能被完全排除在外，如图表7-4所示。把观察到黑球的2种情况用图来表示，并将各概率标准化处理，如下所示：

（该壶为A壶的后验概率）：（该壶为B壶的后验概率）

＝0.5×0.1:0.5×0.8

＝1:8

＝1/9:8/9

换言之，在观察到黑球的前提下，该壶为A壶的后验概率为1/9，约等于0.11；而该壶为B壶的后验概率为8/9，约等于0.89。由于后者是前者的8倍，因此，判断该壶为B壶较为妥当。

图表7-4 排除掉两种可能性

7-3 贝叶斯推理无论在何种条件下，都能得出一个暂时的结果

正如大家所看到的，贝叶斯推理并没有像内曼－皮尔逊统计学的假设检验那样，有关于显著水平的设定。贝叶斯推理的强项是“无论在何种条件下，都能得出一个暂时的结果”。但是，这个结果并不像内曼－皮尔逊统计学那样，得出一个单方面的判断（非A即B），而是认为两种可能性都有，并赋予这两种可能性相应的比例关系，仅此而已。而“看到数值之后，做出判断”的工作，就留给统计学家们了。因此，贝叶斯推理也常被称为“总经理的概率”，它的含义是：贝叶斯推理就像是公司职员进行筛选和鉴别，最终由总经理根据下属报告上来的数值进行判断。

关于判断究竟是哪个壶的问题：假设在A壶的10个球中，黑球的个数为x；B壶的10个球中，黑球的个数为y，之后观察到出现了黑球，那么：

（该壶为A壶的后验概率）：（该壶为B壶的后验概率）＝x：y

因此，当壶中的黑球较多时，结果为该壶的后验概率也就越大（在前面的例子中，x＝1，y＝8）。这个推理可以将“由于观察到出现了黑球，因此有可能会是黑球较多的那个壶吧”这一简单的推论合理化。统计学家看到x：y的比例之后，可以做出“该壶为A壶”或“该壶为B壶”，或是“不管得出何种结论都不妥当”之中的任意一种判断。

7-4 贝叶斯推理和内曼－皮尔逊式推理中，“风险”的含义不同

特别需要注意的一点是，在贝叶斯推理和内曼-皮尔逊式推理中，各自“风险”的含义是完全不同的。

第6讲中曾讲到，在内曼-皮尔逊式推理中，显著水平是其风险的指标。其含义是：例如，将显著水平设定为5％，那么如果用同一种方法，反复使用假设检验的话，有5％的概率会得出错误的结论。因此，采用大胆一点的说法是:5％概率的风险，并不是针对“现在判断得出的结论”进行的直接评价。毕竟，“风险”针对的是所使用的方法论，给只不过是“通过在风险概率为5％的某种方法所下的结论”的间接评价值。

另外，本讲中会提到这样一个观点：所谓根据贝叶斯推理得出的结论的“风险评价”，其实就是“后验概率”本身。实际上，在壶的推理的例子中，由于计算出“该壶为A壶的后验概率”约为0.11，那么，如果做出“该壶为B壶”的判断，则这一判断出错的概率也约为0.11。这并不是方法论本身存在的风险，而是由于A的可能性与B的可能性的比例为1:8，这一风险从而直接被认可。

用比喻性的说法来解释：假设检验的风险存在于结论之外，而贝叶斯推理的风险则存在于结论的后验概率本身之中。

还有一个必须留意的问题是：贝叶斯推理之所以能在不考虑显著水平的情况下做出判定，是因为设定了先验概率这一“奇怪的”概念。如前所述，先验概率基本上是一种“主观的”概念。也就是说，贝叶斯推理不会直接认为“概率是×”，而是采取“相信概率应该是×”“总之，先设定概率为×吧”这样的态度。因此，在这种先验概率的基础上被推断出来的后验概率，通常有其任意性，而责任则归于在统计学者的判断。这也是为什么贝叶斯推理被称为“总经理的概率”的原因所在。

图表7-5 关于壶的判断的贝叶斯更新

7-5 从逻辑性观点出发，看贝叶斯推理的过程

最后，我们还是像在第6讲中所说明的那样，从逻辑性观点出发，再来总结一遍贝叶斯推理的结构吧。问题设定中，列举了已知事实：

事实1 该壶为A壶或者B壶

事实2’ 若为A，则可能是白球

事实3’ 若为B，则可能是黑球

事实4 黑球（不出现白球）

通过以上4个事实，我们来看一看，在贝叶斯推理过程中，究竟会呈现怎样的组合推理方式呢？

首先，从事实2’中可以推导出，假设该壶为A壶，则可能会出现“该壶为A壶且出现黑球”或“该壶为A壶且出现白球”的任意一种情况，之后，能够推导出“基本上是后者”的结论。同样，从事实3’可以推导出，假设该壶为B壶，则可能会出现“该壶为B壶且出现黑球”和“该壶为B壶且出现白球”的任意一种情况，之后，能够推导出“基本上是前者”的结论。通过以上结果和事实4，我们可以排除掉“该壶为A壶且出现白球”和“该壶为B壶且出现白球”这两种情况，只留下“该壶为A壶且出现黑球”和“该壶为B壶且出现黑球”的可能性。

如果考虑到“前者的可能性小，而后者的可能性大”的情况，就能判断出答案是后者——“该壶为B壶且出现黑球”的可能性较大。因此，就能得出如果“该壶为B壶且出现黑球”，那么自然B是成立的，因此结论为B。贝叶斯推理的逻辑结构就是这样的。

第7讲·小结

1．设定“该壶为A壶”和“该壶为B壶”两个类别。

2．依据理由不充分原理，设定A的先验概率为0.5，B的先验概率为0.5。

3．在“该壶为A壶”的情况下，设定黑球的条件概率为0.1，白球的条件概率为0.9；在“该壶为B壶”的情况下，设定黑球的条件概率为0.8，白球的条件概率为0.2。

4．由于观察到了黑球，因此排除掉白球的可能性。

5．设定黑球的概率满足正规化条件。

6．求出“该壶为A壶”的后验概率和“该壶为B壶”后验概率，得出“应该是B壶”的结论。

练习题

答案参见此处

在这里，稍微改变一下壶里的球的构成，然后进行同样的推理。

面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有8个白球和2个黑球，B壶中有3个白球和7个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的。设定先验概率各为0.5，在接下来的步骤中，求出“该壶为A壶”、“该壶为B壶”的后验概率，并判断该壶为A壶还是B壶。

各个类别的先验概率分别为，

（a）＝（）、（b）＝（）

添加信息后的条件概率分别为，

（c）＝（）、（d）＝（）

（e）＝（）、（f）＝（）

四种互不相同的情况的概率分别为，

（g）＝（）×（）＝（）

（h）＝（）×（）＝（）

（i）＝（）×（）＝（）

（j）＝（）×（）＝（）

观察到“黑球”的2种情况下的概率，使之满足标准化条件，为：

观察到“黑球”的情况下“该壶为A壶”的概率＝（）

观察到“黑球”的情况下“该壶为B壶”的概率＝（）

综合上述，能够得出该壶为（）的结论。