6-1 运用内曼－皮尔逊式推理解答有关壶的问题

我们再来回顾一下，上一讲中提到的概率推理问题。

面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有9个白球和1个黑球，B壶中有2个白球和8个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的，那么，就可以推断出面前这个壶究竟是A还是B吧。

关于该壶的情况，已知以下四点：

事实1 A或者B。

事实2’ 如果是A，则可能是白球

事实3’ 如果是B，则可能是黑球

事实4 黑球（不是白球）

在采用这些事实进行的推理中，事实2’和事实3’中由于加入了“可能”一词，因此不能用于进行逻辑性推理。但是，如果再增加一条判断，并沿着与逻辑推理基本相同的路径来操作的话，是可以进行推理的。

这一条判断是指，只要“可能”所代表的概率性数值只要满足一定的标准，就能够意识到做出错误判断的风险。

如果10次中出现1次错误，也就是说有10％的概率做出错误判断，那就没办法了，只能听天由命。不过，在此判断的前提下，倒是有可能得出以下结论。

首先，暂且假设该壶为A壶，并且，从事实2’中可以得出是白球的结论。但是，这个结论并不一定绝对正确，依然有10％错误的概率。因为从A壶中取出黑球的概率是0.1。

虽然仅有错误的概率只有10％，但把这个含有错误可能性的结论“是白球”与事实4相结合，便会产生矛盾。因此，否定该壶为A壶的假设，便可以推断出“不是A壶”的结论。这统计学中有一个专有名词，叫作“抛弃假设A”。最后，通过事实1与“不是A壶”的判断，综合得出“是B壶”的结论。

以上便是标准统计学（内曼－皮尔逊统计学）的逻辑推理过程。

推理过程中的关键是，接受“可能”这一字眼所包含的10％的判断错误的风险概率。因此，即使不知道当前所做出“是B壶”的判断究竟是正确还是错误，但如果用这个方法继续进行推理，即使仅有10％判断错误的概率，也有可能得出错误的结论。也就是说，有可能会发生“实际上是A壶，但得出的结论是B壶”的情况。

6-2 假设检验的过程

上一节讲到的概率推论方法，即标准统计学（内曼－皮尔逊统计学）中的“假设检验”法。本书对于内曼－皮尔逊统计学不做专门解说，因此不进行详细深入的介绍（读者朋友如有需要，可参考拙作《完全自学 统计学入门》（详见参考文献⑨））。以下，针对假设检验的顺序进行简单介绍。

假设检验的顺序

第一步：提出想要验证的假设A。假设A又名“解消假设”。

第二步：若假设A不成立，再提出一个假设B。假设B又名“对立假设”。

第三步：若假设A成立，再设定一个只有在小概率α的情况下能观察到的现象X。

第四步：确认是否观察到了现象X。

第五步：若能观察到现象X的情况下，则判断解消假设A是错误的，此时便可以抛弃解消假设A，而选择对立假设B。

第六步：若未能观察到现象X，则不能否决解消假设A，那么选择解消假设A即可。

以上过程可以粗略总结为，“只有A是正确的情况下，才会发生低概率α事件。如果实际观察到了的话，则判断A本来就是错误的，于是抛弃掉A；如果观察不到，因为没有抛弃A的理由，所以予以保留”。此处的概率α，成为是否抛弃假设A的基准，这在专业领域被称为“显著水平”。由于观察到了在概率为α的条件下发生的现象，因而抛弃了之前的假设，那么“弄错正确的假设A并抛弃掉它”的概率则为α。也就是说，这意味着如果一直持续数次使用该推测方法，因概率α的比例而做出了错误的判断。

下面，我们试着将上述内容应用于前一节中壶的例子。

首先，解消假设是“A壶”，那么对立假设自然就是“B壶”。此外，如果设定显著水平α为0.1，那么观察到A壶中取出黑球的概率则为α。接下来，根据观察到的黑球，抛弃解消假设A，并选择对立假设B。这与上一节所说的概率性推理过程是完全一致的。

6-3 假设检验中也存在无法做出判断的情况

即使与逻辑推理相比较，假设检验也可以认为是立足于与其基本相同的构想的、明快的方法论吧。实际上，这一方法如今已经被广泛应用，而重点在于显著水平α，将α设定为多少是一个极其重要的问题。

显著水平α，通常用来表示“极少被观察到的现象”的概率。当然，可以把它设定其为一个很小的数值，通常会设定为5％（0.05）或1％（0.01）。但是，为何要设定为5％（0.05）或1％（0.01），这一点并没有相应的科学依据。有的说法认为，这是因为费希尔以“在每年都进行推测的情况下，研究20年中大约会有1次弄错，这也是没办法的事情”为理由，对其进行了设定。（详见参考文献①）。

那么，如果将显著水平设定为5％（0.05）或1％（0.01），第一节中解说的概率性推论便不符合假设检验的标准。这是因为，把假设A（是A壶）设置为抛弃的标准，采用“观察到取出黑球”的情况，而这个概率是10％，大于5％。同样，把假设B视为解消假设，也不符合假设检验。这种情况下，即使想把取出白球的情况设为现象X，但由于概率为20％，是不满足显著水平的。

第6讲·小结

1．标准的概率推论是根据内曼-皮尔逊统计学产生的。

2．首先，设定解消假设与对立假设。

3．设定显著水平α。通常α＝0.05或α＝0.01。

4．关注在解消假设的条件下，只有在显著水平α以下才能观察到的现象X。

5．如果观察到现象X，则抛弃解消假设，选择对立假设。

6．如果未能观察到现象X，则选择解消假设。

7．检测假设在显著水平α概率下，有一定的错误风险。

练习题

答案参见此处

现在，我们已经知道面前的壶不是A就是B。A壶中有96个白球和4个黑球。设“是A壶”为解消假设，“是B壶”为对立假设。从壶中取出一个球，结果是黑球。请在符合的一方画圈。

（1）显著水平为5％（0.05）时，假设检验的结论为

（被抛弃/不被抛弃）

（2）显著水平为1％（0.01）时，假设检验的结论为

（抛弃/不被抛弃）

（3）在（2）的情况下，把取出的黑球放入壶中，之后再取一次球，结果还是黑球。此时，假设检验的结论为

（被抛弃/不被抛弃）