科学的进展，有一个共通且富有趣味的倾向，这就是，每一种科学诞生以后，科学家们便拼命地使它向前发展，正如大获全胜的军人遇见敌人总要穷追到山穷水尽一般。穷追的结果，自然可以得到不少战利品，但后方空虚，却也是很大的危险。一种科学发展到一定程度，要向前进取，总不如先前容易，这是从科学史上可以见到的。因为前进感到吃力，于是有些人自然而然地会疑心到它的根源上面去。这一来，就要动手考查它的基础和原理了。前节不是说过吗？在数学的园地中近来就有人在背阴的一面去开垦。

一种科学恰好和一个人一样，年轻的时候，生命力旺盛，只知道按照自己的浪漫思想往前冲，结果自然进步飞快。在这个时期谁还有那么从容的工夫去思前想后，回顾自己的来路和家属呢？一直奋勇前进，只要不碰壁绝不愿掉头。一种科学从它的几个基本原理或法则建立的时候起，科学家总是替它开辟领土，增加实力，使它光芒万丈、傲然自大。

然而，上面越阔大，下面的根基就必须越牢固，不然头重脚轻，岂不要栽跟头吗？所以，对于营造科学园地，到了一个范围较大、内容繁多的时候，建筑师们对于添造房屋就逐渐慎重、踌躇起来了。倘使没有确定它的基石牢固到什么程度，扩大的工作便不敢贸然动手。这样，开始将他们的事业转一个方向去进行：将已经做成的工作全部加以考查，把所有的原理拿来批评，将所用的论证拿来估价，仔细去证明那些用惯了的、极简单的命题。他们对于一切都怀疑，若不是重新经过更可靠、更明确的方法证明那结果并没有差异，即使是已经被一般人所承认的，他们也不敢遽然相信。

一般来说，数学的园地里的建筑都比较稳固，但是许多工匠也开始怀疑它并从根底着手考查了。就是大家都深信不疑的已知的简单的证明，也不一定就可以毫不怀疑。因为推证的不完全或演算的错误，不免会混进一些错误到科学里面去。重新考查，确实有这个必要。

为了使科学的基础更加稳固，将已用惯的原理重新考订，这是非常重要的工作。无论是数学或别的科学，它的进展中常常会添加一些新的意义进去，而新添加的意义又大半是全凭直觉。因此有些若是严格地加以限定，就变成不可能的了。比如说，一个名词，我们在最初给它下定义的时候，总是很小心、很精密，也觉得它足够完整了。但是用来用去，它所解释的东西，不自觉地逐渐变化，结果简直和它本来的意义大相悬殊。我来随便举一个例子，在逻辑上讲到名词的多义的时候，就一定讲出许多名词，它的意义逐渐扩大，而许多词义又逐渐缩小，只要你肯留心，随处都可找到。“墨水”，顾名思义就是把黑的墨溶在水中的一种**，但现在我们常说红墨水、蓝墨水、紫墨水等。这样一来，墨水的意义已全然改变。对于旧日用惯的那一种词义，倒要另替它取个名字叫黑墨水。墨本来是黑的，但事实上必须在它的前面加一个形容词“黑”，可见现在我们口中所说的“墨”，已不一定含有“黑”这个性质了。日常生活上的这种变迁，在科学上也不能避免，不过没有这么明显罢了。

其次，说到科学的法则，最初建立它的时候，我们总觉得它若不是绝对的，而是相对的，在科学上的价值就不大。但是我们真能够将一个法则拥护着，使它永远享有绝对的力量吗？所谓科学上的法则，它是根据我们所观察的或实验的结果归纳而来的。人力是有限的，哪儿能把所有的事物都观察到或实验到呢？因此，我们不曾观察到和实验到的那一部分，也许就是我们所认为绝对的法则的死对头。科学是要承认事实的，所以科学的法则，有时就有例外。

我们还是来举例吧！在许多科学常用的名词中，有一个名词，它的意义究竟是什么，非常不容易严密地规定，这就是所谓的“无限”。

抬起头望天空，白云的上面还有青色的云，有人问你天外是什么？你只好回答他“天外还是天，天就是大而无限的”。他若不懂，你就要回答，天的高是“无限”。暗夜看闪烁的星星挂满了天空，有人问你，它们究竟有多少颗，你也只好说“无限”。然而，假如问你“无限”是什么意思呢？你怎样回答？你也许会这样想，就是数不清的意思。但我要和你纠缠不清了。你的眉毛数得清吗？当然是数不清的。那么你的眉毛是“无限”的吗？“无限”和“数不清”不完全一样，是不是？所以在我们平常用“无限”这个词时，确实含有一个不能理解，或者说不可思议的意思。换句话说就是超越我们的智力以上，简直是我们的精神的力量的极限。要说它奇怪，实在比上帝和“无常”还奇怪。假如真有上帝，我们知道他会造人，会奖善罚恶，而且还可以大概想象出他的样子，因为人是照着他的模样造出来的。至于“无常”，我们知道他很高，知道他戴着高帽子，知道他穿着白衣服，知道他只有夜晚才出来，知道他无论天晴、下雨手里总拿着一把伞。呵！这是鬼话，上帝无常我不曾见过，但是无论哪个人说到他，都能说出点眉目。至于“无限”，有谁能描摹一下呢？

“无限”真是一个神奇的东西，平常说话会用到它，文学、哲学上也会用到它，科学上那就更不用说了。不过，平常说话本来全靠彼此心照，不必太认真，所以马虎一点儿满不在乎。就是文学上，也没有非要给出一个精确的意思的必要。在文学作品里，十有八九是夸张，“白发三千丈”，李白的个儿究竟有多高？但是在哲学上，就因为它的意义不明，所以常常出岔子，在数学上也就时时生出矛盾来。

在数学的园地中，对于各色各样的东西，我们大都眉目很清楚，却被这“无限”征服了。站在它的面前，总免不了要头昏眼花，它是多么神秘的东西啊！

虽是这样，数学家们还是不甘屈服，总要探索一番，这里便打算大略说一说，不过请先容许我来绕一个弯儿。

这一节的题目是“集合论”，我们就先来说“总集”这个词在这里的意义。比如有些相同的东西或不相同的东西在一起，我们只计算它的件数，不管它们究竟是什么，这就叫它们的“总集”。比如你的衣兜里放有三个“袁头币”、五只“八开”和十二个铜子，不管三七二十一，我们只数它叮叮当当响着的一共是二十个，这二十就称为含有二十个单元的总集。至于这单元的性质我们不必追问。又比如你在教室里坐着，有男同学、女同学和教师，比如教师是一个，女同学是五个，男同学是十四个，那么，这个教室里教师和男、女同学的总集，恰好和你衣兜里的钱的总集是一样的。

朋友！你也许正要打断我的话，向我追问了吧？这样混杂不清的数目有什用呢？是的，当你学算术的时候，你的先生一定很认真地告诉你，不是同种类的量不能加在一起，三个男士加五个女士得出八来，非男非女，又有男又有女，这是什么话？三个“袁头币”加五只“八开”得出八来，这又算什么？算术上总叫你处处小心，不但要注意到量要同种类，而且还要同单位才能加减。到了现在我们却不管这些了，这有什么用场呢？

它的用场吗？真是太大了！我们就要用它去窥探我们难理解的“无限”。其实，你会起那样的疑问，实在由于你太认真而又太不认真的缘故。你为什么把“袁头币”“八开”“铜子”“男”“女”“学生”“教师”的区别看得那么大呢？你为什么不从根本上去想一想，“数”本来只是一个抽象的概念呢？我们只关注这抽象的数的概念的时候，你衣兜里的东西的总集和你教室里的人的总集，不是一样的吗？假如你衣兜里的钱，并不预备拿去买什么吃的，只用来记一个对你来说很重要的数，那么它不就够资格了吗？“二十”这个数就是含有二十个单元，而不管它们的性质，所得出来的“总集”。

数的发生可以说是由于比较，所以我们就来说“总集”的比较法。比如在这里有两个总集，一个含有十五个单元，我们用E15表示，另外一个含有十个单元，用E10表示。

现在来比较这两个“总集”，对于E10当中的各个单元，都从E15当中取一个来和它成对，这是可以做到的，是不是？但是，假如对于E15当中的各个单元，都从E10当中取一个来和它成对，做到第十对，就做不下去了，只好停止了。可见，掉一个头是不可能的。在这种情形的时候，我们就说：“E15超过E10。”

或是说：“E15包含E10。”

或者说得更文气一些：“E15的次数高于E10的。”

假如另外有两个总集Ea和Eb，虽然我们“不知道a是什么”，也“不知道b是什么”，但是我们不仅能够对于Eb当中的每一个单元，都从Ea中取一个出来和它成对，而且还能够对于Ea当中的每一个单元都从Eb中取一个出来和它成对。我们就说，这两个总集的次数是一样，它们所含的单元的数相同，也就是a等于b。前面不是说过你衣兜里的钱的总集和你教室里的人的总集一样吗？你可以从衣兜里将钱拿出来，分给每人一个。反过来，每个钱也能够不落空地被人拿去。这就可以说这两个总集一样，也就是你的钱的数目和你教室里的人的数目相等了。

我想，你看了这几段一定会笑得岔气的，这样简单明了的东西，还值得一提吗？不错，E15超过E10，E20和E20一样，三岁大的小孩子都知道。但是，朋友！你别忙啦！这只是用来做例，说明白我们的比较法。因为数目简单，两个总集所含单元的数，你通通都知道了，所以觉得很容易。但是这个比较法，就是对于不能够知道它所含的单元的数的也可以使用。我再来举几个通常的例子，然后回到数学的本身上去。

你在学校里，口上总常讲“师生”两个字，不用说耳朵里也常听得到。“师”的总集和“生”的总集，（不只就一个学校说）就不一样。古往今来，“师”的“总集”和“生”的“总集”是什么，没有人回答得出来。然而我们可以想得到，每一个“师”都给他一个“生”要他完全负责任这是可能的。但若要替每一个“生”都找一个专一只对他负责任的“师”，那就不可能了，所以这两个总集不一样。因此，我们就可以说“生”的总集的次数高于“师”的总集的。再举个例子，比如父和子，比如长兄和弟弟，又比如伟人和丘八，这些两个两个的总集都不一样。要找一个总集相等的例子，那就是夫妻俩，虽然我们并不知道全世界有多少个丈夫和多少个妻子，但有资格被称为丈夫的必须有一个妻子伴着他（小老婆在这里不算她和男子是夫妻关系）。反过来，有资格被人称为妻子的，也必须有一个丈夫伴着她。所以无论从哪一边说，“一对一”的关系都能成立。

好了！来说数学上的话，来讲关于“无限”的话。

我们来想象一个总集，含有无限个单元，比如整数的总集：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

这是非常明白的，它的次数比一切含有有限个数单元的总集都高。我们现在要紧的是将它和别的无限总集比较，就用偶数的总集吧：

2，4，6，8，10……2n，（2n+2）……

这就有些趣味了。照我们平常的想法，偶数只占全整数的一半，所以整数的无限总集当然比偶数的无限总集次数要高些，不是吗？十个连续整数中，只有五个偶数，一百个连续整数中也不过五十个偶数，就是一万个连续整数中也还不过五千个偶数，总归只有一半。所以要成“一对一”的关系，似乎有一面是不可能的。然而，你错了，你不能单凭有限的数目去想，我们现在是在比较两个无限的总集呀！“无限”总有些奇怪！我们试将它们一个对一个地排成两行：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

2，4，6，8，10……2n，（2n+2）……

因为两个都是“无限”的缘故，我们自然不能把它们通通都写出来。但是我们可以看出来，第一行有一个数，只要用2去乘它就得出第二行中和它相对的数来。掉一个头，第二行中有一个数，只要用2去除它，也就得出第一行中和它相对的数来。这个“一对一”的关系不是无论用哪一行做基础都可能吗？那么，我们有什么权利来说这两个无限总集不一样呢？

整数的无限总集，因为它是无限总集中最容易理解的一个，又因为它可以由我们一个一个地列举出来（由于永远举不尽），所以我们替它取一个名字叫“可枚举的总集”（L’ensemble dé_nombrale）。我们常常用它来做无限总集比较的标准，凡是次数和它相同的无限总集，都是“可枚举的无限总集”——单凭直觉也可以断定，整数的无限总集在所有的无限总集当中是次数最低的一个，它可以被我们用来做比较的标准，也就是这个缘故。

在无限总集当中，究竟有没有次数比这个“可枚举的无限总集”更高的呢？我可以很爽快地回答你一个“有”字。不但有，而且想要多少就有多少。从这个回答中，我们对于“无限”算是有些认识了，不像以前一样模糊了。这个回答，我供认不讳地说，也是听来的。康托尔（Cantor）是最初提出它来的，这已是三十多年前的事了。在数学界中，他是值得我们崇敬的人物，他所创设的集合论，不但在近代数学中占了很珍贵的几页，还开辟了数学进展的一条新路径，使人不得不对他铭感五内！

人间的事，说来总有些奇怪，无论什么，不经人道破，大家便很懵懂。一旦有人凿穿，顿时人人都恍然大悟了。在康托尔以前，我们只觉得无限就是无限，吾生也有涯1，弄不清楚它就算了。但现在想起来，实在有些可笑，无须什么证明，我们有些时候也能够感觉到，无限总集是可以不相同的。

又来举个例子：比如前面我们用来决定点的位置的直线，从O点起，尽管伸张出去，它所包含的点就是一个无限总集。随便想去，我们就会觉得它的次数要比整数的无限总集的高，而从别的方面证明起来，也验证了我们的直觉并没有错。这样说来，我们的直觉很值得信赖。但是，朋友！你不要太乐观呀，在有些时候，纯粹的直觉就会叫你上当的。

你不相信吗？比如有一个正方形，它的一边是AB。我问你，整个正方形内的点的总集，是不是比单只一边AB上的点的总集的次数要高些呢？凭我们的直觉，总要给它一个肯定的回答，但这你上当了，仔细去证明，它们俩的次数恰好相等。

总结以上的话，你记好下面的基本的定理：“若是有了一个无限总集，我们总能够做出一个次数比它高的来。”

要证明这个定理，我们就用整数的总集来做基础，那么，所有可枚举的无限总集也就不用再证明了。为了说明简单些，我只随意再用一个总集。

照前面说过的，整数的总集是这样：

1，2，3，4，5……n，（n+1）……

就用E代表它。

凡是用E当中的单元所做成的总集，无论所含的单元的数有限或无限，都称它们为E的“局部总集”，所以：

这些都是E的局部总集，我们用Pn来代表它们。

第一步，凡是用E的单元能够做成的局部总集，我们都将它们做尽。

第二步，我们就来做一个新的总集C，C的每一个单元都是E的一个局部总集Pn，而且所有E的局部总集全都包含在里面。这样一来，C便成了E的一切局部总集的总集。

你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。我们要证明C的次数比第一个总集E的高。因此，还要重复说一次，比较两个总集的法则，你也务必将它记好。

我们必须要对于E的每一个单元都能从C当中取一个出来和它成对。实际上只要依下面的方法配合就够了：

从这样的配合法中可以看出来，第二行只用到C单元的一部分，所以C的次数或是比E的高或是和E的相等。

我们能不能转过头来，对于C当中的每一个单元都从E当中取出一个和它成对呢？

假如能做到，那么E和C的次数是相等的。

假如不能做到，那么C的次数就高于E的。

我们无妨就假定能够做到，看会不会碰钉子！

算这种配合法的方法是有的，我们随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：

单就这两行看，第一行是所有的局部总集，就是所有C的单元都来了（因为我们要这样做）。第二行却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。因为我们是对着第一行的单元取出来的，究竟取完了没有还说不定。

这回，我们来一对一地检查一下，先从P1和它的对儿1起。因为P1是E的局部总集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。假如P1里面没有1，我们将它放在一边。跟着来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。照这样一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。

这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成一个整数的总集。朋友！这点你却要注意，一点儿马虎不得！我们检查的时候，因为有些整数它的对儿里面已有了，所以没有放出来。由此可见，我们新做成的整数总集不过包含整数的一部分，所以它也是E的局部总集。但是我们前面说过，C的单元是E的局部总集，而且所有E的局部总集全部包含在C里面了，所以这个新的局部总集也应当是C的一个单元。用Pt来代表这个新的总集，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的单元都排在那儿的。

既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个单元来和它成对。

假定和Pt成对的整数是t。

朋友！糟了！这就碰钉子了！你若还要硬撑场面，那么再做下去。

在这里我们又有两种可能的情况：

第一种：t是Pt的一部分，但是这回真碰钉子了。Pt所包含的单元是在第一行中成对儿的单元所不包含在里面的整数，而Pt自己就是第一行的一个单元，这不是矛盾了吗？所以t不应当是Pt的一部分，这就到了下面的情况。

第二种：t不是Pt的一部分，这有可能把钉子避开吗？不行，不行，还是不行。Pt是第一行的一个单元，t和它相对又不包含在里面，我们检查的时候，就把它放在一边了。朋友，你看，这多么糟！既然t被我们检查的时候放在了一边，而Pt就是这些被放在一边的整数的总集结果，t就应当是Pt的一部分。

这多么糟！照第一种说法，t是Pt的一部分，不行；照第二种说法t不是Pt的一部分也不行。说来说去都不行，只好回头了。在E的单元当中，就没有和C的单元Pt成对的。朋友，你还得注意，我们将两行的单元配对，原来是随意的，所以要是不承认E的单元里面没有和Pt配对的，这种钉子无论怎样我们都得碰。

第一次将E和C比较，已知道C的次数必是高于E的或等于E的。现在比较下来，E的次数不能和C的相等，所以我们说C的次数高于E的。

归到最后的结果，就是我们前面所说的定理已证明了，有一个无限总集，我们就可做出次数高于它的无限总集来。

无限总集的理论，也有一个无限的广场展开在它的面前！

我们常常都能够比较这一个和那一个无限总集的次数吗？

我们能够将无限总集照它们次数的顺序排列吗？

所有这一类的难题目以及其他关于“无限”的问题，都还没有在这个理论当中占有地盘。不过这个理论既然已经具有相当的基础，又逐渐往前进展，这些问题总有解决的一天，毕竟现在我们对于“无限”不会像从前一样感到惊奇不可思议了！

老实说，数学家们无论对于做这个理论的基础的一些假定，或是对于从里面探究出来的一些悖论的解释都还没有全部的理解。

然而，我们不用感到吃惊，一种新的理论产生正和一个婴儿的诞生一样，要他长大做一番惊人的事业，养育和保护都少不了！