将前节讲过的方法拿来运用，再没有比求矩形的面积更简单的例子了。比如有一个矩形，它的长是a，宽是b，它的面积便是a和b的乘积，这在算术上就讲过。像下图所表示的，长是6，宽是3，面积就恰好是3×6=18个方块。

假如这矩形有一边不是直线——那自然就不能再叫它矩形——要求它的面积，也就不能按照求矩形的面积的方法这般简单。那么，我们有什么办法呢？

假使我们所要求的是下图中ABCD线所包围着的面积，我们知道AB，AD和DC的长，并且又知道表示BC曲线的函数（这样，我们就可以知道BC曲线上各点到AB线的距离），我们用什么方法，可以求出ABCD的面积呢？

一眼看去，这问题好像非常困难，因为BC线非常不规则，真是有点儿不容易对付。但是，你不必着急，只要应用我们前面已说过好几次的方法，就可以迎刃而解了。一开始，无妨先找它的近似值，再连续地使这近似值渐渐地增加它的近似的程度，直到我们得到精确的值为止。

这个方法，的确非常自然。前面我们已讨论过无限小的量的计算法，又说过将一条线分了又分、一直到分到无穷的方法，这些方法就可以供我们来解决一些较复杂、较困难的问题。先从粗疏的一步入手，循序渐进，便可达到精确的一步。

第一步，简直一点儿困难都没有，因为我们所要的只是一个大概的数目。

先把ABCD分成一些矩形，这些矩形的面积，我们自然已经会算了。

假如S的面积差不多等于1、2、3、4四个矩形的和，我们就先来算这四个矩形的面积，用它们各自的长去乘它们各自的宽。

这样一来，我们第一步所可得到的近似值，便是这样：不用说，从上图一看就可知道，这样得出来的结果相差很远，S的面积比这四个矩形的面积的和大得多。图中用了斜线画着的那四块，全都没有算在里面。

但是，这个误差，我们并不是没有一点儿办法补救的。先记好表示BC曲线的函数是已经知道的，我们可以求出BC上面各点到直线AD的距离。反过来就是对于直线AD上的每一点，可以找出它们和BC曲线的距离。假如我们把AD看作和以前各图中的水平线OH一样，AB就恰好相当于垂直线OV。在AD线上的点的值，我们就可说它是x，相应于这些点到BC的距离便是y，所以AD上的一点P到BC的距离就是一个变数。现在我们说AP的距离是x，AD上面另外有一点P′，AP′的距离是x′，过P和P′都画一条垂直线同BC相交在p和p1。pP、p1P′就相应地表示函数在x 和 x′那两点的值 y 和 y′。

结果，无论P和P′点在AD上什么地方，我们都可以将y和y′找出来，所以y是x的函数，可以写成：

y=f（x）

这个函数就是BC曲线所表示的。

现在，再来求面积S的值吧！将前面的四个矩形，再分成一些数目更多的较小的矩形。由下图就可看明白，那些从曲线上画出的和AD平行的短线都比较挨近曲线；而斜纹所表示的部分也比上面的减小了。因此，用这些新的矩形的面积的和来表示所求的面积S=1+2+3+……+12，比前面所得的误差就小得多。

再把AD分成更小的线段，比如是Ax1、Ax2、Ax3……由各点到曲线BC的距离设为y1、y2、y3……这些矩形的面积就是：

而总共的面积就等于这些小面积的和，所以：

若要想得出一个精确的结果，只需继续把AD分得段数一次比一次多，每段的间隔一次比一次短，每次都用各个小矩形的面积的和来表示所求的面积。那么，S和这所得的近似值，误差便越来越小了。

这样做下去，到了极限，就是说，小矩形的数目是无限多，而它们每一个的面积便是无限小，这一群小矩形的和便是真实的面积S。

但是，所谓数目无限的一些无限小的量的和，它的极限，照前节所讲过的，就是积分。所以我们刚才所讲的例子，就是积分在几何上的运用。

所求的面积S，就是x的函数y对x的积分。

换句话说，求一条曲线所切成的面积，必须计算那些连续的近似值，一直到极限，这就是所谓的积分。

到这里，为了要说明积分的原理，我们已举了两个例子：第一个，是说明积分法就是微分法的还原；第二个，是表示出积分法在几何学上的意味。将这些范围和形式都不相同的问题的解决法贯通起来，就可以明白积分法的意义，而且还可以扩张它的使用范围，不是吗？我们讲诱导函数的时候，也是一步一步地逐渐弄明白它的意义，同时也就扩张了它活动的领域。积分法既然是它的还原法，自然也可以照做了。比如说，前面我们只是用它来计算面积，但如果我们用它来计算体积，也一样。我们早就知道立方柱的体积等于它的长、宽、高相乘的积，假如我们所要求的那个物体的体积有一面是曲面，我们就可以先把它分成几部分，按照求立方柱的体积的方法，将它们的体积计算出来，然后将这几个积加在一起，这就是第一次的近似值了。和前面一样，我们可以再将各部分细化，求第二次、第三次……的近似值。这些近似值，因为越分项数越多，每项的值越小，所以近似程度就逐渐加高。到了最后，项数增到无限多，每项的值变成了无限小，这些和的极限，就是我们所求的体积，这种方法就是积分。