数学的园地里，最有趣味的一件事，就是许多重要的高楼大厦，有一座向东，就一定有一座向西，有一座朝南，就有一座朝北。使游赏的人，走过去又可以走回来。而这些两两相对的亭台楼阁，里面的一切结构、陈设、点缀，都互相关连着，恰好珠联璧合，相得益彰。

不是吗？你会加就得会减，你会乘就得会除；你学了求公约数和最大公约数，你就得学求公倍数和最小公倍数；你知道怎样通分的原理，你就得懂得怎样约分；你知道乘方的方法还不够，必须要知道开方的方法才算完全。原来一反一正不只是做文章的大道理呢！加法、乘法……算它们是正的，那么，减法、除法……恰巧相应地就是它们的还原，所以便是反的。

假如微分法算是正的，有没有和它相反的方法呢？

朋友！一点儿不骗你，正有一个和它相反的方法，这就是积分法。倘使没有这样一个方法，那么我们知道了一种运动的法则，可以算出它在每一刹那间的速度，有人和我们开玩笑，说出一个速度来，要我们回答他这是一种什么运动，那不是糟了吗？他若再不客气点儿，还要我们替他算出在某一个时间中，那运动所经过的空间距离，我们怎样下台？

假如别人向你说，有一种运动的速度，每小时总是5里，要求它的运动法则，你自然会不假思索地回答他：

他若问你，八个钟头的时间，这运动的东西在空间经过了多长距离，你也可以轻轻巧巧地就说出是40里。

但是，这是一个极简单的等速运动的例子呀！碰到的若不是等速运动，怎么办呢？

倘使你碰到的是一个粗心马虎的阔少，你只要给他一个大致的回答，他就很高兴，那自然什么问题也没有。不是吗？咱们中国人是大方惯了的，算什么都四舍五入，又痛快又简单。你去过菜市场吗？你看那卖菜的虽是提着一杆秤在称，但那秤总不要它平，而且称完了，买的人觉得不满足，还可任意从篮子里抓一把来添上。在这样的场合，即使有人问你什么速度、什么运动，你可以很随便地回答他。其实呢，在日常生活中，本来用不到什么精密的计算，所以上面提出的问题，若为实际运用，只要有一个近似的解答就行了。

近似的解答并不难找，只要我们能够知道一种运动的平均速度就可以了。举一个例子，比如，我们知道一辆汽车，它的平均速度是每小时40公里，那么，5小时它“大约”行驶了200公里。

但是，我们知道了那汽车真实的速度，常常是变动的，又想要将它在一定的时间当中所走的路程计算得更精密些，就要知道许多相离很近的刹那间的速度——一串平均速度。

这样计算出来的结果，自然比前面用一小时做单位的平均速度来计算所得的要精确些。我们所取的一串平均速度，数目越多，互相隔开的时间间隔越短，所得的结果，自然也就越精确。但是，无论怎样，总不是真实的情形。

怎样解决这个问题呢？

一辆汽车在一条很直的路上行驶了一个小时，它每一刹那间的速度，我们也知道了。那么，它在一个小时内所经过的路程，究竟是怎样的呢？

第一个求近似值的方法：可以将一个小时的时间分成每5分钟一个间隔，在这十二个间隔当中，每一个间隔，我们都选一个在一刹那间的真速度。比如说在第一个间隔里，每分钟v1米是它在某一刹那间的真实速度；在第二个间隔里，我们选v2；第三个间隔里，选v3……这样一直到v12。

这辆汽车在第一个5分钟时间内所经过的路程，和5v1米相近；在第二个5分钟里所经过的路程，和5v2米相近，以下也可以照推。

它一个小时所通过的距离，就近于经过这十二个时间间隔所走的距离的和，就是说：

这个结果，也许恰好就是正确的，但对我们来说也没有用，因为它是不是正确的，我们没有办法去决定。一般地说来，它总是和真实的相差不少。

实际上，上面的方法虽已将时间分成了十二个间隔，但在每5分钟这一段里面，还是用一个速度来作平均速度。虽则这个速度在某一刹那是真实的，但它和平均速度比较起来，也许太大了或是太小了。跟着，我们所算出来的那段路也说不定会太大或太小。所以，这个算法要得出确切的结果，差得还远呢！

不过，照这个样子，我们还可以做得更精细些，无妨将5分钟一段的时间间隔分得更小些，比如说，一分钟一段。那么所得出来的结果，即便一样地不可靠，相差的程度总会小些。就照这样做下去，时间的间隔越分越小，我们用来做代表的速度，也就更近于那段时间中的平均速度。我们所得的结吴，跟着便更近于真实的距离。

除了这个方法，还有第二个求近似值的方法：假如在那一个小时的时间内，每分钟选出的一刹那间的速度是v1、v2、v3……v60，那么所经过的距离d便是：

照这样继续做下去，把时间的段数越分越多，我们所得出的距离近似的程度就越来越大。这所经过的路程的值，我们总用项数逐渐增加，每次的数值逐渐近于真实，这样的许多数的和来表示。实际上，每一项都表示一个很小的时间间隔乘一个速度所得的积。

我们还得将这个方法继续讲下去，请你千万不要忘掉，和数中的各项，实际都表示那路程的一小段。

我们按照数学上惯用的假设来说：现在我们想象将时间的间隔继续分下去，一直到无限，那么，最后的时间间隔，便是一个无限小的量了，用我们以前用过的符号来表示，就是Δt。

我们不要再找什么很小的时间间隔中的任何速度了吧，还是将以前讲过的速度的意义记起来。确实，我们能够将时间间隔无限地分下去，到无限小为止。在这一刹那的速度，依以前所说的，便是那运动所经过的路程对于时间的诱导函数。由此可见，这速度和这无限小的时间的乘积，便是一刹那间运动所经过的路程。自然这路程也是无限小的，但是将这样一个个无限小的路程加在一起，不就是一个小时内总共的真实路程了吗？不过，道理虽是这样，一说就可以明白，实际要照普通的加法去加，却无从下手。不但因为每个相加的数都是无限小的，还有这加在一起的无限小的数的数目却是无限大的。

一个小时的真实路程既然有办法得到，只要将它重用起来，无论多少小时的真实路程也就可以得到了。一般地说，我们仍然设时间是t。

照上面看起来，对于每一个t的值，我们都可以得出距离d的值来，所以d便是t的函数，可以写成下面的样子：

换句话来说，这就表示那运动的法则。

归根结底，我们所要找寻的只是将一个诱导函数还原转去的方法。从前是知道了一种运动法则，要求它的速度，现在却是由速度要反回去求它所属的运动法则。从前用过的由运动法则求速度的方法，叫作诱导函数法，所以得出来的速度也叫诱导函数。

现在我们所要找的和诱导函数法正相反的方法便叫“积分法”。所以一种运动在一段时间内所经过的距离d，便是它的速度对于时间的“积分”。

顺着前面看下来，你大概已经明白“积分”是什么意思了。为了使我们的观念更清晰，用一般惯用的名词来说，所谓“积分”就是：“无限大的数目这般多的一些无限小的量的总和的极限。”

话虽只有一句，“的”字太多了，恐怕反而有些眉目不清吧！那么，重说一次，我们将许许多多的，简直是数不清的，一些无限小量加在一起，但这不能照平常的加法去加，所以只好换一个方法，求这个总和的极限，这极限便是所谓的“积分”。

这个一般的定义虽然也能够用到关于运动的问题上去，但我们现在还能进一步去研究它。只需把已说过的关于速度这种函数的一些话，重复一番就好了。

设若y是变数x的一个函数，照一般的写法：

对于每一个x的值，y的相应值假如也知道了，那么，函数f（x）对于x的积分是什么东西呢？

因为积分法就是诱导函数法的反方法，那么，要将一个函数f（x）积分，无异于说：另外找一个函数，比如是f（x），而这个函数不可以随便拿来搪塞，f（x）的诱导函数必须恰好是函数f（x）。这正和我们知道了3和5要求8用加法，而知道了8同5要求3用减法是一样的，不是吗？在代数里面，减法精密的定义就得这样：“有a和b两个数，要找一个数出来，它和b相加就等于a，这种方法便是减法。”

前面已经说过的积分法，我们再来做个例子。

我们先选好一段变数的间隔，比如，有了起点O，又有x的任意一个数值。我们就将O和x当中的间隔分成很小很小的小间隔，一直到可以用Δx表示。在每一个小小的间隔里，我们随便选一个x的值x1、x2、x3……

因为函数f（x）对于x的每一个值都有相应的值，它相应于x1、x2、x3……的值我们可以用f（x1）、f（x2）、f（x3）……来表示，那么这总和就应当是：

在这个式子里面Δx越小，也就是我们将Ox分的段数越多，它的项数跟着也就多起来，但是每项的数值却越来越小了。这样我们不是又可以得出另外一个不同的总和来了吗？假如继续不断地照样做下去，逐次新做出来的总比前一次精确些。到了极限，这个和就等于我们要找的F（x）了。所以积分法，就是要求一个总和。F（x）是f（x）的积分，掉过来f（x）就是F（x）的诱导函数，由前面的微分的表示法：

若把一个S拉长了写成“∫”这个样子，作为积分的符号，那么F（x）和f（x）的关系又可以这样表示：

第一、第二两个式子的意义虽然不相同，但表示的两个函数的关系却是一样的，这恰好和“赵阿狗是赵阿猫的爸爸”和“赵阿猫是赵阿狗的孩子”一样。意味呢，全然两样。但“阿狗”“阿猫”都姓赵，而且“阿狗”是爸爸，“阿猫”是孩子，这个关系，在两句话当中总是一样地包含着。

讲诱导函数的时候，先用运动来做例，再从数学上的运用去研究它。积分法，除了知道速度，去求一种运动的法则以外，还有别的用场没有呢？