暑假已快完结，马先生的讲述，这已是第三十次。全部算术中的重要题目，可以说，十分之九都提到了。还有许多要点，是一般的教科书上不曾讲到的。这个暑假，我过得算最有意义了。

今天，马先生来结束全部的讲授。他提出混合比例的问题，照一般算术教科书上的说法，将混合比例的问题分成四类，马先生就按照这种顺序讲。

第一，求平均价。

例一：上等酒二斤，每斤三角五分；中等酒三斤，每斤三角；下等酒五斤，每斤二角。三种相混，每斤值多少钱？

这又是已经讲过的——第十三节——老题目，但周学敏这次不开腔了，他大概和我一样，正期待着马先生的花样翻新吧。

“这个题目，第十三节已讲过，你们还记得吗？”马先生问。

“记得！”好几个人回答。

“现在，我们已有了比例的概念和它的表示法，无妨变一个花样。”果然马先生要掉换一种方法了，“你们用纵线表示价钱，横线表示斤数，先画出正好表示上等酒二斤一共的价钱的线段。”

当然，这是非常容易的，我们画了OA线段。

“再从A起画表示中等酒三斤一共的价钱的线段。”我们又作AB。

“又从B起画表示下等酒五斤一共的价钱的线段。”这就是BC。

“连接OC。”我们照办了。

图139

马先生问：“由OC看来，三种酒一共值多少钱？”“二元六角。”我说。

“一共几斤？”

“十斤。”周学敏说。

“怎样找出一斤的价钱呢？”

“由指示一斤的D点。”王有道说，“画纵线和OC交于E，由E横看得F，它指出2角6分来。”

“对的！这种作法并不比第十三节所用的简单，不过对于以后的题目来说，却比较适用。”马先生这样做一个小小的结束。

第二，求混合比。

例二：上茶每斤价值1元2角，下茶每斤价值8角。现在要混成每斤价值9角5分的茶，应依照怎样的比配合？

依了前面马先生所给的暗示，我先作好表示每斤1元2角、每斤8角和每斤9角5分的三条线OA、OB和OC。再将它和图139比较一下，我就想到将OB搬到OC的上面去，便是由C作CD平行于OB。它和OA交于D，由D往下到横线上得E。

上茶∶下茶＝OE∶EF＝9∶15＝3∶5。

上茶3斤价值3元6角，下茶5斤价值4元，一共8斤价值7元6角，每斤正好价值9角5分。

图140

自然，将OA搬到OC的下面，也是一样的。即过C作CH平行于OA，它和OB交于H。由H往下到横线上，得K。

下茶∶上茶＝OK∶KF＝15∶9＝5∶3。

结果完全一样，不过顺序不同罢了。

其实这个比由A1、C1、B1和A2、C2、B2的关系就可看出来的：

把这种情形和算术上的计算法比较，更是有趣。

例三：有四种酒，每斤的价为：A，5角；B，7角；C，1元2角；D，1元4角。怎样混合，可成每斤价9角的酒？

图141

作图是容易的，依每斤的价钱，画OA、OB、OC、OD和OE五条线。再过E作OA的平行线，和OC、OD交于F、G。又过E作OB的平行线，和OC、OD交于H、I。由F、G、H、I各点，相应地便可得出A和C、A和D、B和C，同着B和D的混合比来。配合这些比，就可得出所求的数。因为配合的方法不同，形式也就各别了。

马先生说，本题由F、G、H、I各点去找A和C、A和D、B和C，同着B和D的比，反不如就AE、BE、CE、DE看来得简明。依照这个看法：

AE＝12，BE＝6，

CE＝9，DE＝15。

因为只用到它们的比，所以可变成：

AE＝4，BE＝2，

CE＝3，DE＝5。

再注意把它们的损益相消，就可以配合成了。

配合的方式，本题可有七种。马先生叫我们共同考察，将算术上的算法，和图对照起来看，这实在是又切实又有趣的工作。本来，我们照呆法子计算的时候，方法虽懂得，结果虽不差，但心里面总是模糊的。现在，经过这一番探讨，才算一点儿不含糊地明了了。

配合的方式，可归结成三种，就依照这样，分别写在下面：

（一）损益各取一个相配的，在图上，就是OE线的上（损）和下（益）各取一个相配。

第三，求混合量——知道了全量。

例四：鸡、兔同一笼，共十九个头，五十二只脚，求各有几只？

图142

这原是马先生说过——第十节——在混合比例中还要讲的。到了现在，平心而论，我已掌握它的算法了：先求混合比，再依按比分配的方法，把总数分开就行。

且先画图吧。用纵线表示脚数，横线表示头数，A就指出十九个头同五十二只脚。

连OA表示平均的脚数，作OB和OC表示兔和鸡的数目。又过A作AD平行于OC，和OB交于D。

由D往下看到横线上，得E。OE指示7，是兔的只数；EF指出12，是鸡的只数。

计算的方法，虽然很简单，却不如作图法的简明：

在这里，因为混合比的两项12同7的和正是19，所以用不着再计算一次按比分配了。

例五：上、中、下三种酒，每斤的价是3角5分、3角和2角。要混合成每斤2角5分的酒100斤，每种需多少？

图143

作OA、OB、OC和OD分别表示每斤价2角5分、3角5分、3角和2角的酒。这个图正好表出：上种酒损1角，BA；中种酒损5分，CA；而下种酒益5分，DA。因而混合比是：

依这个比，在右边纵线上取1和3，过1和3作线平行于OA，交横线于80和40。从80到100是20，从40到100是60。即上酒20斤、中酒20斤、下酒60斤。

算法和前面一样，不过最后需按1∶1∶3的比分配100斤罢了。所以，本不想把式子写出来。

但是，马先生却问：“这个结果自然是对的了，还有别的分配法没有呢？”

为了回答这个问题，只得将式子写出来。

混合比仍是1∶1∶3，把100斤分配下来，自然仍是20斤、20斤和60斤了，还有什么疑问呢？

不！但是不！马先生说：“比是活动的，在这里，上比下和中比下，各为5∶10和5∶5，也就是1∶2和1∶1。从根本上讲，只要按照这两个比，分别取出各种酒相混合，损益都正好相抵消而合于平均价，所以：

（1）和（2）是已用过的，（3）（4）（5）和（6）都可得出答数来。”是的，由（4），2、7、11的和是20，所以：

“除了这几种，还有没有呢？”我正怀着这个疑问，马先生却问了出来，但是没有什么人回答。后来，他说，还有，但还有更根本的问题要先解决。

又是什么问题呢？

马先生问：“你们就这几个例看，能得出什么结果呢？”

“各个连比三次的和，是 5（2）、20[（4）和（6）]、25[（1）（3）（5）和（7）]，都是100的约数。”王有道回答。

“这就是根本问题。”马先生说，“因为我们要的是整数的答数，所以这些数就得除得尽100。”

“那么，能够配来合用的比，只有这么多了吗？”周学敏问。

“不只这些，不过配成各项的和是5或20或25的，只有这么多了。”马先生回答。

“怎么知道的呢？”周学敏追问。

“那是一步一步推算的结果。”马先生说，“现在你仔细看前面的六个连比。把（2）做基本，因为它是最简单的一个。在（2）中，我们又用上和下的比，1∶2做基本，将它的形式改变。再把中和下的比，1∶1也跟着改变，来凑成三项的和是5，或20或25。例如，用2去乘这两项，得2∶4，它们的和是6。20减去6剩14，折半是7，就用7乘第二个比的两项，这样就是（4）。”

“用2乘第一个比的两项，得2∶4，它们的和是6。第二个比的两项，也用2去乘，得2∶2，它们的和是4。连比变成2∶2∶6，三项的和是10，也能除尽100。为什么不用这一个连比呢？”王有道问。

“不是不用，是可以不用。因为2∶2∶6和（1）的5∶5∶15同着（2）的1∶1∶3是相同的。由此可以看出，乘第一个比的两项所用的数，必须和乘第二比的两项所用的数不同，结果才不同。”

马先生回答后，王有道又说：“你们索性再进一步探究。第一个比，1∶2，两项的和是3，是一个奇数。第二个比，1∶1，两项的和是2，是一个偶数。所以，第一个比的两项，无论用什么数（整数）去乘，它们的和总是3的倍数。并且，乘数是奇数，这个和也是奇数；乘数是偶数，它也是偶数。再说奇数加偶数是奇数，偶数加偶数仍然是偶数。

“跟着这几个法则，我们来检查上面的（3）（5）（6）（7）四种混合比。（3）的第一个比的两项没有变，就算是用1去乘，结果两项的和是奇数，所以连比三项的和也只能是奇数，它就只能是25。［5就是（2）。］（5）的第一个比的两项，是用3去乘的，结果两项的和是奇数，所以连比三项的和也只能是奇数，它就只能是25。在这里，要注意，若用4去乘第一个比的两项，结果它们的和是12，只能也用4去乘第二个比的两项，使它成4∶4，而连比成为4∶4∶12，这和（1）同（2）一样。若用5去乘第一个比的两项，不用说，得出来的就是（1）了。所以（6）的第一个比的两项是用6去乘的，结果它们的和是18，偶数，所以连比三项的和只能是20。20减去18剩2，正是第二个比两项的和。用7去乘第一个比的两项，结果，它们的和是21，奇数，所以连比三项的和只能是25。25减去21剩4，折半得2，所以第二个比，应该变成2∶2，这就是（7）。

“假如用8以上的数去乘第一个比的两项，结果它们的和已在24以上，连比三项的和当然超过25。——这就说明了配成连比三项的和是5或20 或 25 的，只有（2）（3）（4）（5）（6）（7）六种。”

“那么，这个题，也就只有这六种答数了？”一个同学问。

“不！我已回答过周学敏。周学敏！连比三项的和，合用的，还有什么？”马先生问。

“50和100。”周学敏回答。

“对的！那么，还有几种方法可配合呢？”马先生又问。

“……”

“没有人能回答上来吗？这不是很便当吗？”马先生说，“其实也是很呆板的。第一个比变化后，两项的和总是‘3’的倍数，这是第一点。（7）的第一个比两项的和已是21，这是第二点。50和100都是偶数，所以变化下来的结果，第一个比两项的和必须是‘3’的倍数，而又是偶数，这是第三点。由这三点去想吧！先从50起。”

“由第一、二点想，21以上50以下的数，有几个数是3的倍数？”马先生问。

“50减去21剩29，3除29可得9，一共有9个。”周学敏说。

“再由第三点看，只能用偶数，9个数中有几个可用？”

“21以后，第一个3的倍数是偶数。50前面，第一个3的倍数，也是偶数。所以有5个可用。”王有道说。

“不错。24、30、36、42和48，正好5个。”我一个一个地想了出来。

“那么，连比三项的和，配成这五个数，都合用吗？”马先生问。

大概这中间又有什么问题了。我就把五个连比都做了出来。结果，真是有问题。

第一：用10乘第一个比的两项，得10∶20，它们的和是30。50减去30剩20，折半得10，连比便成了10∶10∶30，等于1∶1∶3，同（2）是一样的。

第二：用14乘第一个比的两项，得14∶28，它们的和是42。50减去42剩8，折半得4，连比便成了14∶4∶32，等于7∶2∶16，同（7）一样。

我将这个结果告诉了马先生，他便说：“可见得，只有三种方法可配合了。连同上面的六种——（1）和（2）只是一种——一共不过九种。此外，就没有了？”

我觉得，这倒很有意思。把九种比写出来一看，除前面的（2），它是作基本的以外，都是用一个数去乘（2）的第一个比的两项得出来的。这些乘数，依次是1、2、3、6、7、8、12和16。用5、10或14做乘数的结果，都与这九种中的一种重复。用9、11、13或15去乘是不合用的。我正在玩味这些情况，突然周学敏大声说：“马先生，不对！”

“怎么？你发现了什么？”马先生很诧异。

“前面的（4）和（6），第一个比两项的和都是偶数，不是也可以将连比配成三项的和都是50吗？”周学敏得意地说。

“好！你试试看。”马先生说，“这个漏洞，你算捉到了。”

我觉得很奇怪，为什么马先生早没有注意到呢？

“（4）的第一个比，两项的和是6。50减去6剩44，折半是22，所以第二个比可变成22∶22，连比是2∶22∶26。”周学敏说。

“用2去约来看。”马先生说。

“是1∶11∶13。”周学敏回答。

“这不是和（3）一样了吗？”马先生说。周学敏却窘了。

接着，马先生又说：“本来，这也应当探究的，再把那一个试试看。”我知道，这是他在安慰周学敏了。其实周学敏的这点精神，我也觉得佩服。

“（6）的第一个比，两项的和，是18。50减去18剩32，折半得16，所以连比是6∶16∶28。——还是可用2去约，约下来是3∶8∶14，正和（5）一样。”周学敏连不合用的理由也说了出来。

“好！我们总算把这个问题解析得很透彻了。周学敏的疑问虽是对的，可惜他没抓住最紧要的地方。他只看到前面的七种，不曾想到七种以外。这一点我本来就要提醒你们的。假如用4去乘（2）的第一个比的两项，得的是4∶8，它们的和便是12。50减去12剩38，折半是19。第二个比是19∶19。连比便是4∶19∶27。加上前面的九种一共有十种配合法。这种探究，不过等于一种游戏。假如没有总数100的限制，混合的方法本来是无穷的。”

对于这样的探究，我觉得很有趣，就把各种结果抄在后面。

“但是，连比三项的和是100的呢？”一个同学问马先生。

他说：“这也应该探究一番，一不做二不休，干脆尽兴吧！从哪里下手呢？”

“就和刚才一样，先找100以内的3的倍数，而且又是偶数的。3除100可得33，就是一共有三十三个3的倍数。第一个3和末一个99都是奇数。所以，100以内，只有16个3的倍数是偶数。”周学敏回答得清楚极了。

“那么，混合的方法，是不是就有十六种呢？”马先生又提出了问题。

“只好一个一个地做出来看了。”我说。

“那倒不必这么老实。例如第一个比两项的和是3的倍数又是偶数，还是4的倍数的，大半就不必要。”马先生提出的这个条件，我还不明白是什么原因。我便追问：“为什么？”

“王有道，你试着解释看。”马先生叫王有道回答。

“因为：第一，100本是4的倍数。第二，第二个比总是由100减去第一个比的两项的和，折半得出来的，所以至少第二比的两项都是2的倍数。第三，这样合成的连比，三项都是2的倍数。用2去约，结果三项的和就在50以内，与前面用过的便重复了。例如24，若第一个比为8∶16。100减去24，剩76，折半是38，第二个比是38∶38。连比便是8∶38∶54，等于4∶19∶27。”王有道的解释我明白了。

“照这样说起来，十六个数中，有几个不必要的呢？”马先生又问。

“3的倍数又是4的倍数的，就是12的倍数。100用12去除，可得8。所以有8个是不必要的。”王有道想得真周到。

“剩下的八个数中，还有不合用的吗？”这个问题又把大家难住了。还是马先生来提示：“30的倍数，也是不必要的。”

这很容易考察，100以内30的倍数，只有30、60和90这三个。60又是12的倍数，依前面的说法，已不必要了，只剩30和90。它们同着100都是5和10的倍数。100和它们的差，当然是10的倍数，折半后便是5的倍数。两个比的各项同是5的倍数，它们合成的连比的三项，自然都可用5去约。结果这两个连比三项的和都成了20，也重复了。

所以八个当中又只有六个可用，那就是：

对于这一个例题，寻根究底地，弄得够多的了。接着马先生就讲第四类。

第四，求混合量——知道了一部分的量。

例六：每斤价8角、6角、5角的三种酒，混合成每斤价7角的酒。所用每斤价8角和6角的斤数的比为3∶1，怎样配合法？

这很简单。先作OA表示每斤7角。次作OB表示每斤8角，B正在纵线3上。从B作BC，表示每斤6角。C正在纵线4上——这样一来，两种斤数的比便是3∶1——从C再作CD表示每斤5角。CD和OA交在纵线5上的D。所以，三种的比是：

图144

试把计算法和它对照：

例七：每斤价5角、4角、3角的酒，混合成每斤价4角5分的，5角的用11斤，4角的用5斤，3角的要用多少斤？

本题的作图法，和前一题的，除所表的数目外，完全相同。由图上一望可知，OB1是11斤，B1C1是5斤，C1D1是2斤。和计算法比较，算起来还是麻烦些。

图145

由混合比得混合量，这一步比较麻烦，远不如画图法来得直接、痛快。先要依题目上所给的数量来观察，4角的酒是5斤，就用5去乘第二个比的两项。5角的酒是11斤，但有5斤已确定了，11减去5剩6，它是第一个比第一项的2倍，所以用2去乘第一个比的两项。这就得混合量中的第一栏。结果，三种酒依次是11斤、5斤、2斤。

例八：将三种酒混合，其中两种的总价是9元，合占1斗5升。第三种酒每升价3角，混成的酒每升价4角5分，求第三种酒的升数。

“这是弄点儿小聪明的题目，两种酒既然有了总价9元和总量1斗5升，这就等于一种了。”马先生说。

明白了这一点，还有什么难呢？

图146

作OA表示每升价4角5分的。OB表示1斗5升价9元的。从B作BC，表示每升价3角的。它和OA交于C。图上，OB1指1斗5升，OC1指3斗。OC1减去OB1剩B1C，指1斗5升，这就是所求的。

照这作法来计算，便是：

这题算完以后，马先生在讲台上，对着我们静静地站了两分钟：“李大成，你近来对算学的兴趣怎样？”

“觉得很浓厚。”我不由自主地很恭敬地回答。

“这就好了，你可以相信，算学也是人人能领受的了。暑假已快完了，你们也应当把各种功课都整理一下。我们的谈话，就到这一次为止。我希望你们不要偏爱算学，也不要怕它。无论对于什么功课，都不要怕！你们不怕它，它就怕你们。对于做一个现代人不可缺少的常识，以及初中各科所教的，别人能学，自己也就能学，用不着客气。勇敢和决心，是打破一切困难的武器。求知识，要紧！精神的修养，更要紧！”

马先生的话停住了，静静地听他讲话的我们都睁着一双贪得无厌的馋眼望着他。