今天所讲的是前面所说的第三类，单纯关于分数自身变化的问题，大都是在某一些条件下，找出原分数来，所以，我就给它起这么一个标题——显出原形。

“先从前面举过的例子说起。”马先生说了这么一句，就在黑板上写出：

图110

“相差1。”我回答。

“这两直线上所有的同分子分数，它们俩的分母间的关系都一样吗？”

“都一样！”周学敏说。

“可见我们要求的分数总在CD线上。对于OB来说又应当怎样呢？”

“作ED和OB平行，两者之间相距2。”王有道回答。

“对的！原分数是什么？”

“和它分子相同，OA线所表示的分数是什么？”

“OB线所表示的同分子的分数呢？”

“这两个分数的分母与原分数的分母比较有什么区别？”

“一个多1，一个多2。”由此可见，所求出的结果是不容怀疑的了。

这次，又用得着依样画葫芦了。

图111

由第二个条件，知道分母比分子的2倍“少”1。

所以：

马先生看我们作好图以后，这样问：“你们求出来的原分数是什么？”

马先生听了周学敏的回答，便问：“还有别的答数没有？”

图112

“偶然想到的。”他这样回答。在他也许是真情，在我却感到失望。马先生！马先生！只好静候他来解答这个谜了。

遵照马先生的话，我把这些分数排起来，得这样一串：

我马上就看出来：

第一，分母是一串连续的偶数。

第二，分子是一串连续的整数。

跟着前两个题看下来，这是很容易的。

假如，我们用“整数的2倍”表示“偶数”，这个题的答数，就是这样一个形式的分数：

这个情形，由图上怎样解释呢？我想起了在交差原理中有这样的话：

“两线不止一个交点会怎么样？”

“那就是这题不止一个答案……”

这里，两线合成了一条，自然可说有无穷的交点，而答案也是无数的了。

真的！“把它弄明白以后，它就变得极平常了。”

图113

“这回不能依样画葫芦了。”马先生说，“假如你们已经知道了减去的数，照抄老文章，怎样画法？”

我把我所想到的说了出来。

马先生接着说：“这条路走错了，会越走越黑的。现在你来实验一下。实验和观察，是研究一切科学的初步工作，许多发明都是从实验中产生的。假如从分母和分子中各减去1，得什么？”

“各减去8呢？”

关于这一点，马先生的说明是这样：“从原分数的分母和分子中‘减去’同一个数，所得的数用‘点’表示出来，如A1和A2。就分母说，当然要在经过A这条纵线的‘左’边；就分子说，在经过A这条横线的‘下’面。并且，因为减去的是‘同一个’数，所以这些点到这纵线和横线的距离相等。这两条线可以看成是正方形的两边。正方形对角线上的点，无论哪一点到两边的距离都一样长。反过来，到正方形的两边距离一样长的点，也都在这条对角线上，所以我们只要画AD这条对角线就行了。它上面的点到经过A的纵线和横线距离既然相等，则这点所表示的分数的分母和分子与A点所表示的分数的分母和分子，所差的当然相等了。”

现在转到本题的算法。分母和分子所减去的数相同，换句话说，便是它们的差是一定的。这一来，就和第八节中所讲的年龄的关系相同了。我们可以设想为：

它的算法便是：

图114

“用这个容易的题目来结束分数四则问题，你们自己先画个图看。”马先生说。

我硬着头皮去请教马先生。他说：“这又是‘六窍皆通’了。CA1既然表示分母加了10的分数，再把这分数的分子也加上10，不就和OB所表示的分数相同了吗？”

计算法，倒是容易：