“分数是什么？”这是马先生今天的第一句话。

“是许多个小单位聚合成的数。”周学敏回答。

“你还可以说得明白点儿吗？”马先生问。

“好！这也是一种说法，而且是比较实用的。照这种说法，怎样用线段表示分数呢？”马先生问。

“和表示整数一样，不过用表示1的线段的若干分之1做单位罢了。”王有道这样回答以后，马先生叫他在黑板上作出图80来。其实，这是以前无形中用过的。

图80

“分数是什么？还有另外的说法没有？”马先生等王有道回到座位坐好以后问。经过好几分钟，还是没有人回答，他又问：“4是多少？”

2

“2！”谁都知道。

“6。”大家一同回答，心里都好像以为这只是不成问题的问题。

“0.5。”周学敏回答。

“0.25。”还是周学敏回答的。

“你们回答的这些数，分数的值，怎么来的？”

“自然是除得来的哟。”依然是周学敏。

“自然！自然！”马先生说，“就顺了这个自然，我说，分数是表示两个数相除而未除所成的数，可不可以？”

“……”想着，当然是可以的，但没有一个人回答。大概他们和我一样，觉得有点儿拿不稳吧，只好由马先生自己回答了。

图81

“一样的！”我们回答。

“这些分数的值怎样？”

“再就OB线看，有几个同值的分数？”

“不错！这样看来，表同值分数的点，都在一条直线上。反过来，一条直线上的各点所指示的分数是不是都是同值的呢？”

“……”我想回答一个“是”字，但找不出理由来，最终没有回答，别人也只是低着头想。

“你们试在线上随便指出一点来试试看。”

“A8。”我说。

“B4。”周学敏说。

“A8指示的分数是什么？”

B4所指示的分数，依样画葫芦，我们得出：

“由这样看来，对于前面的问题，我们可不可以回答一个‘是’字呢？”马先生郑重地问。就因为他问得很郑重，所以没有人回答。

“我来一个自问自答吧！”马先生说，“可以，也不可以。”惹得大家哄堂大笑。

“不要笑，真是这样。实际上，本是如此，所以你回答一个‘是’字，别人绝不能提岀反证来。不过，在理论上，你现在没有给它一个充分的证明，所以你回答一个‘不可以’，也是你虚心求稳。——我得结束一句，再过一年，你们学完了平面几何，就会给它一个证明了。”

用这种方法表示分数，它的效用就此可叹为观止了吗？不！还有更浓厚的趣味哩。

第一，是通分，马先生提出下面的例题。

图82

第二，比较分数的大小。

这个结果，图上显示得非常清楚，OB线高于OA线，OA线高于OC线，无论这三个分数的分母是否相同，这个事实绝不改变，还用得着通分吗？

照分数的性质说，分子相同的分数，分母越大的值越小。这一点，图上显示得更清楚了。

第三，这是普通算术书上不常见到的，就是求两个分数间，有一定分母的分数。

图83

“这还不够。”王有道发表了意见，“因为题上所要求的，限于14做分母的分数。公分母504是14的36倍，分子必须是36的倍数，才约得成14做分母的分数。”这个意见当然很对，而且也是本题要点之一。依照这个意见，我们找出在196和315中间，36的倍数，只有216（6倍）、252（7倍）和288（8倍）三个。而：

与前面所得的结果完全相同，但步骤繁琐得多。

马先生还提出一个计算起来比这更繁琐的题目，但由作图法解决，真不过是“举手之劳”。

例三：求分母是10和15中间各整数的分数，分数的值限于在0.6和0.7中间。

图84

由图上，一眼就可以看出来，所求的分数只有下面五个：

第四，分数怎样相加减？

“异分母分数的加减法，你们都已知道了吧？”马先生问。

图85

“先通分！”周学敏回答。

“为什么要通分呢？”

“因为把分数看成许多小单位集合成的，单位不同的数，不能相加减。”周学敏加以说明。

“对的！那么，现在我们怎样在图上将这两个分数相加减呢？”

“OC1和OD1这两条直线所表示的分数，最左的一个各是什么？”马先生问。