例一:酒4升可换茶3斤;茶5斤可换米12升;米9升可换酒多少?
马先生写好了题,问道:“这样的题,在算术中,属于哪一部分?”
“连比例。”王有道回答。
“连比例是怎么一回事,你能简单说明吗?”
“是由许多简比例连合起来的。”王有道说。
“这也是一种说法,照这种说法,你把这个题做出来看看。”
下面就是王有道做的:
(1)简比例的算法:
(2)连比例的算法:
这两种算法,其实只有繁简和顺序不同,根本毫无差别。王有道为了说明它们相同,还把(1)中的第四式这样写:
它和(2)中的第二式完全一样。
马先生对于王有道的做法很满意,但他说:“连比例也可以说是两个以上的量相连续而成的比例,不过这和算法没有什么关系。”
“连比例的题,能用画图法来解吗?”我想着,因为它是一些简比例合成的,应该可以。但一方面又想到,它所含的量在三个以上,恐怕未必行,因而不能断定。我索性向马先生请教。
“可以!”马先生斩钉截铁地回答,“而且并不困难。你就用这个例题来画画看吧。”
图129
可先依照酒4升茶3斤这个比,用纵线表示酒,横线表示茶,画出OA线。再……我就画不下去了。米用哪条线表示呢?其实,每个人都没有下手。马先生看看这个,又看看那个:“怎么又犯难了!买醋的钱,买不了酱油吗?你们个个都可以成牛顿了,大猫走大洞,小猫一定要走小洞,是吗?——纵线上,现在你们的单位是升,一只升子1量了酒就不能量米吗?”
这明明是在告诉我们,又用纵线表示米,依照茶5斤可换米12升的比,我画出了OB线。我们画完以后,马先生巡视了一周,才说:“问题的要点倒在后面,怎样找出答数来呢?——说破了,也不难。9升米可换多少茶?”
我们从纵线上的C(表示9升米),横看到OB上的D(茶、米的比),往下看到OA上的E(茶、酒的比),再往下看到F(茶15/4斤)。
“茶的斤数,就题目说,是没用处的。”马先生说,“你们由茶和酒的关系,再看‘过’去。”
“过”字说得特别响。我就由E横看到G,它指着5升,这就是所求酒的升数了。
例二:酒3升的价钱等于茶2斤的价钱;茶3斤的价钱等于糖4斤的价钱;糖5斤的价钱等于米9升的价钱。酒1斗2可换米多少?
“举一反三。”马先生写了题说,“这个题,不过比前一题多一个弯儿,你们自己做吧!”
我先取纵线表示酒,横线表示茶,依酒3茶2的比,画OA线。又取纵线表示糖,依茶3糖4的比,画OB线。再取横线表示米,依糖5米9的比,画OC线。
最后,从纵线10——1斗酒——横着看到OA上的D,酒就换了茶。由D往下看到OB上的E,茶就换了糖。由E横看到OC上的F,糖依然一样多,但由F往下看到横线上的16,糖已换了米——酒1斗换米1斗6升。
图130
照连比例的算法:
结果当然完全相同。
例三:甲、乙、丙三人赛跑,100步内,乙负甲20步;180步内,乙胜丙15步;150步内,丙负甲多少步?
本题,也含有不是比例的条件,所以应当先改变一下。“100步内,乙负甲20步”,就是甲跑100步时,乙只跑80步;“180步内,乙胜丙15步”,就是乙跑180步时,丙只跑165步。照这两个比,取横线表示甲和丙所跑的步数,纵线表示乙所跑的步数,我画出OA和OB两条线来。
图131
由横线上150——甲跑的步数——往上看到OA线上的C——它指明,甲跑150步时,乙跑120步。——再由C横看到OB线上的D,由D往下看,横线上110,就是丙所跑的步数。从110到150相差40,便是丙负甲的步数。
计算是这样:
150步-110步=40步
例四:甲、乙、丙三人速度的比,甲和乙是3∶4,乙和丙是5∶6。丙20小时所走的距离,甲需走多长时间?
“这个题目,当然很容易,但需注意走一定距离所需的时间和速度是成反比例的。”马先生警告我们。
图132
因为这个警告,我们便知道,甲和乙速度的比是3∶4,则它们走相同的距离,所需的时间的比是4∶3;同样地,乙和丙走相同的距离,所需的时间的比是6∶5。至于作图的方法和前一题相同。最后由横线上的20,就用它表示时间,直上到OB线的C,由C横过去到OA上的D,由D直下到横线上32。它告诉我们,甲需走32小时。
计算的方法是: