由于求某些实际问题的精确而产生了极限的思想.例如，我国春秋战国时期的哲学家庄子在《天下篇》中有如下描述：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，就体现了初步的极限思想.极限是微积分学中一个基本概念，极限是变量变化的终极状态.微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终都是由极限来解决.因此，在微积分学中，极限占有非常重要的地位.

一、　x→∞时函数的极限

引例121分析反比例函数y=1x，当x无限增大时的变化趋势.

分析当x→+∞时，y=1x的值无限趋于0；

当x→－∞时，y=1x的值也无限趋于0.

从而当x→+∞时，x→∞时，函数y=1x的值无限趋于0.

定义121如果当x无限增大时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(当x→∞时).同理，可以定义x→+∞或x→－∞时，函数f(x)时的极限.

例如，limx→∞1x=0；limx→+∞12x=0；limx→-∞2x=0.注

意如果limx→∞f(x)=A，则把直线y=A称为曲线y=f(x)的水平渐近线.定理121limx→∞f(x)=A　??　limx→+∞f(x)=limx→-∞f(x)=A.

例121讨论当x→∞时，函数y=arctanx的极限.

解考察函数y=arctanx的函数值随自变量变化的变化趋势，图形见附录1.

从图形上看，limx→+∞arctanx=π2，limx→-∞arctanx=－π2.

因为limx→+∞arctanx≠limx→-∞arctanx，所以当x→∞时，y=arctanx极限不存在.说明曲线y=arctanx有两条水平渐近线，分别为y=π2和y=－π2.注

意数列是自变量取自然数时的函数(通常称为整标函数)xn=f(n)，因此，数列是函数的一种特殊情况.例122观察下列函数的图像，说出当x→∞时的极限.

（1）　y=1x2；（2）　y=ex；（3）　y=C(C为常数).

解由图121，图122，图123知，

图121

图122

图123

（1）　limx→∞1x2=0；

（2）　因为limx→-∞ex=0，limx→+∞ex=+∞，所以limx→∞ex不存在；

（3）　limx→∞C=C.

二、　x→x0时函数的极限

引例122考察函数y=x+1，当x无限趋于1(不等于1)时y的变化趋势(如图124(a)).

分析由图124(a)知，当x趋向于1时，y就趋向于2，而且x越接近1，y就越接近2，因此，当x→1时，y=x+1→2.

引例123考察函数y=x2－1x－1，当x无限趋于1(不等于1)时的变化趋势(如图124(b)).

分析由图124(b)知，当x趋向于1时，y就趋向于2.虽然y在点x=1处没有定义，但是只要x无限趋于1，y就无限趋于2，于是，当x→1时，y=x2－1x－1→2.

引例124考察函数y=x+1x≠11x=1，当x无限趋于1(不等于1)时的变化趋势(如图124(c)).

分析由图124(c)知，当x趋向于1时，y就趋向于2，而且x越接近1，y就越接近2，因此，当x→1时，y=x+1x≠11x=1→2.

以上三个例子表明：当自变量x趋于某个值x0时，函数值就趋于某个确定常数(与函数在点x0有无定义没有关系)，这就是函数极限的含义.

图124

定义122设函数f(x)在x0的左、右近旁(即在点x0附近，可以不含点x0)内有定义，如果当x→x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称当x→x0时，f(x)以A为极限，记作limx→x0f(x)=A或f(x)→A(x→x0).注

意（1）　limx→x0f(x)=A与函数f(x)在x0点是否有定义无关，且与f(x0)的值无关，它描述的是当自变量x无限接近x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A的一种变化趋势.

（2）　x在无限趋近x0的过程中，既从大于x0的方向（即从x0的右边）趋近x0，又从小于x0的方向（即从x0的左边）趋近于x0.由函数极限的定义，易得

（1）　limx→x0C=C或limx→∞C=C(C为一常数)；

（2）　limx→x0(ax+b)=ax0+b(a≠0)，特别地，limx→x0x=x0.

类似可定义，当x仅从x0的左侧无限趋近于x0(记为x→x-0)与x仅从x0的右侧无限趋近于x0(记为x→x+0)时的极限，分别称为函数f(x)在点x0的左、右极限，记为：f(x0－0)=limx→x-0f(x)=A和f(x0+0)=limx→x+0f(x)=A.定理122limx→x0f(x)=A　??　limx→x+0f(x)=limx→x-0f(x)=A.

例123考察符号函数y=sgnx=1x00x=0－1x0x+bx≤0，当b取什么值时，limx→0f(x)存在？

4.　设函数f(x)=ex+1x0，分别讨论limx→0f(x)，limx→-1f(x)，limx→2f(x).

5.　试求函数f(x)=x+1x1当x→0和x→1时的极限.

6.　设f(x)=x－1x0，讨论当x→0时，函数f(x)的极限是否存在.

7.　计算下列极限：

（1）　limx→2(x2－3x+6)；（2）　limx→1x2+3x+23x+5；

（3）　limx→1x2+x－22x2+x－3；（4）　limx→1x－3x2－5x+4；

（5）　limx→24x2+5x－2；（6）　limn→∞(n4+1－n2)；

（7）　limx→∞2x2－x+1x2+1；（8）　limx→∞x2－4x－7x－8；

（9）　limx→∞2x23x3－x+9；（10）　limx→0x2+9－3x2；

（11）　limx→121－x2－11－x；（12）　limx→0x+1－1－xx；

（13）　limx→0xx+1－1；（14）　limx→5x－5x－1－2.