1.前提与方式。证明总有两套命题，一套是证明方式上的命题，一套是所要证明的命题底前提。前者是推论底方式，后者是所从推论的前提。这两套命题，就职责说，不是一样的。兹用以下方式表示，以大写字母表前者以小写字母表示后者。这里表示由p到q根据P，由q到r根据Q，由r到s根据R。这当然是空泛的说法。实际上我们在一证明中也许只用一推论原则或两原则，也许我们不表明推论原则，有时甚而至于不意识到某原则底引用。可是推论总是有根据的，而它底根据就是这里所说的推论方式上的原则。比较起来，头一套命题容易为人忽视，第二套命题不容易。

2.推论方式底重要。在大多数的情形中，P，Q，R，……和p，q，r……是两套不同的命题。假如政治学底学说有须严格证明底必要，前提方面底命题也许是政治学本身所供给的，也许是伦理学或历史学或经济学或社会学所供给的，然而推论方式这一方面的命题大致不是这些学问所供给的。欧克里几何中的证明也许是大家所习惯的，可是，照作者小时所读的几何书看来，只有点，线，三角，四方……等等是有明文介绍的，而“如果—则”、“所以”没有。这表示前一方面的概念是几何学所供给的，后二方面的概念不是。普通我们认为供给后一方面的概念及命题的学问是逻辑学，此所以好些人说逻辑学根本，此所以学堂里有逻辑这一课程。它可以说是给别的学问底推论方式的学问。在逻辑学本身（也许纯算学也是如此）（1）条所说的两套命题只是一套，不过它底用法有两套而已。这就是说，在逻辑学本身，p和P可以是一命题，不过它有p和P两用法而已。这两用法底分别仍然重要。就证明说，推论方式比较重要些，因为它是普遍的工具。一门学问也许有它自己所供给的特别的推论方式，但大致说来，推论方式总是逻辑学（或纯算学）所供给的。我们在第六章谈思议底结构底时候，曾说逻辑是此结构底脉络，也就是表示它是组织此结构底中坚成分。证明一命题既是表示该命题之在一概念结构中，而概念结构底主要脉络也是推论方式，推论方式对于证明重要自不必再多所讨论了。

3.非形式的成分底重要。（1）条所说的p，q，r……等等是另外一回事。它们可以是任何的命题。这至少可以就两方面说。一方面它们之中可以有普遍命题，特殊命题，也可以有限于时地的普及命题，但主要的是普遍命题。另一方面，p，q，r……等等可以是各种不同的学问中的命题，或日常生活中的命题，照（2）条底讨论，它们当然也可以是逻辑命题或纯算学命题，不过在泛论的程序中，我们不注意这两方面底前提。无论p，q，r……等等是如何的命题，在一证明中，我们要求断定它们是真的。我们断定它们是真的，才能证明所要证明的命题。 P，Q，R……之中，有些也许只是我们底办法或规则，但大致说来，它们既然大都是逻辑所供给的，我们也承认它们是真的。对于它们，主要的问题似乎不在这一方面，而在证明者的的确确承认由p到q底根据是P，由q到r底根据是 Q……。假如由p到q底根据是P，而证明者并不的的确确地承认它是P，证明者就不能由p推q。这是证明中的非形式成分或事实成分。这成分非常之重要。要有这一成分，证明者才能真正说懂，或真正说明。把证明视为一活动，这活动底事实成分是在历史演变中的。这就是说，在某一时间，证明者可以认为某一P为证明或推论方式，而在另一期间，证明者发现该P根本不是一证明或推论方式。此所以我们有时说这样的话：“前此认为某命题已经证明了，其实它根本没有被我们证明”。此所以我们要分图案与结构。图案不必是结构，然而在任何时地都可以被认为结构或误认为结构。我们现在所注重的是证明底形式成分，我们只从结构着想。

4.能证明就是能知所以然。本段所要论的是普遍命题底证明。这就是说p，q，r到s都是普遍的命题。我们已经说过，一命题底证明就是表示该命题是在某一概念结构中的。一普遍命题底证明当然也是如此的。概念结构可以完全是虚的。我们现在所注重的是实的结构。表示一命题容纳在一实的概念结构之中，该命题不但证明，而且，也大都证实。这就是说，不但命题底内容已经容纳在一概念结构中，而且一命题底对象也被容纳到固然的理底结构之中。表示一命题容纳在一概念结构之中，也就是表示一命题在一概念结构中底关联脉络；表示一普遍命题底对象容纳到固然的理底结构之中，也就表示该对象与固然的理底贯通。能够如此表示，就内容说，就是懂得一命题；就对象说就是明理。就事物说，我们不仅知其然，而且知其所以然。这二者底分别非常之大，只知其然底知识在某一阶段上打住，知所以然底知识并不在一阶段上打住。