本节与A节一样，分为两段：1段介绍具关系词的命题；2段为关系的推算。所谓关系的推算者就是英文中的calculus of relations。

1. 普遍的具关系词的命题。

本段的命题与A节的1段一样。本系统所注重的类是外延的类，本系统所注重的关系是外延的关系。类是满足φx这样命题函量的个体，关系是满足φ（x，y）这样命题函量的个体。类是这符号所表示的东西，关系是这样符号所表示的东西。具类词的命题其形式为，具关系词的命题其形式为）。

以下所举的具关系词的命题，在原书中排列在类的推算之前，所以命题以号数为“21.”而非“23.”。这些命题也可以分为三组，但我们不必有明文的表示。本段所选择的命题如下：

（具关系词的命题表示定那一关系的命题函量的外延质。它的真假值根据命题函量的外延，而不根据于引用那一命题函量为定关系的命题函量。）

（这三个命题成一套，最后一命题总结前两命题。它表示只有两真假值相等的命题函量才定同一的关系。两命题函量的真假值不相等，它们所定的关系是两关系。所谓命题函量的真假值相等者，就是说满足第一命题函量的个体就是满足第二命题函量的个体。注重关系的外延，这是根本条件。）

（如果两关系相等，则此两关系中任何一关系有任何质，另一关系亦有之。）

（这三个命题成一组，第一命题表示关系的相同有自反质，第二命题表示它有对称质，第三命题表示它有传递质。关系的相同与类的相同一样，这三个命题不是从第二章 C 节 2 段的 13.15、13.16、13.17 直接推论出来的。f（x^ y^ φ（x，y））既不是 fx 的值，也不是 x=y 的例。）

（这两命题与以上21.22那一命题也可以成一套。它们都表示与一共同关系相同的两关系彼此也相同。）

这符号表示 x 与 y 有 ψ（x，y）这一命题函量所定的关系。这命题表示只有ψ（x，y）是真的，x与y才有ψ（x，y）所定的关系。）

（两关系相等等于说任何（x，y）有头一关系等于说它们也有第二关系。这就是说，要有后一部分所说的满足情形，两关系才相等。）

（以R代替，当然便利得多。谈关系而不必提到定那关系的命题函量的时候，复杂的符号如均可以用简单的R代替。在任何（x，y）有R关系等于φ（x，y）是真的条件之下，R是φ（x，y）这命题函量所定的关系。）

（如果说任何x与任何y有R的关系等于说它们有S的关系，则R与S两关系相等；如果R与S两关系相等，则说任何x与任何y有R关系等于说它们有S关系。）

（说任何关系S与R相等，则说它就是φ等于说R是φ。要举实例，比较麻烦。请注意这里的（S）表示关系也可以有表面任指词。在这一点上，个体、类、关系也有一致的情形。）

（有等于R的S关系而它是φ等于说R关系是φ。这命题与以上那个命题成一对。）

（此处的命题用一句话讲本来是不容易的事，而这一命题似乎更难。意思大约可以有以下的表示：说任何（x，y）有R关系等于说φ（x，y），这里所说的这个R关系就是φ（x，y）命题函量的（x，y）。

（这个命题不过是说有以上21.55所叙述的R关系。这两个命题都以关系为叙述词。）

（满足一命题函量的个体就是与它相等的那关系。）

（这命题的前后两部分的关系与传统逻辑中的I与E的关系相似。有是f的R关系等于说“无是f的R关系”是假的。）

2. 关系的推算（calculus of relations）。

a. 这一段的命题与类的推算那一段的命题相似。类的推算可以说第四部第一章的那系统通式的解释，关系的推算也可以作如此看法。这里的关系是外延的关系，以上21.58那一命题就表示本系统的关系是外延的关系。所谓关系的推算者是说这里的这个推算中的原子。

推算未开始之前，就已有好几个定义；可是这里的情形与类的推算的情形相似；我们不必抄写定义，因为定义既下，跟着就有好几个命题把这些定义都容纳在内。

b. 所选择的命题。

（这里关系间的 与类间的、命题间的相似。命题间的我们读为“蕴涵”。类间的我们读为“包含在”，可是关系间的，我们不知道如何读法好。符号方面的定义已经容纳在这一命题之中。如果我们把读作包含在，这一命题说R关系包含在S关系之中，等于说如果任何x与y有R关系，它们就有S关系。P. M. 的作者也是利用命题方面的去表示关系方面的。）

（关系间的类间的∩、命题间的“·”相似。这似乎也可以用“与”“和”“同”“既……又”等等字眼去表示。它的定义就是本命题的后一部分。这里也是用命题方面的“·”去表示关系方面的∩。这命题也表示这里的关系是外延的关系。

（关系间的∪与类间的∪、命题间的∨相似。这似乎也可以用“或”表示，它的定义就是这命题的后一部分。关系方面的也是用命题方面的“∨”去表示。）

（关系方面的“　”与类方面的“—”、命题方面的“～”相似。“”的定义就是本命题的后一部分，而这定义也就是利用命题方面的“～”去表示关系方面的。）

（是R关系而不是S关系就是满足“xRy是真的而xSy是假的”这一命题函量的（x，y）。我们要清楚，这里的R关系就是有R关系的（x，y），那就是说R的外延。）

（x与y有R与S的关系，等于说x与y有R关系，而且x与y有S的关系。）

（x与y有R或S的关系，等于说x与y有R关系或者x与y有S的关系。这一对命题表示关系间的“或”与“与”等于具相当形式的命题间的“或”与“与”。）

（如果我们把读为“非”，这个命题说x与y有非R的关系，等于说x与y有R关系是假的。）

（非R关系不是R关系。22.351那一命题说非A类不是A类。P. M. 用那一命题证明至少有两类，我们似乎也可以利用这里这个命题证明至少有两关系。）

（“Rel”这符号表示关系。这两个命题无非是表示都是关系。如果我们把关系视为第四部第一章那个系统通式的原子，这两个命题就是那系统的最初两个基本命题。）

（这个命题表示非R也是关系。）

（说R关系包含在S关系而S关系又包含在R关系，等于说任何x，y有R关系等于说它们有S关系。两关系互相包含，则它们的外延一样。）

（这与以上一样，它不过直接表示两互相包含的关系相等，没有提到分子问题。）

（任何关系包含它自己，这与命题方面的”、类方面的相似。）

（这与类方面的那一命题相似。在那一命题注解下所说的话这里也可以说。）

（这命题说如果R关系包含在S关系，S关系包含在T关系，则R关系包含在T关系。这是关系方面的三段论。三段论不限于命题，也不限于类。例如：如果x是y的学生，x就比y年轻；x比y年轻，x就是y的后辈；则x是y的学生，x就是y的后辈。）

（如果R关系包含在S关系，而x与y有R关系，则x与y有S关系。读者自己举例。）

（如果R关系包含在S关系，而又包含在T关系，则R关系包含在既S而又T的关系。此命题仅表示“如果……则”的关系，其实前件与后件的真假值相等。）

（这就是23.441那一命题，不过前件中的两命题的位置彼此更换而已。）

（如果R关系包含在T关系，则既R而又S的关系包含在T关系。这个命题可以利用23.43那一命题及三段论来证明。例如：

此处及以前的命题，读者均可以自己设法证明以为训练。）

（如果R关系包含在S关系，则既R而又T的关系包含在既S而又T的关系。如果R关系与S关系相等，则既R而又T的关系等于既S而又T的关系。读者或举例或证明。）

（如果P关系包含在Q关系，而R包含在S关系，则既P而又R的关系包含在既Q而又S的关系。）

（既R而又R的关系就是R关系。x既在y的左边，而又在y的左边，其结果仍是x在y的左边。）

（第一命题表示两关系的相“与”，与两类的相“与”一样，不受它们的位置更换的影响。第二命题表示三关系的相“与”，把任何两关系视为一组，等于把任何其他任何两关系视为一组。）

（如果R关系等于S关系，则说R关系包含在T关系，等于说S关系包含在T关系。）

（如果R关系等于S关系，则说T关系包含在R关系，等于说T关系包含在S关系。）

（如果R关系等于S关系，则或R或T的关系等于或S或T的关系。）

（23.5说既R而又R的关系就是R关系，此命题说R或R的关系就是R关系。这两命题成一对表示逻辑上关系的相“与”与数的相乘不一样，逻辑上关系的“或”与数的相加不一样。）

（两关系的和不受彼此前后位置的更换的影响。）

（R关系包含在或R或S的关系，而S关系也包含在或R或S的关系。）

（说R关系包含在T关系，S关系也包含在T关系，等于说R或S关系包含在T关系。请看22.59的注解。）

（说x与y有R或S的关系，等于说如果R关系包含在任何T关系，而S也包含在任何T关系，则x与y有T关系。）

（如果R关系包含在S关系，则R关系包含在S或T的关系。）

（说R关系包含在S关系，等于说R或S的关系就是S关系。）

（说R关系包含在S关系，等于说既R而又S的关系就是R关系。这两命题是一对，表示“或”与“与”的分别。）

（这命题在语言方面颇麻烦。参考22.63那一命题。读者试以图形表示。）

（这命题与以上成对，情形同样。）

（如果R关系等于S关系，则R关系等于既R而又S的关系。反过来说不通。如果R关系等于既R而又S的关系，R关系固可以等于S关系，但也可以包含在S关系。）

（这命题在语言方面颇麻烦，读者试以图形表示。）

（这命题与22.64那一命题相似，请参考那一命题的注解。）

（参考22.59及22.65两命题的注解。）

（如果R关系包含在S关系，则R或T的关系包含在S或T的关系。）

（这两命题成一对。请参阅22.68与22.69那两个命题的注解。）

（语言表示非常之麻烦。请参阅22.7那一命题的注解。）

（这里第一命题说如果P关系包含在R关系，而Q关系又包含在S关系，则P或Q的关系包含在R或S的关系。第二命题说如果P关系等于R关系，而Q关系又等于S关系，则P或Q的关系等于R或S关系。）

（说既P又Q的关系包含在R，而既P又R的关系又包含在Q，等于说既P又Q的关系就是既P又R的关系。）（非非R关系就是R关系。此情形与类方面及命题方面的情形一样。）

（说R关系包含在S关系等于说非S关系包含在非R关系。参阅22.81那一命题。）

（说既R又S的关系包含在T关系，等于说既R而又非T的关系包含在非S关系。）

（说R关系等于S关系，等于说非R关系等于非S关系。）

（这就是关系方面的排中律。任何x与y有R或非R的关系。总而言之，它们若无R的关系，就有非R的关系；若无非R的关系，就有R的关系。）

（请参考22.84、22.85、22.86、22.87那四个命题的注解。）

（这就是关系方面的矛盾律。任何x与y有既R而又非R的关系是假的。）

（这两命题可以用图形表示，以语言表示似乎佶屈聱牙。）

（如果R关系包含在S关系，则S关系等于R或S而非R的关系。）

（读者试以图形表示。）