本节的1段承上接下，介绍具类词的命题；2段为类的推算。所谓类的推算者就是近代符号逻辑新兴时期的calculus of classes。

1. 普遍的具类词的命题。

本段的命题可以分为三组。第一组表示类的基本质，第二组是具类词而同时又具叙述词的命题，第三组的命题表示“类”与个体有同样的质。本段的各命题既大都有注解，各组命题无另条表示的需要。

（具类词的命题表示定那一类的命题函量的外延质。它的真假值根据于定类的命题函量的外延，而不根据于引用那一命题函量为定类的命题函量。）

（这三命题成一套，而最后这一命题总结前两命题。它表示只有两真假值相等的命题函量才定一类。那就是说，两命题函量的真假值不相等，它们所定的类是两类。所谓命题函量的真假值相等者，就是说满足第一命题函量的个体就是满足第二命题函量的个体。这是类的根本条件。)

（如果两类相等，则此两类中任何一类有一性质，另一类亦有之。）

（这三命题中第一命题表示类的相同有自反质，第二命题表示类的相同有对称质，第三命题表示类的相同有传递质。但这三命题不是直接从第二章C节2段的13.15，13.16，13.17推论出来的。不是fx的值，那就是说，x不指这样的东西，而也不是x=y的例。）

（任何类A是满足φz的个体，同时也是满足ψz的个体，此两命题函量所定的类是一类。）

（此命题表示只有ψx是真的，x才是ψx所定的类的分子，“ ”代表“是分子”，这是个体与个体的类的关系。它不是包含关系，它没有传递质。从这一方面着想，“所有的人都是有理性的，所有的圣贤都是人，所以所有的圣贤都是有理性的”与“所有的人都是有理性的，孔子是人，所以孔子是有理性的”这两个三段论的形式根本不同。）

（两类相同等于说任何x属于头一类就是说它属于第二类。总而言之，对于类所注重的是外延。）

（x与y相同等于说x属于任何类就是说y属于该类。此命题与20.25那一命题一样把类词用为表面任指词。）

（此命题与20.31一样，只不过A、B，这样的符号简单而已。）

（这个命题不仅是具类词的命题，而且是具叙述词的命题。举例来说：《春秋》的作者属于人类等于说《春秋》的作者是人。以φ代表作《春秋》，（τx）（φx）就代表《春秋》的作者；以ψz代表z是人，z^（ψx）就代表满足ψz这命题函量的个体，那就是说人类，而此命题的前一部分就是说《春秋》的作者是人类的分子；此命题的后一部分说《春秋》的作者是人。）

（设以b代表孔子，（τx）（φx）仍代表《春秋》的作者；这个命题说《春秋》的作者是孔子等于说《春秋》的作者是任何一类（A）的分子，就是说孔子是那一类的分子。）

（仍以举例表示：有《原富》的作者就是说有某个体，说《原富》的作者属于一类等于说那个体属于那一类。）

（这里表示不仅有叙述个体的词，而且有叙述类的词。（τA）（fA）这符号与（τx）（φx）那一符号有同样情形，不过事实上的例比较困难一点而已。第三组表示类与个体有同样情形的命题，本书不抄。）

2. 类的推算（calculus of classes）。

a. 在本书第四部的第一章A节里，有一系统通式。那个系统通式可以有各种不同的解释。如果我们以类去解释那个系统通式，我们所得的就是这里的类的推算。如果我们以命题去解释那系统通式，我们所得的就是本书第三部的第一章。

经解释后，那个系统通式，所有的基本命题，在此处大都能证明；其所以如此者，因为这些基本命题所表示的道理，前此已经承认。

这里的类的推算未开始之前，就有好几个定义，可是我们不必抄写，因为定义既下，跟着就有好几个命题把这些定义都容纳在里面。

b. 所选择的命题。

定义就是本命题的后部。这符号可以读成“A类包含在B类之中”。这命题说：A类包含在B类等于说如果任何个体属于A类，则那一个体属于B类。在P. M. 的程序中，作者利用命题的蕴涵以表示类的包含关系。）

定义就是本命题的后一部分。这符号可以读成“既是A又是B的类”。满足“x既属于A又属于B”这一命题函量的“x个体”就是类。）

（情形同上，不过改“与”为“或”而已。）

（“—A”即非A类。非A类就是满足“x不属于A类”这一命题函量的个体。这里利用否定命题以表示负类。）

（“A—B”可以读成A类与非B类，或既A而又非B类。有定义说A—B就是。）

（这命题说：说x属于既A又B类等于说x既属于A类又属于B类。）

（这命题说：说x属于或A或B类等于说x属于A类或者x属于B类。“或”与“与”的情形在此处一致。）

（这个命题表示，说x属于非A类等于说x不属于A类。这样一来，命题的“不”与类的“非”完全一致。）

（非A类不是A类或非A类与A类不是一类。P. M. 以后用这个命题证明至少有两类存在，而“至少有两类存在”这一命题就是本书在第四部第一章所举的那个系统通式中经解释后的一命题。这一命题本书不预备抄下，仅在此处提及而已。）

A∩B是类，A∪B是类。这两个命题就是方才所说的那系统通式中经解释后起头的两个命题。“Cls”这符号代表类。）

（这里表示非A是类。）

（说A类包含在B类而B类又包含在A类，就是说任何x是A类的分子等于说它是B类的分子。两类互相包含，则实同，所谓实同者就是说它们的外延完全一样。）

（这与以上命题一样，不过直接表示两互相包含的类相同，而没有说它们的分子而已。）

（任何类包含自己。这与“p　p”相似。）

（既A又B的类包含在A类。或许有人感觉这命题奇怪。如果有人以为是A、B两类之“和”而“和”又是两类相加的意思，那么不会包含在A类。但为“既A又B”类——例如有理性的动物类，其分子当然都是有理性类的分子，也当然都是动物类的分子——而“既A又B”类不能不包含在A类，也不能不包含在B类。）

（这命题说：如果A类包含在B类，B类包含在C类，则A类包含在C类。这也是三段论。如果把写在的前面，这命题可以解作传统逻辑中的“barbara”。）

（这也是三段论。可是与上面不同的地方就是这里的不是类与类包含的关系，而是个体与类的关系。“ ”无传递质而有传递质。这个命题与以上那个命题应该有明文的分别。）

（说A类包含在B类，A类也包含在C类，等于说A包含在既B又C类。）

（这就是22.441那一命题，不过把前件的秩序变更而已。）

（如果A类包含在C类，则既A又B类包含在C类。这个命题参考22.43就能够清楚。）

（如果A类包含在B类，则既A且C类包含在既B且C类；如果A类等于B类，则既A且C类等于既B且C类。读者请举例即明。）

（如果A类包含在B类，C类包含在D类，则既A且C类包含在既B且D类。读者请举例。）

（既A而又A类等于A类。这里表示“既是人而又是人，其结果还是人”。一方面类的“和”与数的“相乘”不同，另一方面与中文文字的一部分的习惯不要相混。风风雨雨的意思不仅止于风雨，但逻辑上既A而又A的类还是A 类。）

（这两命题都是第四部第一章那个系统通式中的原则。第一命题表示A与B两类的“与”，它们彼此的位置可以掉换。第二命题表示A、B、C三类的“与”，把任何两类视为一类与其余一类的相与等于把任何其他两类视为一类与其余的一类的相与。）

（如果A类等于B类，则说A类包含在C类等于说B类包含在C类。）

（如果A类等于B类，则说C类包含在A类等于说C类包含在B类。）

（如果A类等于B类，则或A或C类等于或B或C类。）

（22.5那一命题说既A而又A类是A类，22.56这一命题说A或A类是A类。逻辑上的“与”与数学上的“乘”，逻辑上的“或”与数学上的“加”都不同。）

（这一命题表示A、B两类的“和”，彼此的位置可以掉换。）

（A类包含在A或B类，B类包含在A或B类。这是显而易见，因为A或B类可以包含三类：1，A类；2，B类；3，既A而又B类。）

（说A类包含在C类，而B类也包含在C类，等于说A或B类包含在C类。在此处我们要注意说A包含在B类，或A包含在C类，不等于说A类包含在B或C类；那就是说，

是假的。虽是真命题，那就是说，如果A类包含在B类，或者A类包含在C类，则A类包含在B或C类；而

是假的，那就是说，如果A类包含在B或C类，不一定A类就包含在B类或者A类就包含在C类。读者可以用图形表示这里所说的道理。）

（说x是A或B类的分子等于说无论C是什么类，如果A类包含在C类，而B类也包含在C类，则x是C类的分子。）

（这是显而易见的道理，读者或以语言或以图形表示均可。）

（这也是显而易见的道理，以图形表示非常之容易。）

（这与以上成一对，而这一对命题表示“或”与“与”的分别。）

（这命题在语言方面颇麻烦，用图形很容易表示。）

（这与22.63那一命题也成一对，读者自己设法表示。）

（如果A类等于B类，则A类等于既A而又B类。可是反过来说不通。如果A类等于既A又B类，A类固可以等于B类，但也可以包含在B类。）

（如果A类包含在B类，则A或C类就是既A又B类或C类。）

（如果A类包含在C类或B类包含在C类，则既A又B类包含在C类。既A又B类是A类的一部分，它也是B类的一部分，所以无论前件两条件中哪一条件是真，后件总是真。可是反过来说不通。如果既A又B类包含在C类，非B的A类不必包含在C类，非A的B类不必包含在C类。）

（此命题在22.59已经讨论过，此处不赘。）

（这是显而易见的道理，读者以图表示之即明。）

（这两命题成一对。用语言表示不如用图形表示。兹以前一命题为例：前部以甲、乙、丙三图表示之，后部以（一）（二）（三）图表示之。以下丙图与（三）图表示同一的类。22.69那一命题可以用类似的方法表示。）

（这与22.52那一命题成对。三类的和，把任何两类的和视为一类与其余一类相和，等于把任其他两类的和视为一类与其余一类相和。以语言表示此命题似乎很难听，还是用图形好。）

（这两命题很容易明白，读者自备方法表示。）

（说既A又B类包含在C类，而既A又C类又包含在B类，等于说既A又B类就是既A又C类。以图形表示更容易。）

（非非A类就是A类，在类方面再负为正好像在命题方面再假为真一样。）

（说A类包含在B类等于说非B类包含在非A类。混沌一点地说，说所有的A都是B等于说所有的非B都是非A。）

（说既A又B类包含在C类，等于说既A又非C类包含在非B类。）

（说A类等于B类等于说非A类等于非B类。）

（这四个命题名为De Morgan公式。它们都表示“与”与“或”的关系。兹以语言表示第一命题即够：“非既A又B类等于非A或非B类。”兹以下图表示：

图中“非1”等于“或2或3或4”。但“或2或3或4”就是“非A或非B”，因为“非A或非B类”中的“或”既为相容的或，这一类所包含的可能共有以下三类，即A而非B，B而非A，既非A而又非B；换言之，即图中的“或2或 3或 4”。）

（这就是说任何个体是A或非A类的分子。无论x是什么个体，它不是A类的分子，就是非A类的分子，同时不是非A类的分子，就是A类的分子。这是排中律的一种表示。）

（这就是说任何x不是既A而又非A类的分子。这是矛盾律的一种说法。）

（在语言方面，颇不易表示。图形表示毫无问题。）

（在语言方面有以上所说的情形。）

（如果A类包含在B类，则B类等于A类或非A的B类。如果A类包含在B类，则B类可以分作两部分，一是既A又B类，二是B而非A类。无论第二类存在与否，B类总是第一类或第二类。）

在语言方面有困难，不易表示。图形表示无问题。）