E. 类词与关系词的出现(1 / 1)

1. 类词的出现。

每一“φx”这样的命题函量有时有“x,y,z…”等个体满足它的要求,而满足一命题函量的个体就是那一命题函量所定的类。类是一命题函量的外延函量。如果两命题函量的真假值相等——那就是说,如满足这两命题函量的命题或者同真或者同假——则这命题函量所定的类是一类。

关于类,1910年版的P. M. 说,须有以下情形,才能尽类所要尽的职务。

(一)类的分子,其数目可以无量,可以等于一,可以等于零;设等于零,那一类就是空类。

(二)两真假值相等的命题函量所定的类是一类。例如“x是无毛的两足动物”,与“x是人”,无论x所指的是什么;头一命题是真的,后一命题也是真的;头一命题是假的,后一命题也是假的;在这样情形之下,无毛的两足动物类就是人类。

(三)反过来,定一类的两个命题函量,其真假值相等。这不过是表示一类的分子就只有那一类的分子,不属于一类的个体不成一类。

(四)不仅个体有类,类亦有类。

(五)在任何情形之下,一类不能视为它自己分子之一。所谓不能视为它自己分子之一者,是说断定它为自己分子之一的那一命题是无意思的话。

以上(四)(五)两条各有它的特别情形,(四)条可以说是数学基础之一,(五)条可以说是避免矛盾的原则。关于这一点以后如有机会还要提及。

在P. M. 类词与叙述词相似,它也是不完整的符号,这就是说它没有独立的意义。P. M. 说我们不必假设类的存在。这部书的作者只承认具类词的命题是有意义的命题,而类称在工具方面给我们以很大的便利。

在本书范围之内,类词的定义与摹状词一样有很大的困难。所要下定义的不是类词,而是具类词的命题。具类词的命题的定义也牵扯到axiom of reducibility与predicative function,而这都是本书没有提及的思想;所以对于定义,本书根本就不说什么。关于类的命题都是关于能满足一命题函量的个体的命题。设以代表所有满足(px命题的个体,则关于类的命题或具类词的命题都是式的命题。P. M. 给下定义,而“f((φz))”是一具类词的命题函量。

满足一命题函量的个体就是一类,就是满足φx的类。以后除少数命题外,在大多数命题中,我们用A、B、C、D等替代z^(φz)符号。

2. 关系词的出现。

在本书的A段,我们已经表示,φ、ψ、χ等谓词任指词表示性质。性为属性,质为关系质。本书以为x有一种关系质,就是x与另一个体有某种关系(此意见不必是原书作者的意见)。属性属于一个体,而关系质存于多数个体之间。既然如此,引用于一个体词的谓词表示属性,引用于多数个体词的谓词的表示关系。属性定类,凡满足φx命题函量的个体为一类;关系质定关系,凡满足φ(x,y)的个体有一种关系。

类与关系均有两方面,一为内包,一为外延。类的内包兹以类概念名之,类的外延就是类的分子。对于类,我们似乎很容易注重外延;可是对于关系,通常不大注重它的外延。本书的类是外延的类,那就是说,属于一类的个体;本书的关系是外延的关系,那就是说,有某种关系的个体。引用于一个体的谓词表示属性,所以φx这一命题函量所定的是类,而表示类;引用于多数个体的谓词表示关系,所以φ(x,y)这命题函量所定的是关系,而表示关系。P. M. 不给类词下定义,给具类词的命题函量下定义;不给关系词下定义,给具关系词的命题函量下定义。