A.概念底图案或理底结构

1.图案与结构。我们讨论思想底时候已经讨论过概念底图案。概念是有图案的。也许最好的例子是几何学中的概念。点，线，平面，长方，三角，四方……等等成一四通八达互相关联的图案。就想像说，这图案有点象打鱼的网子，绸缎上的花纹，地图上的城市。一图案之中的概念彼此有内在的关联，把一概念改变，别的概念也得改变。（概念是无法改变的，所谓改变一概念只是代以另一概念而已。）一概念之所以为某一概念要看图案中别的概念如何。有些改变底影响也许小，有些也许影响大。把“四方”这一概念改变（就是代以另一概念）这改变底影响也许小；把“平行”这一概念改变，这改变底影响大，整个的图案也许就可以因此不同。非欧几何和欧克里几何底分别，至少是“平行”概念底不同底影响。它们是不同的概念图案。概念有图案，也有结构。在思议活动中，我们所要得的是概念结构，而所得的也许只是概念图案，二者底分别在正确。如果图案是正确的，它同时是概念结构，如果不正确，它只是图案而已。在思议活动中出现的概念底关联总是概念图案，它也许同时是概念结构，也许不是，究竟是否，当然有标准，有根据，等等问题，可是，在这里我们都不讨论这问题。

2.理底结构。概念底关联，无论就图案说或就结构说，都是思议底内容。思议有对象，而思议底对象总是普遍的。如果思议底内容是概念结构，它底对象就是固然的理。概念底结构也就是理底结构。理底结构和概念底结构一样，也是四通八达的，也是互相关联的。理总是可以通的。这里所说的思议底内容或对象，当然不是说想像底内容或对象。思议也许需要求助于想像，但思议不是想像。想像底内容都是类似特殊的，类似具体的，都有类似特殊的时空底秩序，它们没有上条和本条所说的结构。想像是相对于知识类的。想像底材料总是官觉所供给的。思议底内容是意念，概念，意思，命题，这些内容本身都是抽象的，而抽象的，照本书底说法，根本不是像，它不相对于官觉类，也不相对于知识类。概念结构也不是相对于知识类的。这结构所表示的固然的理或理的结构也不是相对于知识类的。特殊的“实”是相对于知识类的，普遍的“理”不是相对于知识类的。

3.然和所以然。普通有知其然和知其所以然的分别，这分别非常之重要。在日常生活中，我们常有知道一事之然而不知道其所以然。所谓所以然当然有种类底不同，在日常生活中，它所指的也许大部分是事体之间的因果关系；但是它不限于这一种。我们很可以碰到这样的情形：我知道人是甚么样的动物，可是我不知道人之所以为人；或我知道四方这样的东西，可是我不知道四方之所以为四方。就思议说，前者和后者都是一样的。知道所以然总是能够把所知的“然”容纳在一意念图案或结构中，我们把知其然叫作识，把知其所以然叫作懂。识是知某X之为甚么，懂是知该甚么之所以为甚么。识X之为φ，也许只能够分别X于非φ的Y，Z，W……等等，懂φ之为φ，总兼是能够容纳φ这概念或意念，于ψθλ……等等底意念或概念图案或结构中。知其所以然或懂有两方面。本条只就一方面说而已。本条只谈到意念或概念底图案或结构。图案不一定是结构，它也许只是我们思议活动中的意念底关联，而不是概念本身底结构。我们能够把一意念容纳于一意念底图案之中底时候，也许我们自以为懂，而我们实在没有明白该意念。

4.证明是求所以然底活动。另一方面的懂就是明白道理。假如我们底意念或概念图案同时是概念结构，则能够容纳一概念于概念结构之中，我们不但懂意而且明理，因为概念结构表示固然的理。概念结构既然表示理底结构，则在内容上我们能够容纳一概念于概念结构之中，也就同时是在对象上能够容纳事物于理底结构中，而这就是普通所谓能够理解事物。我们能够理解事物也就是知道事物之所以然。证实，照我们这里底说法，是求然底活动，证明是求所以然底活动：前者是求识底确切，后者是求懂底清楚；前者是求所识底实，后者是求所明底理。前此已经说过，证实是表示命题底对象底材料是实际上所有的。现在我们也可以说，证明是表示命题底对象，无论就材料或论旨说，是在理底结构中的。我们在这里分别地讨论证明和证实，因为它们的确是两件事，但是这不是说，它们从来不牵扯在一块。我们前此已经提到过，有时证实也就是证明，所以从我们底活动说，有时证实活动也就是证明活动。也许在实际上这两种活动常常联在一块，即令如此，我们仍然要分别讨论。

B.证明底分析，普遍命题底证明

1.前提与方式。证明总有两套命题，一套是证明方式上的命题，一套是所要证明的命题底前提。前者是推论底方式，后者是所从推论的前提。这两套命题，就职责说，不是一样的。兹用以下方式表示，以大写字母表前者以小写字母表示后者。这里表示由p到q根据P，由q到r根据Q，由r到s根据R。这当然是空泛的说法。实际上我们在一证明中也许只用一推论原则或两原则，也许我们不表明推论原则，有时甚而至于不意识到某原则底引用。可是推论总是有根据的，而它底根据就是这里所说的推论方式上的原则。比较起来，头一套命题容易为人忽视，第二套命题不容易。

2.推论方式底重要。在大多数的情形中，P，Q，R，……和p，q，r……是两套不同的命题。假如政治学底学说有须严格证明底必要，前提方面底命题也许是政治学本身所供给的，也许是伦理学或历史学或经济学或社会学所供给的，然而推论方式这一方面的命题大致不是这些学问所供给的。欧克里几何中的证明也许是大家所习惯的，可是，照作者小时所读的几何书看来，只有点，线，三角，四方……等等是有明文介绍的，而“如果—则”、“所以”没有。这表示前一方面的概念是几何学所供给的，后二方面的概念不是。普通我们认为供给后一方面的概念及命题的学问是逻辑学，此所以好些人说逻辑学根本，此所以学堂里有逻辑这一课程。它可以说是给别的学问底推论方式的学问。在逻辑学本身（也许纯算学也是如此）（1）条所说的两套命题只是一套，不过它底用法有两套而已。这就是说，在逻辑学本身，p和P可以是一命题，不过它有p和P两用法而已。这两用法底分别仍然重要。就证明说，推论方式比较重要些，因为它是普遍的工具。一门学问也许有它自己所供给的特别的推论方式，但大致说来，推论方式总是逻辑学（或纯算学）所供给的。我们在第六章谈思议底结构底时候，曾说逻辑是此结构底脉络，也就是表示它是组织此结构底中坚成分。证明一命题既是表示该命题之在一概念结构中，而概念结构底主要脉络也是推论方式，推论方式对于证明重要自不必再多所讨论了。

3.非形式的成分底重要。（1）条所说的p，q，r……等等是另外一回事。它们可以是任何的命题。这至少可以就两方面说。一方面它们之中可以有普遍命题，特殊命题，也可以有限于时地的普及命题，但主要的是普遍命题。另一方面，p，q，r……等等可以是各种不同的学问中的命题，或日常生活中的命题，照（2）条底讨论，它们当然也可以是逻辑命题或纯算学命题，不过在泛论的程序中，我们不注意这两方面底前提。无论p，q，r……等等是如何的命题，在一证明中，我们要求断定它们是真的。我们断定它们是真的，才能证明所要证明的命题。 P，Q，R……之中，有些也许只是我们底办法或规则，但大致说来，它们既然大都是逻辑所供给的，我们也承认它们是真的。对于它们，主要的问题似乎不在这一方面，而在证明者的的确确承认由p到q底根据是P，由q到r底根据是 Q……。假如由p到q底根据是P，而证明者并不的的确确地承认它是P，证明者就不能由p推q。这是证明中的非形式成分或事实成分。这成分非常之重要。要有这一成分，证明者才能真正说懂，或真正说明。把证明视为一活动，这活动底事实成分是在历史演变中的。这就是说，在某一时间，证明者可以认为某一P为证明或推论方式，而在另一期间，证明者发现该P根本不是一证明或推论方式。此所以我们有时说这样的话：“前此认为某命题已经证明了，其实它根本没有被我们证明”。此所以我们要分图案与结构。图案不必是结构，然而在任何时地都可以被认为结构或误认为结构。我们现在所注重的是证明底形式成分，我们只从结构着想。

4.能证明就是能知所以然。本段所要论的是普遍命题底证明。这就是说p，q，r到s都是普遍的命题。我们已经说过，一命题底证明就是表示该命题是在某一概念结构中的。一普遍命题底证明当然也是如此的。概念结构可以完全是虚的。我们现在所注重的是实的结构。表示一命题容纳在一实的概念结构之中，该命题不但证明，而且，也大都证实。这就是说，不但命题底内容已经容纳在一概念结构中，而且一命题底对象也被容纳到固然的理底结构之中。表示一命题容纳在一概念结构之中，也就是表示一命题在一概念结构中底关联脉络；表示一普遍命题底对象容纳到固然的理底结构之中，也就表示该对象与固然的理底贯通。能够如此表示，就内容说，就是懂得一命题；就对象说就是明理。就事物说，我们不仅知其然，而且知其所以然。这二者底分别非常之大，只知其然底知识在某一阶段上打住，知所以然底知识并不在一阶段上打住。

C.证明底分析，特殊命题底证明

1.普遍和特殊的命题并用。在本段我们要讨论特殊命题底证明。在上段我们所要证明的s是普遍命题，所以p，q，r……都是普遍命题。在本段我们只表示s是特殊的命题，只表示所要证明的命题是特殊的，我们不能因此就说p，q，r……都是特殊的。这些命题之中，一定有些是普遍的，不过不都是普遍的而已。P，Q，R……仍旧。如果我们要证明一特殊命题，所利用的前提中非有特殊命题不可，此所以p，q，r……中非有特殊命题不可。可是假如p，q，r……都是特殊命题，则根本没有推论，所以也不能证明s。

2.谈普遍命题底证明显现不重要。上段有一问题，我们根本没有谈到。命题总是有命题显现跟着的，可是我们谈命题底证明，根本没有谈到跟着命题底命题显现。其所以如此者，因为我们所谈的是普遍命题。就普遍命题说，我们的确不必提及命题显现。第一，普遍命题底显现是在思议活动中的，它也许免不了有想像上的寄托，然而不必靠想像上的寄托才能使我们懂得它。命题显现底重要是属于想像方面的，普遍命题既不必靠想像上的寄托才能使我们懂得它，对于它显现也不重要。第二，我们谈证明所注重的，是形式成分，不是上段（3）条所谈的事实成分。命题显现对于后者也许重要，对于前者不重要。第三，在证明底程序上，P，Q，R底显现，无论就形式说或就事实说，都重要，可是这不单是就证明普遍命题如此，证明特殊的命题也是如此。p，q，r底显现问题，就是上段（3）条所谈的事实成分底问题。事实成分虽然重要，然而在我们底讨论中我们并不注重它。上段所讨论的既然是普遍命题底证明，我们不必提到命题显现。

3.谈特殊的命题底证明，显现重要。在本段我们似乎不能不谈到命题显现。本段讨论特殊命题底证实，特殊命题总牵扯到非思议或非概念的成分，例如想像，官觉，记忆……等等。这些在思想活动中出现时，总同时是命题显现出现时。一特殊命题底证明免不了是一命题显现在意像，官觉或记忆……底环绕中活跃。一普遍命题底证明有时也许也是这样，但它不必是这样，至少我们不必注意这一方面。

4.一特殊命题底证明也是该命题底证实。一特殊命题底证明同时也是该命题底证实。前此已经说过，所谓证明是把一命题容纳在一概念结构中。我们一方面利用P，Q，R……另一方面利用p，q，r……后者为证明s底前提。能利用p，q，r……为前提去证明s这一特殊命题，则前提中一定有真的特殊的命题在。一真的特殊的命题断定一事实。利用此真的特殊命题以证明的特殊命题也断定事实。此所以一特殊命题底证明也就是该命题底证实。也许有人发生以下的问题：特殊命题无所谓证明，它是可以有据而不能有证的。这说法实在是把证限制到普遍命题。本书既分别证明与证实，证当然不限到普遍命题。本书中“证”字底用法似乎也是日常生活底用法。法庭及巡警局底工作大部分要靠这里所说的证明。历史学中的证明似乎也是这种证明。这里说的证实不只是证实而已，仅有据的证实只是证实而已。它只表示然，而不表示所以然。既证明又证实不但表示然而且表示所以然。

D.证明底所得

1.结论是否新的知识问题。证明对于我们有甚么益处呢？这当然要看所谓益处是甚么样的益处。从前对于证明曾发生过这样的问题：在证明中有没有新的知识，如果有甚么是新的知识？所谓新的知识似乎是集中在证明底程序中。在这程序中去找“新”的知识，的确有相当麻烦的问题。而在整个的程序中也许有人特别地注重结论（就证明说，即所要证明的命题）。结论是不是“新”的知识呢？关于“新”，我们可以从形式上和实质上着想。就形式说，如果我们能由前提推到结论，则结论已经在前提中；既然如此，结论当然不新。如果我们能够用某一套前提去证明某一命题，则该命题当然隐寓于该一套命题之中，该命题当然不是新的知识。就实质说，问题完全是事实问题。有时结论对于某证明者是新的，而对于某另一证明者不是。

2.题材或论旨上的新。我们还可以命题底题材和论旨及相等的命题和不相等的命题，二者联合起来底观点，来讨论这新旧问题。如果在证明中所有的命题都是相等的，则结论也许只能有论旨上的新的成分。命题既都相等，结论与前提也相等，相等的命题只有论旨上的分别没有题材上的分别。就题材说，在此情形下，没有题材上的新成分。如果有新成分的话，只有论旨上的新成分，如果在证明程序中，有些命题不是相等的，则论旨上或题材上的分别都有。既然如此，题材上或论旨上的新的成分也许都有。至于这新的成分是否新的知识就很难说，也许是的，也许不是。所谓新也是对于证明者而说的。这还是就结论或所证明的命题而说的。

3.目的不在得新的知识。但是我们底问题是证明供给我们些甚么，这问题不只是结论底新旧问题。结论对于证明者大致说来新的成分很少；证明者要证明一命题，大致说来，他已经知道该命题。也许在先他不知道该命题是真的，经证明之后，他才知道该命题是真的；这样的情形的确有的。可是，另外的情形也有；证明者有时知道一命题底真然而还设法去证明它。可见证明中的结论底新旧和证明是两件事。我们所求于证明的根本不在得到代表“新”知识的结论。问题仍是在证明程序中我们所得者是甚么。

4.表示不得不然。证明底贡献在命题底概念图案，或概念结构或理底结构，它所要表示的是一命题不能不在一整个的概念结构中。理底结构是四通八达的，概念底结构也是四通八达的。如果我们能够表示在一概念结构中不能不有某一命题，我们不但承认该命题，而且非承认它不可。这就是说，我们不但知道它底然，而且知道它底不得不然。我们不但“知道”而已，我们“懂”得该命题或“明白”该命题底道理。这二者底分别非常之大。“然”是一件事体，“所以然”或“不得不然”是另外一事体。证明所供给我们的就是这不得不然底感觉。的确，在证明中我们所求的是真，可是，不只是真而已。果然所求的只是真，我们不必要证明，只要有证实已经够了。如果在证实之后，我们还要更进一步去求证明，我们所求的不只是真而且是不得不真。得到证明，我们才能恍然大悟说“懂了”。

5.证明中的事实成分在历史中。还有一点，我们得附带地提及一下，懂或明白总是证明者或读者或听者底懂或明白。证明本身一方面是一种形式的概念底关联底排列，它是可以懂，可以明白的排列；至于我们懂得它或明白它与否是证明底另一方面底成分，它是事实成分；这一成分我们虽然没有从长讨论，然而它非常之重要。显而易见，没有它，一种概念底关联底排列不是证明。这是证明底非形式的成分，既有这一成分，证明中的命题总牵扯到命题显现。就证明者或读者或听者说，命题总牵扯到他们底命题显现。不但证明中的p，q，r……牵扯到命题显现，P，Q，R……也牵扯到命题显现，后者也许更为重要。用本书前此所用的术语，证明不但是静的思议底结构，而且是动的思议底历程。所谓懂或明白也就在这历程中出现。