在“十一”黄金周青岛的海滨，天气晴朗，海风阵阵，海滨浴场还有人在游泳。午饭后，爸爸和妞妞在海边散步。爸爸四十多岁，一身休闲装，浓眉下目光炯炯，头发有些过早的斑白，将军肚也不知道什么时候开始出现了，不过身体看上去还是非常匀称、健壮。

“什么东西是无穷无尽的？”妞妞望着大海，轻声地问爸爸。

妞妞十一岁了，已经上小学六年级了，是一个十分聪慧的小女生，身材高挑，有着一双充满好奇和探索光芒的大眼睛，嘴角有些顽皮地向上微微翘起，总希望能提出一些有趣的问题把爸爸难住。

妞妞问：“大海那边是什么呢？”

茫茫大海的尽头，只看见海天分隔的一条线，线上面是蓝蓝的天空，挂着几丝白云；线下面是深蓝色，甚至有些深绿色的大海。海上有几条大货船，似乎凝固在海中。

“海是有尽头的，海的那边近一点说是日本，远一些说是美洲大陆。”爸爸回答道。

“那么沙子是不是无穷无尽的呢？”妞妞问道。

“当然不是，沙子到底有多少粒，我们不太容易数得清，但是它肯定是有数的。”爸爸沉吟了一会儿，想着如何把这个问题讲得更加清楚一些。“地球的重量是一个固定的数，尽管它很大，但它所包含的物质是有限的。所以地球上的沙子肯定也是有限的。”

“我知道，数字是无限的。”妞妞眨巴着明亮的眼睛继续说，“1，2，3，4，5，6，7，…没完没了，直到无穷无尽。”

“妞妞真是个爱动脑筋的好孩子。的确，自然数是没有穷尽的，但是你想过没有是自然数多，还是偶数多呢？”爸爸有意挑战妞妞的思维。

“当然是自然数多，因为偶数没有1，3，5，7这样的奇数嘛！”妞妞微笑，觉得这是一个很容易回答的问题。

“那么现在假设你那有一副无穷无尽的扑克牌，上面都是自然数。我也有一副扑克牌，上面都是偶数，我们比一比看看谁的牌多好不好？”

“好呀！”妞妞觉得这个游戏不会有什么意思，但是爸爸平时都不让她玩扑克牌，这样的扑克游戏玩一玩也不错。

“你每出一张牌，我都出一张它的两倍数。比如，你出1，我就出2；你出2，我就出4。这样你出任何一张牌，我总有牌和你对应。我的牌还比你的牌大呢！”爸爸含笑看着妞妞，“这样看来，我的牌怎么会比你的牌少呢？”

“可是我有你没有的牌呀，你怎么能够和我的牌一样多呢？”妞妞十分困惑。

“我们说的个数的这个概念，在无穷的世界里，失去了度量的意义。这好像有些奇怪，而且过去也让许多数学家们困惑过。”爸爸希望能用尽量简单的语言把这个问题说清楚。

“比如，自然数是一个无穷的数字队列，把其中特别的任意多个数字拿掉，这次我们拿掉的是奇数，剩下的数字依然是一个无穷的数字序列，我还能和你玩扑克游戏。你出一张，我就能出一张，让我的偶数和你的自然数一个一个对应。”

“在无穷的偶数中拿掉有限的数字，比如，把从2开始一直到1000000000（十亿哟！）的偶数都拿走。从1000000002开始，你出任何一张牌，比如，n，我就出1000000000+2n，怎么样？我依旧是总有牌出的。”

“那么一个无穷数列里去掉一个无穷数列后，也会剩下一个无穷数列吗？”妞妞似乎开始有些明白。“从我的自然数队列里面把奇数列拿掉，剩下的是偶数列，奇数列和偶数列都是无穷的数列。”

“这不一定总能成立，比如，在自然数数列中，从1000开始我们把之后的无穷数列去掉，剩下的就是一个从1到1000的有限数列了。”妞妞点了点头，表示自己已经明白。

“一般而言，无穷数列的奇数项和偶数项各自单列，是能够构成两个无穷的数字队列的。实际上按照这样的方式，可以分出任意有限个无限数列。这个特点和有限队列均分之后数量减少的性质完全不同。一百个士兵，均分为十队，每队就只能有十个人，对不对？”爸爸希望这些没有让十几岁的小脑袋瓜糊涂。妞妞点点头，爸爸接着说。

“但是无穷数字队列就不一样了。比如，无穷的自然数数列，按顺序均分为1000000000个数列，每一个数列都可以是无穷的数列。我们可以把第K个数列表示为n×1000000000+K，其中n表示自然数。也就是说每隔10亿抽出一个数，可以形成10亿个无穷数字队列。”

爸爸和妞妞慢慢往前走。沙滩上有许多孩子放风筝，五颜六色的风筝高高飞翔，光脚的孩子们欢笑着奔跑，可妞妞似乎一点都没有注意到。“就像孙悟空的分身法术，能变出许多的孙悟空，而自己一点都不受损失。”

妞妞抬起头，若有所思地说。“尽管它们每一个数列要经过1000000000次之后才能得到一个数字，但是它们居然还都是无穷多的数列！太不可思议了！齐天大圣孙悟空？”

“这只是一个比方！想一想，假如你有无穷的财富，那么你分给地球上的每一个人，每一个人都会拥有无穷的财富。这是不是很奇妙？可惜这种事情只能在无穷数列的世界里才能发生，因为人们还没有办法找到拥有无穷无尽现实财富的方法。”

妞妞点点头，表示自己有些明白了。“这确实太奇妙了！可是，爸爸，吝啬鬼故事里面的鸡生蛋，蛋孵鸡，算不算是无穷无尽的财富呢？”

有个故事是说吝啬鬼偶然捡到了一个鸡蛋，非常高兴。回家后对妻子说：“我们家发财就靠这个蛋了，蛋孵鸡，鸡生蛋，蛋再孵出更多的鸡。”前些时候爸爸给妞妞讲过这个故事。

爸爸回答说：“如果我们考虑无限长的时间，的确是可以有无穷多的鸡和蛋。如果这就是财富的话，就是无穷的财富。可惜我们无法找到能够永远不死的人来管理和分享这样的财富。换句话来说，这不是现实的财富。再说地球是有限的，地球上能够养活的鸡也会有限度。”

妞妞看上去有些失望。

爸爸接着说：“按照我们刚才说的扑克游戏，我们也可以拿平方数和自然数一一对应，对不对？你出任何一个自然数，我就出它的平方。”

“对，但是这还是两个一样无穷的数列呀！”妞妞这次不再上当了。

“我们没有办法比较它们的个数多少，但是我们可以比较它们变大的快慢，对不对？妞妞，如果一个自然数比另外一个大，那么它们的商有什么特点？”爸爸问妞妞。

“商应该大于1。”妞妞回答。

“自然数列和偶数列是同阶无穷大量，可是自然数列不是比偶数数列变大快一倍吗？为什么它们还是同阶呢？是不是因为它们的差距还不够大？”妞妞很是为自己的数列不能比爸爸的数列高一阶而不平。

“这也没什么难理解的，快一倍是没错，但是只是相差常数倍，对不对？在无限的世界里，常数倍意味着没有实质的改变。就像你上小学，一年级、二年级，直到五年级、六年级都是小学生，但是过了六年级，你就升初中了。中学生和小学生就是根本的变化。”

妞妞说：“这些有点儿难了，不过我知道了当我们进入无穷世界时，会发生许多神奇的事情。今天是不是就先到这里，我还要去捡一些好看的贝壳。”沙滩上间或能看到五彩斑斓的贝壳，看来妞妞低头思考的时候也还是没有忘记一个孩子的天性。

“没问题，只是你能不能在找贝壳的时候想一想，除了数字和时间之外，世界上还有什么是无穷的，好不好？”爸爸微笑地看着往海边跑的妞妞。

“当然，没问题！我真希望我有无穷的贝壳！”妞妞跑得老远了，还在大声地喊。

“只是希望你拥有了无穷的贝壳之后，不要太失望！”爸爸喃喃地说，面带微笑。