提要：界域、逆界域、范限、反逆的概念/自反性、对称性、传达性的定义及其相关情形

“吴先生！逻辑传统比现代逻辑的范围窄，是不是？”王蕴理问。

“是。”

“窄在什么地方呢？”王又追问。

“很多，很多，最明显而易见的地方，是逻辑传统没有将关系的研究包含进去。我想……如果当初逻辑传统将关系的研究包含进去，它的内容一定比较丰富得多。‘关系’（relation）在逻辑里很重要，如果没有关系，那么逻辑的内容恐怕要少掉许多。十九世纪有位德国逻辑家叫作施罗德（Schroeder），他对于关系就作过许多研究，蔚为大观。

“关系既然这样重要，吴先生可不可以讲点给我们听呢？”周文璞问。

“当然可以，不过……关于关系的研究，认真说来，在逻辑各部门中是最复杂的一部门，我们现在只好简单地谈谈。”

“关系是什么呢？”王蕴理问。

“我们最好先不谈这个问题。就一派哲学的说法，关系好像是空气，无所不在的东西。这种说法，无论通或不通，似乎不在逻辑范围以内，所以我们不必讨论。如果从纯逻辑观点来推敲什么是关系，那么必须从函数论（theory of functions）开始，这非我们现在之所宜。我们现在所须知道的，是‘关系’一词在各种情形之下的用法。照科学家看来，宇宙之间事事物物总是以各种不同的方式联系起来的；物理的事物彼此有空间关系，或有引力关系；人同人之间，是靠婚姻、血统、朋友、同学、同事、同队等等关系联系起来的。

“关系，我们首先可以从两种观点来讨论。第一种观点是从关系的性质（property）来考察；第二种是从关系的外范之数目来考察。就我们现在的目的而言，我们只能多注意到关系的性质方面。在谈关系的种种性质以先，为了便于了解起见，我们要介绍几个概念。”

老教授一条一条地写着：

“界域（domain）：一种关系R的界域乃使R与各种事物发生联系的一切事物之类。例如，‘作丈夫’关系的界域乃一切丈夫之类。

“逆界域（converse domain）：一种关系R的逆界域乃该关系R由之而生的一切事物之类。例如‘作丈夫’的关系之逆界域，乃一切妻子之类。没有妻子，当无丈夫之可言。当然，我们也可以说‘丈夫’之类乃‘作妻子’的关系R之逆界域。

“范限（field）：一种关系R的范限乃属于关系R的界域与逆界域的一切事物之类。换句话说，范限乃一种关系R的界域及逆界域之逻辑和（logical sum）。例如，一切丈夫与妻子的类乃‘作丈夫’的关系之范限，也是‘作妻子’的关系之范限，也是‘夫妇’关系之范限。

“反逆（converse）：关系R的反逆，乃当任何时候a与b有R关系时，b与a所具有的关系。‘在东’的关系乃‘在西’的关系之反逆。‘被称赞’这种关系，乃‘称赞’关系之反逆；一种关系R的反逆之界域的分子与R的逆界域的分子相同。

“谈到关系的性质，基本的有三种，即自反性（reflexivity）、对称性（symmetry）和传达性（transitivity）。而每一种都有其反面和中间情形，所以一共有九种。

“自反性，一谈到自反性，我们不要望文生义，以为是‘吾日三省’中的那种‘自反’。那种‘自反’，是在道德修养上做功夫；也不是所谓‘自反的思想’（reflective thinking）中的‘自反’。这种自反，至少在一种意义之下，是思想反照着思想。我们现在所说的自反是一种纯粹的关系，一个类是它自己，一个语句是它自己。用符号来表示是：

xRx

“如果aRa对于关系R的范限之每一分子为真，则此关系R是自反的。‘相似’是一种自反关系。一个人，无论如何，在任何情形之下，总是与他自己相似的。

“自反的反面是不自反（irreflexive）关系。如果aRa对于关系R的范限之每一分子为假，则此关系是不自反的。‘异于’是不自反的关系。任何人不能‘异于’他自己。‘作儿子’的关系是不自反的，任何人不能够自己作自己的儿子；‘作父亲’的关系也不是自反的，一个人不能是他自己的父亲。不自反关系，在我们现在看来，似乎无关重要，不值一提，这是因为我们没有碰见逻辑上比较精细的问题。类的分子关系（class membership）是不自反的，这点就甚关重要，如果不然，我们说类是它自己的分子，那么便会引起极严重的自相矛盾。这种自相矛盾，是一种诡论。现代逻辑家费了很大的气力才消除了这种诡论的。

“在自反与不自反之间有准自反（mesoreflexive）关系。如果aRa在有些情形之下为真，而在另外的许多情形之下为假，则关系R为准自反，‘欣赏’便是这种关系。有人自我欣赏，有人不好意思，所以，是准自反的。在一类人中，‘自傲’是准自反性的关系，因为，在一类人中，有的人自傲，有的人不自傲。可能自反而不必然自反的关系就是准自反关系。

“对称性。如果无论在何情形之下aRb为真则bRa亦真，则关系R是对称的。‘夫妇’关系是对称的，如果a与b有夫妇关系，则b与a也必有夫妇关系。中国传统的建筑多半是对称性的；皇帝两边有左臣右相，也是对称的。曹操款待刘备，青梅煮酒论英雄时，若曹操坐在刘备对面，刘备也当然坐在曹操对面。‘对面’就是有对称性的。‘同年’有对称性，如果张三与李四是同年的，那么李四一定也与张三是同年的。不过，逻辑并不涉及类此一个一个有对称性的特殊关系，而只研究普遍的对称性。对称性用符号表示出来是：

如果aRb那么bRa

“在黑板上所写的公式中，a、b……表示关系项之变量。R表示任何关系。于是这个公式读作：如果a与b有R关系，那么b与a有R关系。假若有a、b是一对双生子，如果我们说a的相貌像b，那么我们也得承认b的相貌像a。因为‘相像’是对称的。在这种关系之中的两项，无论怎样对词，总是说得通的。

“可是，并非所有的关系皆有对称性。周文璞，我现在请问你，如果a是b的弟兄，那么b是否是a的兄弟？”吴先生慢慢吸烟，等着周文璞回答。

“大概是吧！”

“哈哈，大概是的！我说大概不是的。逻辑界域里有什么大概可言？”老教授忍不住笑道，“如果苏辙是苏轼的弟兄，那么苏轼是不是苏辙的兄弟？请你再想想。”

“当然是的。”

“好吧！那么我再请问你，如果苏轼是苏小妹的弟兄，那么苏小妹是不是苏轼的兄弟？”

周文璞愣住了。

“哦！这一下你发现困难了吧！从这个例子，我们就可以知道，我们不能由a是b的弟兄，而随便顺口就说b是a的弟兄。如果a是b的弟兄，那么在有的情形之下，b是a的弟兄；在另外的情形之下不是，而是姊妹。类此的关系很多。例如，如果甲男子爱乙女子，那么乙女子也许爱他，也许不爱，可没有人保险，是吧？”

“呵呵！”

“哈哈！”

“这种关系，用符号表示出来是，”吴先生又在黑板上写着：

如果aRb，那么bRa或不是bRa

“这种关系性质，叫作准对称性（mesosymmetry）。‘作朋友’的关系便是准对称性的。a跟b扯交情，b不见得一定与a扯交情，也许扯，也许不扯。有的人爱说‘我的朋友胡适之’，也许胡适之还不认得他哩！……可是，准对称性并不是反对称性（asymmetry）。反对称性可以表示：

如果aRb，那么不是bRa

“如果美国较英国富，那么一定不是英国较美国富；如果我较你高，那么你一定不比我高；如果甲在乙之右，那么乙一定不在甲之右；如果黄帝是我们的祖先，则我们一定不是黄帝的祖先。‘作祖先’‘较富’‘较高’‘在右’等等关系，都是反对称性的。

“我们现在要谈谈传达性（transitivity）。假若某赵大于某钱，而且某钱大于某孙，那么一定是某赵大于某孙。假若有A、B、C三个类。如果A包含B，而且B包含C，那么一定A包含C。如果甲矮于乙，而且乙矮于丙，那么甲一定矮于丙。‘大于’‘包含’‘矮于’等等关系，都是有传达性的。用符号表示是：

如果aRb而且bRc，那么aRc

“可是，如果a和b有某种关系R，而且b和c有某种关系R，那么a和c之间在某些情形之下有某关系R，而在其他情形之下没有，这种关系叫作准传达性（mesotransitivity）的关系。用符号写出来：

如果aRb而且bRc，

那么aRc或不是aRc

“这种关系是很多的，‘朋友’关系便是其中之一。如果英国是美国的朋友，而且美国是中国的朋友，那么英国不必是中国的朋友。如果周文璞是王蕴理的朋友，而且王蕴理是另一人的朋友，那么周文璞也许是另一人的朋友，也许不是那另一人的朋友，周文璞也许根本就不认得那个人。所以，我们不可因周文璞是王蕴理的朋友，而且王蕴理是那另一人的朋友，而推论周文璞是那另一人的朋友。‘朋友的朋友是朋友’不见得是真话。‘喜欢’也是如此，甲喜欢乙，而且乙喜欢丙时，甲也许喜欢丙，也许不喜欢，并无一定，这是因为‘喜欢’虽然可能有传达性，但不必然有传达性。

“不过，准传达性与反传达性（intransitivity）不同，我们不可混为一谈。”吴先生加重语气，“反传达性的关系是：如果a与b有某种关系R，而且b与c有某种关系R，那么a与c一定没有某种关系R。我的祖父是我父亲的父亲，但是，我的祖父一定不是我的父亲；X是Y的儿子，Y是Z的儿子，X一定不是Z的儿子。具有这种性质的关系很不少。‘……的师傅’‘……的母亲’等等都是。我们可以将这种关系性质表示作……”

吴先生写出：

如果aRb而且bRc，那么不是aRc

吴先生靠在沙发上，慢慢抽着烟。

“这几种关系性质并列在一起，便有怎样的性质呢？”王蕴理问。

“如果这几种性质并列在一起，那么所产生的性质便很复杂。我们现在只将几种最简单的提出说说。

“最显然易见的性质，是既自反又对称而且又有传达性的关系，等于就是具有这三种性质的关系。A等于它自己，这是有自反性；若A等于B，则B等于A，这是有对称性；若A等于B，而且B等于C，则A等于C，这是有传达性。

“既有对称性又有传达性的关系。‘同时’是既有对称性又有传达性的关系。若甲与乙同时到达，则乙必与甲同时到达。若甲与乙同时上船，而且乙与丙同时上船，则甲与丙必为同时上船。

“有对称性而是反传达性的性质，一排士兵在一条直线上站立时便有这种关系。若甲兵紧靠乙兵之旁，则乙兵必紧靠甲兵之旁，这是有对称性。可是，若甲兵紧靠乙兵之旁，而且乙兵紧靠丁兵之旁，则甲兵一定不是紧靠丁兵之旁，这是无传达性。

“有传达性而又有反对称性的关系。若周文璞比王蕴理起得早，而且王蕴理比我起得早，则周文璞一定比我起得早。‘早些’有传达性，但无对称性，若周文璞比王蕴理起得早，则王蕴理一定不比周文璞起得早。‘兄长’也是如此，若老大是老二的哥哥，而且老二是老三的哥哥，则老大一定是老三的哥哥，这是有传达性，但没有对称性；若老大是老二的哥哥，则老二一定不是老大的哥哥。‘美些’‘在右’等等都属这一类。

“反对称而又反传达的关系。‘作祖父’‘作父亲’‘作儿子’……都是这种关系；若甲是乙的祖父，则乙一定不是甲的祖父，这表示‘祖父’无对称性。若甲是乙的父亲，而且乙是丙的父亲，则甲一定不是丙的父亲；‘作儿子’的关系亦然，都无传达性。

“从关系的外范着想，即依照关系所包含的项目之多少着想，关系可以分作二项的dyadic，三项的triadic，四项的tetradic，五项的pentadic，……多项的polyadic。‘罗密欧爱朱丽叶’，在这个语句中，‘爱’是二项关系。结婚时‘作介绍人’则是三项关系，因此项关系牵涉‘作介绍人者、男方以及女方’。”

“我们还可以从别的方面来考虑关系吗？”周文璞问。

“当然可以。依项目与项目之间的对应情形来考虑，关系可分作：一对一（one - one）、一对多（one - many）、多对一（many - one）、多对多（many - many）四种。在基督教的规定之下，夫妇关系是一对一的关系。可是，假若一个未婚女子不只交一个男友，则她对男友的关系是一对多的关系。……所以，”老教授笑道，“你在与某小姐交朋友时，别生出误会，以为是一对一的关系哩！”

“哈哈！学了逻辑就不致误会了！”周文璞得意地说。

“‘作司令官’的关系也是一对多的关系。是不是？因为，在一个单位中，只有一个司令官，而兵则很多。多对一的关系也常见。在演讲中，听众是多，讲演者往往是一。‘作臣仆’的关系也是多对一。在古代专制之下，作臣仆者众，而作君王者只有一人。多对多的关系，例如，‘作教员’。在一个学校中，教员有许多，学生也有许多，所以是‘多对多’。

“关系的研究，我们在这里已把基本要点指出。至于详细的推演，只有待将来。”