附录Ⅰ：近距离看自旋

自旋是“普朗克常数”的量子化倍数。普朗克常数等于一个粒子的能量除以它的频率，它的值总是恒定的：6.6×10-34 J·s。粒子的自旋可以是普朗克常数的半整数倍或整数倍，即1/2普朗克常数，1普朗克常数，3/2普朗克常数，2普朗克常数，5/2普朗克常数等，它既可以取正数，也可以取负数(1)。

半整数自旋的粒子叫“费米子”，整数自旋的粒子叫“玻色子”，它们的行为非常不同（实例参阅第14章）。尽管所有粒子都有自旋，但并非所有粒子都有磁性。

“磁矩”是关于粒子磁性的术语。磁矩决定了粒子磁场的强度，它的公式如下：

其中，μ表示粒子的磁矩，它相当于“磁荷”。g表示朗德g因子，每个粒子的数值都是特定的。

e表示电荷，M表示质量，c表示宇宙极限速度（参阅第8章）。S表示自旋矩阵，这是一个2×2的数字网格，用于追踪粒子自旋的不同方式。

对于日常生活中的物体，我们可以用“角动量”来定义它的自旋，角动量可以衡量粒子的重量、自旋速度和旋转方向（顺时针或逆时针）。而对于量子力学中的自旋，这些数字是不够的，我们必须用四个可能的指向来描述它（我们称为自旋的四维矢）。有时自旋被称为“内禀角动量”，因为这是一种类似于角动量的性质，即使粒子处于静止状态，它也包含这部分特性。

这个方程表明，粒子的磁矩是它所有属性共同作用的结果。在施特恩-格拉赫实验中，他们实际测量的是银原子的磁矩，但由于每个粒子的质量、电荷与g都是特定的，所以原子飞行的两个方向必然是S（自旋属性）的结果。所以，尽管这个实验没有直接测量每个粒子的自旋（我们无法直接测量，因为我们甚至不知道自旋是什么样子），但我们可以通过磁性测量自旋的差异。

同样重要的还有，要使粒子具有磁性，它必须具有自旋和电荷。有自旋而无电荷的粒子，比如有1/2自旋而无电荷的中微子（第14章中讨论的粒子），在上述方程中e=0，所以整个方程的结果也是0。电荷与磁性息息相关，有电荷的粒子一定有磁性，反之亦然。

附录Ⅱ：求解薛定谔

求解单个质子（氢原子）周围的单个电子的薛定谔方程是可行的。然而，一旦考虑多个电子，它就会变得非常困难。

氦原子有两个质子和两个电子，所以你需要考虑每个电子与其中一个质子的相互作用、每个电子与另一个质子的相互作用、两个电子的相互作用、两个质子的相互作用，然后把所有这些结合起来。而且是在三维空间中将其结合起来。

原子或分子越大，我们需要处理的相互作用就越多，到最后即使强大的计算机也很难做到面面俱到。因此，在求和中使用几个近似值是理所当然的，这既节省了时间，又能给出近乎完整的薛定谔解。

我们经常使用的一种方法叫“轨道近似”。你可以想象原子中只有一个电子，我们给它提供更高的能量，迫使它进入高能轨道。

例如，当我们试图计算有26个电子的原子形状时，我们通常把它想象成一个氢原子，其电子能量是普通氢原子的26倍，这样看起来非常接近。

这就像是一个小孩通过踩高跷和穿大号衣服来模仿成年人。这个画面并不确切，但要感受“更大的版本是什么样子”，这是个很合适的方法。

我们使用的另一种方法叫“玻恩-奥本海默近似”，也就是假设原子核的能量与振动相比于电子非常缓慢，可以忽略不计。我们想象电子绕着一个带正电的点盘旋或波动，该点本身不值得一提。这让我们可以专注于电子以及电子之间的相互作用，而不考虑原子核对电子的影响。

但毫无疑问，薛定谔方程最好的近似解是“密度泛函理论”，由沃尔特·科恩和约翰·波普尔发明，他们因此获得了1998年的诺贝尔奖。

密度泛函理论（学术圈的人称之为DFT）是一种求解含大量粒子的分子波函数的漂亮方法。DFT并不是把每个粒子建模成单独的点，然后一次性计算它们的相互作用，而是把大糊块中的所有电子表示成一个“电子云”。

只要把所有电子弄得模糊不清，然后计算电子密度的“厚度”，你就可以谈论原子或分子在一段时间内的行为。电子云最厚的地方对应着电子最可能出现的地方，而电子云最薄的地方就是电子很少被观察到的地方。

小分子的DFT计算可以在几小时内完成，准确率通常超过90%。与严格求解薛定谔方程（计算大分子需要几年）相比，DFT已经成为量子计算的行业标准。

附录Ⅲ：爱因斯坦的自行车

下面这个简单的设想阐明了光速的恒定，它来自科学作家和电视主持人卡尔·萨根。卡尔·萨根设想了这样一个场景：一个人骑着自行车沿公路向你而来，突然一辆大卡车横穿公路，双方急忙转向。

卡车并非朝你驶来，所以来自卡车侧面的光以正常的光速接近你，物理学家用字母c表示这个常数。骑手朝向你骑车，因此来自自行车的光接近你的速度是“c+自行车速”。这意味着来自自行车的光比来自卡车的光先到达你的眼睛。

当卡车从骑手面前冲过，骑手会转向一边，来自骑手新位置的光会率先抵达你的眼睛（告诉你他移动了），然后很快你看到了来自横穿公路的卡车的光。

如果光速不是恒定的，你会看到自行车毫无理由地转向（来自卡车的光尚未抵达），接着几秒后卡车从它后面驶过。在这种情况下，你会很奇怪为什么骑手会提前几秒转弯。当然，事实并非如此。

来自卡车的光与来自突然转向的自行车的光同时到达你的眼睛，这听起来才是一个更合理的故事。但由于自行车向你移动的速度更快，它的光线按说应该率先抵达。唯一的解释是，来自自行车的光速并不是“c+自行车速”，而是c，与来自卡车的光相同。因此，无论每个人走得多快，光速一定总是相同的。

附录Ⅳ：驯服无限

理论物理学的许多问题都来自无限。以双缝实验为例，我们可以在墙上打两个孔，然后发射一个光子，通过结合两条可能的路径来计算它可能到达的位置。

如果你在墙上打第三个孔，情况也差不多。你计算光子的三条路径（而不是两条），然后计算这三条路径的可能结果。4个孔同理，40个孔、400个孔也差不多。但最终你会发现墙上有许多孔，以至于它不再是一面墙壁，而成了一个大的空洞。

这意味着我们必须计算光子的无限多的路径，因为墙上有无限多的孔（没有墙=无限多的孔）。如果没有墙，我们直接把光子照射在探测屏上，显然光子就会走直线。这就好像光子“嗅出了”（费曼的说法）无限种可能的路径，然后它选择了经典的路线—就好像无限以某种方式被抵消了。

QED另一个棘手的问题是粒子与自身的相互作用。电子带负电荷，这意味着它与其他带负电荷的粒子相互作用。严格意义上来说，因为电子是带电的，所以它会与自身相互作用；但由于电子与自身无限靠近，当我们尝试计算其相互作用时，这种自身的相互作用会给出无限的答案。

这两个例子真让人头疼，因此无限并不是物理学中真正的东西。它存在于抽象的数学世界，而真正的宇宙没有无限（宇宙不可能容纳无限），所以当理论预测了无限的答案后，这意味着理论一定有问题。

当方程开始趋于无限时，科学家称为“发散”，许多物理学家都在努力消除这些数字爆炸。通常的方法是通过修改方程、推导新方程或改变输入值，得到更合理的答案。

一种比较笨拙也极其粗糙的方法是在数字变得太大时直接砍掉它（这种方法叫正规化）。这种方法比对着方程哭泣并忽略它好不了多少。

还有一种更复杂的方法叫“重整化”。这个方法是为场选择属性（主要是根据猜测），用这些值求解一系列不同的方程，直到与答案相匹配。被纳入的细节越多，计算值就越接近实验结果。

这个数学表达式相当于通过许多目击者的描述合成一幅罪犯的素描。你要先做一些假设，例如罪犯的面部结构，然后让许多不同的目击者据此推断，从相同的起点创建不同的草图，然后看是否匹配。

如果这些草图相当精准，你就可以查看某个已知罪犯的照片（真实世界的值）。如果匹配，那么你刚开始的假设和绘图方法是有效的，否则你就要退回去，用不同的假设和不同的绘图方法重新开始，一遍又一遍，直到最终成功。老实说这是一种试错，但它的确有效。

附录Ⅴ：用夸克的所有颜色作画

当你看到物体的颜色时，实际上看到的是电磁场的扰动。原子、分子与一定能量的电子保持和谐，这个能量相当于光子被吸收或被反射的能量。

高能光子打在你的眼睛上，大脑会把它解释成紫色；低能光子打在你的眼睛上，大脑会把它解释成红色。

从这个角度来看，基本粒子没有实际的外观，只有它们激发的光子才有。这个画面很难描述，因为根据我们的经验，大多数物体都有颜色。你画一个网球，在一个很幼稚的层面上它的表面呈绿色，但实际上这意味着网球表面的电子通过光子场传递能量，其能量值被你的大脑解释成绿色。

夸克确实把能量转移到光子场（它们带有电荷），但这些能量太高了，我们的眼睛看不到。夸克实际的“颜色”与X射线或γ射线的“颜色”相同，对我们来说是不可见的。

同样的道理也适用于在空间中移动的单个电子。除非粒子真的与什么东西相撞，或者被原子捕获而失去能量（以光子的形式释放能量），否则我们永远看不到它靠近或远离。

水中移动的电子会发出蓝光（这种现象叫契伦科夫辐射），而空气中的电子更多呈紫色（闪电的颜色），雪地上的电子更多呈粉色或绿色。但不管怎样，原子核及原子核内的夸克、质子和中子，是人眼完全无法看到的。

(1)　这一段有两处疏忽。第一，自旋并不是“普朗克常数”的量子化倍数，而是“约化普朗克常数”的量子化倍数。普朗克常数h等于粒子的能量除以频率，值为6.6×10-34 J·s；而约化普朗克常数?等于h/2π。“约化普朗克常数”更常用，因此经常被简化为“普朗克常数”，但读者需要知道二者是不同的。第二，自旋也可以是0倍的普朗克常数，即希格斯玻色子的自旋为0。—译注