薛定谔博士

现在仍然有人不接受玻尔原子理论中的电子壳层和量子跃迁。这些理论没有解释为什么只存在特定的能量壳层，以及为什么其预测的数据并不总是与实验相符。

玻尔根据不同的理论把原子捣碎、揉在一起，就像一个玩洋娃娃的孩子强迫娃娃亲吻。他知道这不能一劳永逸，必须有一个更简洁、更优雅、没有人想过的理论。想出这个理论的人是埃尔温·薛定谔。相较于他的理论，薛定谔的个人生活更令全城人津津乐道。

薛定谔是个天才，他有些离经叛道，崇尚精神自由，喜欢打领结。在长达50年的职业生涯里，他就科学、艺术和哲学等主题撰写了大量文章。薛定谔是上流社会的弃儿，他与妻子安妮、情人希尔德的三角恋引发了不少流言蜚语。

尽管生活很有趣，但薛定谔的绯闻并不是他获得诺贝尔奖的原因（这本来可以当作获奖感言）。薛定谔获奖，是因为他有更好的方法解释原子。

骗子

薛定谔讨厌圣诞节。他反对带有宗教色彩的活动，这是人尽皆知的。所以，1925年12月，他决定搬到瑞士一座偏僻的别墅，从而远离一切庆祝活动。薛定谔的妻子留在家里，但“一位来自维也纳的旧情人”在避寒期间陪着他，这位女友的身份已不可考。[2]这段时间里薛定谔没有写日记，所以没有人知道他究竟做了什么，但我们知道他度假的行李箱中装着一个待解决的物理问题。

薛定谔一开始对量子论不感兴趣。他是个天才的物理学家，但专业领域是波的行为，而不是粒子。老实说，他对电子、光子和质子感到厌烦。当然，自从人们意识到有时需要把这些粒子看成波后，他就不这么觉得了。

如果把电子当成粒子，薛定谔知道很多方程来描述它的行为；但如果把它当成波，人们就束手无策了。他后来写道（转述自德语）：“这种极端的想法可能是错的……换句话说，忽略波的相反观点导致了很大的困难，以至于似乎应该夸大另一种方法的重要性。”[3]

其他人都在用粒子物理来描述原子，但如果他能提出一种波动方程以达到同样的效果，也许会带来新的洞见。本质上，薛定谔是想表现得特立独行。不管怎样，考虑到他得到了异性的青睐，而且将诺贝尔奖章随意地摆在壁炉上，或许我们可以说他做到了。

薛定谔自己也承认，他对数学了解不多，想不出新的定律，[4]但在那个不可思议的冬天，他显然把自己吓了一跳，因为在新年伊始，他带来了每个人都在寻找的东西：一个能准确描述核外电子能量的方程。

薛定谔把波粒二象性如何成立的问题放在一边，只关注事物的波动性。他设想把原子表面的每一个电子拉伸，就像把一块黄油涂在烤面包上一样。这层电子膜可以缠绕原子核，并以特定的频率振动。

对于给定的输入值，比如质量或原子核的牵引力，薛定谔方程能准确地预测原子中的电子以三维方式振动的形状，他称之为“波函数”。

波函数是一种方程，你可以用它来生成电子在特定空间或特定时间的一系列属性：波高、波长、波速等。

薛定谔方程对波函数（波函数是薛定谔方程中的一个方程）进行计算，并预测了电子的性质和行为如何随时间变化。不仅如此，它最终解释了为什么只存在特定的能量壳层。

我们要去的地方不需要粒子

由于原子中的每个电子都被原子核所俘获，所以电子的行为受到限制。例如，一个波只能以完整的波形出现，如下两图所示。左图表示单波，右图表示双波。

你找不到四分之三波，因为它不适合出现在直线上。直线上只允许出现特定的形状。

允许出现的波叫作“谐波”。这个听起来很有音乐感的名称并非巧合。上图的形状相当于你演奏的弦乐器的音符，在空气中每个波形都产生不同的声音。

当你拨动吉他弦或班卓琴弦，它会以一种特定的能量振动。不同的音符代表不同的谐波（允许出现的波）。薛定谔方程表明，与原子核结合的电子具有相同的音乐感。

当然，我们必须进入更高的维度，因为原子并不是直线。但如果能计算出三维振动的谐波，你就可以得到电子波的形状。很难想象该如何计算（这超出了薛定谔的才能），但幸运的是，不久后，其他数学家给出了答案。

第一个电子谐波呈球形（如下图左）；第二个电子谐波看起来像两个相互挤压的气球，一前一后（如下图右）。

这些球形和哑铃形告诉我们要去哪里寻找电子波。电子并不是像小球一样绕着原子核的，我们应该把电子想象成以原子核为中心的球状振动面。随着能量增加，其形状变得越发复杂（太难了，我画不出来……凭我的艺术修养画不出这些草图，但如果你感兴趣，可以在网页上搜索“s形”“p形”“d形”“f形”）(1)。

原子核周围电子振动的区域不再被认为是“轨道”，所以我们称之为“原子轨道”。当然，“薛定谔轨道”听起来更好。

这最终解释了能量量子化的由来。原子核周围只适合特定的电子谐波，因此特定的原子只能有特定的能量值。在玻尔的壳层理论中，能量层级是一种不知道从哪里冒出来的东西，而在薛定谔更高级的波函数理论中，能量层级是可以预测的。

更妙的是，薛定谔方程告诉我们，这些原子轨道只能以特定的角度结合，而整个化学学科证实了这一预测。

薛定谔方程也摆脱了那些讨厌的量子跃迁。当电子从内层轨道跃迁到外层轨道时，发生的事情就像是振动的跳绳随着你的手改变速度而改变波长。这种转变看起来令人厌恶，但整个过程很平稳，并非瞬间发生。电子从一个轨道变换到另一个轨道时要发射或吸收光子，这是电子波振动成新形状的结果。

唯一的问题

薛定谔方程计算的是波函数，并预测它会如何变化。关于电子我们想知道的一切，波函数都提供了充分的描述。毫无疑问，这是数学美的胜利。前提是你不去问那是什么意思。

你所需要做的，就是输入相关的数字，转动手柄，页面上的符号就会输出可靠的数据，告诉你在特定的情况下电子会发生什么。但……电子波……究竟是什么？

更令人忧心的是，如果不在运算中加入“虚数”，薛定谔方程就无法给出正确的答案。我在本书中尽量不用数学方法解释量子力学，但虚数对这个故事很重要，我们不能轻松地绕开它。所以，亲爱的读者，系好安全带，我们要开始玩数学游戏了！

发挥你的想象力

事情是这样的。取一个负数，比如-2，然后加倍，就得到了-4。我们可以把算式写成：-2×2=-4。

然而，如果我们用-2乘以-2本身，会得到相反的数字。一个负数乘以另一个负数结果是正数，因为负号被抵消了，也就是把负数彻底转变成正数。两个负数相乘得到正数，我们可以写成：（-2）×（-2）=4。

每个人都知道4的平方根是2（如果你不知道……那么，剧透警告！），但这不是完整的答案。事实上，4的平方根是2和-2，因为这两个数与本身相乘都等于4。

这意味着-4的平方根不是-2，因为-2的平方不等于-4。那么负数的平方根是什么？似乎没有任何数字与自身相乘可以得到负数。

为了解决这个悖论，亚历山大港的希腊数学家希罗发明了一种新的数字，这种数字垂直于我们习惯使用的数字。这些数字被定义为负数的平方根，勒内·笛卡尔称之为“虚数”，因为这些数字看起来不切实际。[5]

我们用字母i表示虚数，并把i定义为-1的平方根。-4的平方根是i2，-9的平方根是i3，-16的平方根是i4，以此类推。

虚数看起来像骗人，但话又说回来，数学家经常创造一些概念，在科学家为这些概念创造用途之前，它们看起来毫无意义。毕竟，有一段时间负数听起来很蠢，你能拿出-5个物体吗？

在这个意义上负数不是“真实的”，我们不能够用手数出一个负数，但它们绝对是有用的。电子的电荷与质子的电荷相互抵消，所以正负数是个很好用的系统。

同样，只有方程中包含虚数时，电子波函数才能成立。如果薛定谔的方法有效（它确实有效），那么电子不仅在三维空间里绕原子核振动，还在一个虚构的维度里绕原子核振动。大自然在搞什么鬼？

生而自由

德国物理学家马克斯·玻恩是第一个试图理解电子波函数真正含义的人。玻恩被量子力学的随机性迷住了，这是海森堡不确定性原理的直接结果。

我们测量一个粒子，最终能确定它的位置、动量等性质（在海森堡极限内），但真正奇怪的是，由于这些性质在测量之前有点模糊，重复测量几次会得到不同的结果。

如果一遍又一遍重复某个经典的（普通的）实验，你会得到相同的结果。让小球滚下斜坡，你很容易就能预测它会到达哪里。在牛顿这样的人看来，世界上不存在真正的随机或偶然，只存在可预测的物理定律。

对经典物理学家而言，哪怕抛硬币的结果也不是随机的。拇指施加的冲量、硬币在空中划出弧线的角度，以及它与地面的相互作用，都预示了硬币最终会哪一面着地。

如果有一台足够强大的电脑，并将所有的数据输入其中，你就可以准确地预测抛硬币的结果。我们之所以把抛硬币当成随机的，唯一的原因是我们无法立刻完成这么多计算。但量子力学不同，量子力学的结果似乎真的是随机的。

你也许听过这句格言：“疯狂就是犯同样的错却期待不同的结果。”这句话常常被误认为是爱因斯坦说的（事实上它出自匿名戒毒会1981年印刷的小册子）。[6]这是有道理的。如果你一遍又一遍重复同样的事情，却期待不同的结果，那你该有多疯狂？就像量子物理学家那样疯狂。

以双缝实验为例。一开始，你向双缝发射一束电子或质子或无论什么粒子，结果探测屏上出现了斑马条纹。但你不可能提前知道，当一个粒子落在屏幕上时，它会出现在哪条条纹上—你只能基于概率来猜测。

粒子有40%的概率落在中央光带，有20%的概率落在两侧相邻的光带，有10%的概率落在次相邻的光带，等等（暂且记下这些数字）。

实际上，当你沿着轨迹掷出电子，会发现它的终点都不同。海森堡不确定性原理迫使我们放弃预测未来的想法，让我们接受这样一个事实：事情的发生基于概率，优雅而疯狂的量子女神一时兴起的念头决定了一切。在实际测量以前，粒子的位置是不精确的（粒子是不确定的），我们在测量时只能预测可能的位置，而不是确切的位置。

所以，玻恩决定计算电子波通过双缝时的薛定谔解，发现波的“振幅”（波有多高）对应着我们熟悉的数字。

探测器屏幕中心的峰值（波的振幅最大的地方）亮度为6.32，接下来两边的两条光带亮度为4.47，再接下来是3.16。这些数字似乎没有规律，但其实有：它们是我们刚刚看到的百分数的平方根—40的平方根、20的平方根、10的平方根。

如果我们用薛定谔方程计算电子波，然后把结果与本身相乘（取平方），它们就会与实验中粒子的可能位置相匹配。

似乎薛定谔的波函数是计算电子在某个位置出现的概率的平方根。所以，哇，感谢玻恩，这下就清楚了。我还有什么不清楚的？

这究竟是什么意思

玻恩对薛定谔方程的解释，似乎暗示了概率是宇宙中粒子必须遵守的内在法则。而人类之所以发明概率，最初是为了预测哪匹马可能赢得比赛。

粒子当然是粒子，但其位置是由概率波决定的，而且在不断变化。根据量子论推测，我们不应该认为任何东西都有固定的位置，而要说位置是随机确定的，取决于概率。

粒子较有可能落在薛定谔波到达峰值的地方，而不太可能落在薛定谔波到达谷值的地方(2)。电子、质子和光子本身并不是波，但它们的可能位置是波。

我们永远无法准确地预测一个粒子在特定时间的位置，但通过薛定谔方程（以及假设粒子的位置在虚构和真实的维度上振动），我们可以计算出可能的结果。

因此，粒子可以反复通过相同的实验仪器，但最终出现在不同的位置，因为它们的命运并不是一成不变的。每个原因都有许多潜在的影响，量子女神的选择是完全随机的。有时，在原子某一侧的电子，当它的位置在空间中振动时，会发现自己处于原子的另一侧。

如果这一切有些复杂、让人困惑，那么讲一点有趣的冷知识来放松一下：歌手兼演员奥莉维亚·纽顿-约翰是马克斯·玻恩的外孙女，曾在1978年的电影《油脂》（Grease）中与约翰·特拉沃尔塔演对手戏。

遗憾的是，《油脂》并没有提及量子力学，除非我们认为“寒栗”是“波函数”的隐喻。当寒栗倍增时，这意味着波函数与自身相乘（取平方）以求得电子的最终静止位置的概率。

如果是这样的话，我们可以准确地说，一旦我们解开了薛定谔方程，面对的将是一场哲学危机，我们将不得不接受完全随机的实验结果，因此我们正在“失控”。

通向胜利的隧道

虽然玻恩对波函数的解释非常大胆，但有一种方法可以检验。我们可以把一个粒子扔向墙壁，看它是否能被粘住。

想象一个经典的（普通的）物体，比如网球，把它猛地掷向障碍物，接下来发生的事情是毫无疑问的—它会撞上障碍物，黏滞片刻，然后反弹回来。

玻恩对量子粒子的解释却截然相反。粒子的位置可以描述成不断振动的概率波。

如果把电子掷向墙壁，我们必须把它当成波。波的每一个峰值意味着“粒子很可能在这里”，每一个谷值意味着“粒子不太可能在这里”。所以如果波接近墙壁，其中的一些峰值会出现在墙壁的另一侧，就像这样：

如上图所示，当粒子到达墙壁时，其可能位置大部分在同一侧（波的峰值大多数在左侧），但每隔一段时间就会有一小部分出现在另一侧。这种情况并不常见，因为波函数的值在另一侧很低（只是一个小的隆起），但电子偶尔会出现在墙的另一侧。

这种现象被称为“量子隧穿”，与玻恩的预测完全一致，人们已经多次观察和记录到。电子学中甚至有一种叫“约瑟夫森结”的设备，由夹着绝缘体的两块导电材料构成。通常来说电子会被这样的势垒阻挡，但由于量子隧穿效应，电子可以穿过势垒。我们可以通过改变势垒的厚度来控制电流的流动。

量子隧穿发生的时间是一千亿分之一秒[7]，在本质上类似于双缝实验。粒子可以选择从墙上弹回来，也可以选择通过隧道，就像粒子可以选择通过哪一条狭缝那样。唯一不同的是，在双缝实验中，粒子通过每条狭缝的概率是50%，但在上述的量子隧穿中，粒子穿过势垒的概率很低，所以这种情况很罕见。

量子隧穿也解释了放射性的来源。原子核有时会随机喷出几个质子和中子（“α辐射”）。这在经典物理中是不可能的，因为质子和中子被原子核中的其他质子和中子包围，不可能穿过。

但现在我们可以用波函数来描述所有粒子的位置，其中，一小部分粒子可以悬在原子之外。每隔一段时间，原子内部的粒子就会随机地通过隧穿到达原子的边缘，然后神奇地出现在原子外面。这正是我们在放射性辐射中观察到的。

选择用词

在1926年之前，量子论之间有一些松散的联系，是薛定谔把它们编织在一起的。他指出，波粒二象性与电子壳层的能量层级有关……这解释了原子轨道的形状和所有的化学理论……让我们可以通过概率来预测粒子。

在某些圈子里，人们大致认为早期的量子物理学家研究的是“量子论”，比如普朗克、爱因斯坦、德布罗意和玻尔，而薛定谔、玻恩和海森堡研究的是更复杂的“量子力学”。

大多数人并不纠结于这种区别，通常用“量子力学”指代1926年以前和1926年以后的物理学。但对于纯粹主义者而言，量子论始于普朗克，而量子力学始于薛定谔。

(1)　spdf是原子轨道的名称，s形轨道呈球形，有1个轨道，可容纳2个电子；p形轨道呈哑铃形，有3个轨道，可容纳6个电子；d形轨道呈花瓣形，有5个轨道，可容纳10个电子；f形轨道呈三角双锥形，有7个轨道，可容纳14个电子。—译注

(2)　原文不准确。粒子出现的概率对应的是波函数振幅的平方，因此实际上，粒子较有可能落在波峰或波谷（振幅最大），而不太可能落在波节（振幅为0）。—译注