目前关于双因子CAT的基本过程包括两种，一种是基于单维视角的BCAT过程，另一种是基于多维视角的BCAT过程。

一、基于单维视角的BCAT过程

在基于单维视角的BCAT（CAT With the Bifactor Model，BICAT）程序中，一般因子与特殊因子的施测过程是分别进行的，首先施测一般因子，接着施测特殊因子，选题的时候只考虑一个维度，被试每完成一个题目，当即估计被试在当前施测维度上的潜在特质水平（θ），如图8-2-1所示。

图8-2-1 基于单维视角的BCAT过程

根据Weiss和Gibbons（2007）的研究过程，BICAT的算法过程通常需要考虑下面几项内容：

第一步，验证一组题目作答数据是否拟合双因子模型。

第二步，（在数据拟合双因子模型的前提下）把从双因子解中获得的每个题目的截距参数（Intercept Parameter）（γi）转换成两参数Logistic IRT模型下的bi参数。转换过程可以通过下面的公式获得

在上述公式中，aiG表示第i题在一般因素上的项目区分度。

两参数的Logistic模型如下所示：

在上述公式中：

uij表示被试j在第i题上的作答结果，为二级计分，当被试正确作答，则记为1分，否则记为0分。

θj表示被试j的特质水平。

D=1.7，是一个常数。

第三步，对每个被试进行一般因素维度题目的CAT。每次开始进行CAT的时候，都以0作为θ的初始值，选题过程中只需要考虑一般因子。被试在一般因素上的潜在特质水平θ采用贝叶斯模型估计（MAP）或EAP等方法进行估计，CAT的终止策略采用固定θ估计标准误（SEM）等方法，从而使得不同被试需要完成的题目数量有所差异。

对于一般因素施测，这里需要说明的是，每个被试在接受一般因素的测试的时候，所选出的题目可能并不完全一样，而且每个人需要完成的题目数量也是不一样的。例如，这里有三个被试：被试1、被试2、被试3，他们分别参与进行了BICAT，首先进行的是一般维度的施测，那么三位被试参与测试时由CAT程序为被试选出的题目可能如图8-2-2所示。

图8-2-2 在三位模拟被试接受一般因子CAT时选出的题目

注：圆圈标出的题号表示属于特殊因子1维度的题目；图片引自Weiss和Gibbons（2007）

在一般因素施测满足精度要求，达到预先设定的终止标准之后，BICAT程序还没有完成，需要依次施测特殊因子1、特殊因子2……特殊因子n，直到将所有维度施测完成。因此从第四步开始，就是对特殊因子施测的过程说明。

第四步，对于特殊因子1（内容量表1（Content Scale 1））而言，需要找出在一般因素CAT测验中已经施测过的属于特殊因子1的题目。

第五步，找到属于特殊因子1的题目之后，根据这些题在特殊因子1上的双因子载荷或是这些题目在特殊因子维度的区分度求取θ值，以此作为特殊因子1的CAT初始值。

第四步和第五步可以联合起来进行，也就是把被试完成了的一般因素的题目中属于特殊因子1维度的题目挑选出来，然后根据这些题目在特殊因子1维度上的IRT区分度来估计被试在特殊因子1维度上的θ初始值。在图8-2-2中，以被试1为例，该被试在一般因子施测时，完成了15个题目，其中调选出的17、27、35、46、49题属于特殊因子1的维度，因此，找到这些题目在特殊维度上的项目参数，估计被试在特殊因子1上的初始能力。

这里同样需要说明的是，根据图8-2-2可知，不同被试之间除了一般因素上施测的题目不同之外，他们所接受的属于某一特殊因子维度的题目也是不完全相同的，被试之间施测的特殊因子题目会因为被试在一般因素上的θ的不同而不同。

第六步，采用特殊因子1维度的区分度参数和一个恰当的终止标准实现特殊因子1的CAT。特殊因子维度的CAT程序与一般因素的CAT程序大致相同，在选题的过程中也只需要考虑当前正在施测的特殊维度，但在特殊因子施测过程中，有两个地方与一般因素施测过程不太一样：①在特殊因子的CAT中，采用的是不同的初始值，估计的初始值主要是根据第四步和第五步进行的（而在一般因素的CAT程序中，初始值一般是以平均水平，如θ=0作为初始值，或是从题库随机中挑选题目估计能力作为初始值）；②在特殊因子的CAT中，采用固定SEM的方法作为测验终止标准，但是不同维度的CAT中作为终止标准的SEM值可能会不一样。

图8-2-3以被试1参与特殊因子1施测作为例子，说明了采用一般因素CAT中特殊因子1维度的题目，开始特殊因子1维度的CAT施测的过程，Scale 1 Item表示的是剩余题库中属于特殊因子1的题目。

图8-2-3 特殊因子施测，以被试1的特殊因子1为例

注：图片引自Weiss和Gibbons（2007）

第七步，对每个特殊因子维度的CAT重复进行第五步至第六步，剩余特殊因子的CAT施测过程与特殊因子1的施测过程相同，即：

（1）从一般因素的CAT中找出已经施测了的相应特殊因子维度的题目。

（2）根据这些从一般因素CAT中已经施测了的相应特殊因子的题目及其在特殊因子维度上的区分度，估计特殊因子维度θ的初始值。

（3）实现这一维度的CAT程序。

直到所有特殊因子维度施测完成之后，整个BICAT程序终止，那么BICAT就算是真正结束了。

如果把一般因子和特殊因子CAT过程联合起来，那么基于单维选题策略的双因子CAT实测过程就如图8-2-4所示。

图8-2-4 BICAT中一般因子与特殊因子施测示意图

二、基于多维视角的BCAT过程

在基于多维视角的BCAT（Multidimensional Bifactor Algorithm for CAT，MBICAT）程序中，一般因子与特殊因子的施测过程是同时进行的，选题的时候同时考虑多个一般因子和特殊因子，被试每完成一个题目，当即估计被试在一般因素与特殊因素上的潜在特质水平（θ），如图8-2-5所示。

图8-2-5 基于多维视角的BCAT过程

Seo（2011）在有关BCAT的研究中，所采用的CAT程序就是MBICAT的一个典型的例子，根据Seo的研究整理，MBICAT算法过程大致如下：

第一步，施测初始题。在测试开始之前，假设被试所有维度上的特质水平均为平均值，即所有维度θ=0，开始初始题目的测试。

第二步，估计被试的特质水平。根据初始题目参数（各维度）的作答结果，同时估计被试在所有维度（一般因子、特殊因子）上的特质水平初始值。可以采用的特质水平估计方法包括：极大似然估计、极大后验估计、期望后验估计等。

第三步，估计测量结果是否达到预先设定的终止标准。关于测验的终止标准，可以采用定长，也可以采用不定长。

在Seo的研究中以观测标准误（Observed Standard Error，OSE）作为CAT的终止策略，根据定长测验的研究结果，作者采用了OSE=0.5或OSE=0.55作为多维双因子CAT的终止标准。

这里需要指出的是，目前有关多维双因子CAT的研究还不是很多，因此在采用何种双因子CAT终止标准方面也还有待研究与评估。

第四步，当未达到终止标准时，根据被试在当前题目上估计出的特质水平估计值，同时考虑一般因素与特殊因素，选择和施测下一个题目。

第五步，同时估计被试在各个维度上的特质水平。

第六步，估计测量结果是否达到预先设定的终止标准。

当测验达不到终止标准时，循环执行第四至第六步。

第七步，当测验达到相应的终止标准时，结束选题，以当前各维度的特质估计值作为被试在各个维度上最终的特质估计值。

根据对BICAT过程和MBICAT过程的描述，我们不难发现，BICAT和MBICAT进行的最大差异在于，各维度的选题和特质估计是否是同时进行的。在BICAT条件下，各维度的选题和估计都是分开进行的，而在MBICAT条件下，各维度的选题和估计都是同时进行的。